随机变量、分布律、数学期望、方差和正态分布律

1.随机变量的概念第一讲里談了随机事件的概念。实际上不仅有具随机性的事件,还有具随机性的量——随机变量。例如,同一生产过程生产出的灯泡的寿命就是这种量。影响灯泡寿命的除了设计要求外,还有大量偶然因素,如原料的不純、車間温度的变动、偶然的震动等等。虽然我們可以想办法尽量排除偶然因素使生产过程尽可能受到人的控制,并且随着科学和工业的进展能够越来越好地做到这点,但在任何时候都不可能完全排除一切偶然因素。因此,同一生产过程生产出来的灯泡寿命总是有长有短,是一个随机变量。经驗証明,很多这种量具有一定的就計規律性,即在大量的重复试驗中它們按某稳定的比例取各种可能值。对这种規律性进行研究是统计数学的任务。如何給这种規律性以数     

从一道概率题的错解谈起

山西、江西、天津 2 0 0 0年高考数学试题第 17题被选为潍坊市六县市高二期末统考题 ,学生答卷出现几种错误 .剖析这些错误 ,对同学们学习概率问题具有借鉴作用 .题目　甲、乙二人参加普法知识竞答 ,共有 10个不同的题目 ,其中选择题 6个 ,判断题 4个 ,甲、乙二人依次各抽一题 .1)甲抽到选择题 ,乙抽到判断题的概率是多少 ?2 )甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少 ?错解 1:1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的可能结果有Ｃ16 Ｃ14 个 ,又甲、乙依次抽到一题的可能结果有Ｃ210 个 ,所以甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率为 (Ｃ16 Ｃ14 …     

扑克牌中的概率

近来数学课程的改革中 ,把向中小学生灌输随机思想放在重要的位置 ,要求能解决一些简单的实际生活中的随机问题 .高中的课程又开始讲述事件的概率 ,概率是研究随机现象及其统计规律的一门学科 ,初学者对具有不确定性的问题往往感到无从下手 ,因此 ,应多找一些身边的实际例子来帮助初学者理解 .玩扑克牌是一种古老而又普及的游戏 ,其中存在许多的随机性问题 .下面以扑克牌中的问题说明概率的计算 .1概率的加法公式从一幅扑克牌 ( 5 2张 )中任意抽出一张牌 ,求 :( 1)抽到红桃或黑桃的概率是多少 ?( 2 )抽到红桃或有人头像的概率是多少 ?解　设…     

争鸣

问题问题121《全日制普通高级中学教科书·数学》第三册(选修Ⅰ)及(选修Ⅱ)中,关于《统计》抽样方法一节中“简单随机抽样”的概念,笔者通过教学,觉得编写得不够简洁明了,也不太符合学生的认知水平,在讲到具体的实施方法“抽签法”之前,有几处提到“概率相等”,学生理解起来很吃力,不容易搞清楚.第1处:假定一个小组有6个学生,要通过逐个抽取的方法从中取3个学生参加一项活动.如果第1次抽取时每个被抽到的概率都是16,第2次抽取时,余下的每个被抽到的概率都是15,第3次抽取时,余下的每个被抽到的概率都是14,这种抽样就是简单随机抽样.在接着的…     

也谈“抽签”

《数理统计与管理》1990年第四期发表了赵仪娜同志的文章《抽签》.文中利用全概率