浅谈辅助圆的添设

在平面几何中,经常需要添加辅助线来帮助证题,这些辅助线大致可分为直线型和圆,对于前者的添设规律大家都很熟悉,面对于后者的运用却不那么自如了,为此,本文粗浅地谈谈辅助圆的添设方法。 1 思路归纳辅助圆的添设方法灵活多变,其常用的思路是下列几种: ①如图 1,若AB=AC=…=AT,根据圆的定义知,点B、C、     

均分线段

大家都知道,用尺规将线段均分成偶数段很容易,即在被分的线段上不断截取中点就行.怎样把线段均分成奇数段?下面给出简便易行的方法.例1把线段AB三等分.作图:1.如图1,以点B为圆心,线段AB为半径作圆,又以点A为圆心,线段AC为半径作圆(点C是AB中点),交圆B于D;2.作∠ADB的平分线交AB于E,则AE是AB的三分之一;3.以E点为圆心,线段AE为半径作弧,     

巧用圆证明勾股定理

证明勾股定理的方法很多,下面利用圆的一些性质来证明它. 已知在Rt△ABC中,∠C=90°. 求证:AB2=AC2 BC2. 证法一如图1,以A为圆心,AB长为半径作⊙A交直线AC于D、E,交BC延长线于F,由相交     

一道竞赛试题的研究性学习

2007年第4届中国东南地区数学奥林匹克竞赛的第2题如下:如图1所示,设C、D是以O为圆心,AB为直径的半圆上的任意两点,过点B作⊙O的切线交直线CD于P,直线OP与直线AC、AD分别交于E、F.证明:OE=OF.     

挖掘本质 多变多思——对2019年连云港中考填空压轴题的研究

<正>如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以点C为圆心作圆C与直线BD相切,点P是圆C上一个动点,联结AP交BD于点T,则AP/AT的最大值是.问题初印象本题从基础图形出发,由题干中AB=4,AD=3,马上可以推得BD=5,     

2005年全国高中数学联赛加试题及参考答案

试 题 一、(本题满分50分) 如图,在△ABC中,设 AB>AC,过A作△ABC的 外接圆的切线l,又以A为 圆心,AC为半径作圆分别 交线段AB于D;交直线l 于E、F． 证明:直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一 个旁心． (注:与三角形的一边及另两边的延长线均相切 的圆称为三角形的旁切圆,旁切圆的圆心称为旁心．)     

另解课外练习题四则

<正>题1(2015年7月下中学生数学课外练习题初三(3))如图1,AB为半圆的直径,C是半圆上的一点,正方形DEFG的一边DG在AB上,另一边DE过△ABC内切圆的圆心I,且点E在半圆弧上,求证:S_(正方形DEFG)=S_(△ABC).解设△ABC内切圆半径IP=IQ=ID=r,AC=6,BC=a.由DE~2=AD·BD=(AC-PC)(BCCQ)=(b-r)(a-r)=ab-(a+b)r+r~2.     

中考题中的调和点列

1.调和点列的概念和性质。定义1^[1]如图1,对于线段AB的内分点C与外分点D,若AC/CB=AD/DB,则称C、D调和分割线段AB(或线段AB被C、D调和分割),或称点列A、B、C、D为调和点列.在射影几何中,①式写成AC·AD/BC·BD=-1(AC·AD/BC·BD称为点列A、B、C、D的交比,记为(AB,CD)).     

九年级数学(华东师大版)第一学期期末自测题

一、选择题1 .下列运算正确的是 (　　 ) .A .x10 ÷x5=x2 　　　B .x6÷x5=xC .(x-1 ) 0 =1D .( -12 ) -2 =142 .下列说法 :①垂直于半径的直线是圆的切线 ;②有两角和夹边分别对应相等的两个三角形全等 ;③相等的圆心角所对的弧相等 ;④若两圆相切 ,则圆心距等于半径和 .其中错误的有 (　　 )个 .A .1　　　B .2　　　C .3　　　D .43 .△ABC中 ,AB =AC =1 0 ,BC =1 6,则以A为圆心 ,6为半径的⊙A与BC的关系是 (　　 ) .A .相切　　　　B .相交C .相离　　　　D .不能确定4.若直角三角形的斜边长为 1 0 ,其内切圆的半径为 2 ,则…     

“三弧法”画直角

某中学师生在工厂学工劳动中,看到工 人师傅在材料的边角处画直角时,有时采用 “三弧法”,方法如图1． a．画线段AB,分别以A、B为 圆心、AB长为半径画弧相交于C; b．以C为圆心,仍以AB长为 半径画弧,交AC的延长线于D; c．连结DB． 按以上步骤作出的∠ABD 就是直角．     

三角形的一个外心判定定理及其应用

一、判定定理如图1,若OA=OB=OC,则点O为△ABC的外心.简证以点O为圆心,以OA长为半径画圆,如图2所示,由于OA=OB=OC,因此⊙O必经过A、B、C,即⊙O为△ABC的外接圆,故点O为△ABC的外心.二、应用举例例1(《中学生数学》2007(6)·P8)如图3,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AC=AD=3,BC=2,求对角线BD的长.解由AB=AC=AD知点A为△DBC的外心,延长BA交△ABC的外接圆于E,连DE,由AB∥DC知DE=BC=2,又EB=2AB=2×3=6,     

赏析一道2019清华大学自主招生题的多种解法

<正>例(2019年清华大学自主招生题,选项不唯一)设AB为圆O直径,点C在圆上,CO⊥AB,M为AC中点,CH⊥MB于H,则下列选项中正确的是().(A)AM=2OH(B)AH=2OH(C)△BOH∽△BMA(D)以上全错这道平面几何题出现在高校自主招生考试中,体现着命题老师的独到匠心,其解题思路颇具开放性,下面来赏析之.     

一道初中数学竞赛题的另证

<正>2018年全国初中数学联赛第二试(B)第12题:如图1,点E在四边形ABCD的边AB上,△ABC和△CDE都是等腰直角三角形,AB=AC,DE=DC.(1)证明:AD∥BC;(2)设AC与DE交于点P,如果∠ACE=30°,求(DP)/(PE).本题是这次竞赛的第二试(B)组倒数第二题,是平面几何的压轴题,命题者认为有一定难度,从试卷参考解答过程也可以看出来.经过笔者探究,发现本题不但能另证还能简证并     

构作平行线一题多解

<正>"时代杯"2013年江苏省中学数学应用与创新邀请赛(初中组)有这样一道试题:图1题目如图1,在△ABC中,∠ACB=120°,点D在AB上,且AD∶DB=3∶2,AC⊥CD,则tanA等于().(A)25(B)35(C)2槡35(D)3槡35分析本题题干短小,条件清晰,构图简单,是一道融平面几何与三角知识为一体的综合性试题.已知条件中的∠ACB=120°及AC⊥CD为习题中所常见,而条件AD∶DB=3∶2的运用往往较为棘手.注意到所求的是tanA的值,实质就是求两条线段的比值,因此能否合理利用AD∶DB=3∶2这一条件是本     

问题征解

一、本期问题征解 1.已知47~(100)是168位数,试求47~(25)的位数。 2.已知x、y为正整数,且xy=24,求函数1/(x~2+y~2)的极大值。 3.在△ABC和△A′B′C′中,已知∠B=∠B′,BC=B′C′,AB+AC=A′B′+A′C′, 求证△ABC≌△A′B′C′。 4.在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,AC延长线上取一点E,使DB=EC,连接DE交BC于G,求证DG=GE。黄冈上巴河标云岗中学熊红英 5.M为BC边的中点,AD为∠A的平分线。过A、D、M三点作圆设交AB、AC于E、F点,求证BE=CF。     

点在圆内的证法

设A,B分别为椭圆x2a2 2yb2=1(a,b>0)的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且x=4为它的右准线.1)求椭圆的方程;2)设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M,N.证明点B在以MN为直径的圆内.本题第一小题,易求得椭圆方程为2x4 2y3=1;第二小题为证明题,即证明点B在以MN为直径的圆内.下面就此题谈谈“点在圆内”的四种证法.“点在圆内”在高中所学知识范畴内常可转化为:①此点B与圆心O距离小于圆的半径;②BM·BN<0;③tan∠MBN<0;④(xB-a)2 (yB-b)2相似文献   

一道经典几何题的证明和推广

<正>1问题呈现如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,M是AC的中点,AD垂直于BM于点E,交BC于点D.求证:∠AMB=∠CMD.本题是梁绍鸿先生的名著《初等数学复习及研究(平面几何)》中,关于相等的证题术的第1个例题,梁先生在思索方法中指出:就图形来看,∠AMB与∠CMD所属的各对三角形(如△AMB与既不全等,也不相似,故应设法就原有图形添加辅助线构造全等三角形(或相似三角形).     

一道试题的探究

<正>一、试题展示2014年泰州市高三第三次调研测试的第14题是:在△ABC中,BC=2(1/2),AC=1,以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点,C、D两点在直线AB的两侧).当∠C变化时,线段CD长的最大值为.二、背景探究本题的背景是托勒密定理:凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积,等号当且仅当四边形为圆内接四边形时取得.     

2013年全国高中数学联赛加试试题及参考答案

<正>一、(本题满分40分)如图1,AB是圆ω的一条弦,P为弧AB内一点,E、F为线段AB上两点,满足AE=EF=FB.连接PE、PF并延长,与圆ω分别相交于点C、D.求证:EF·CD=AC·BD.证明如图2,连接AD,BC,CF,DE.由于AE=EF=FB,从而     

一道中考题的解法分析

<正>试题呈现如图1,点B在线段AC上,点D、E在AC同侧,∠A=∠C=90°,BD⊥BE,AD=BC.(1)求证:AC=AD+CE;(2)若AD=3,CE=5,P为线段AB上的动点,连结DP,作PQ⊥DP交直线BE于点Q;1当点P与A,B两点不重合时,求DP∶PQ的值;2当点P从A点运动到AC的中点时,求线段DQ的中点所经过的路径(线段)长.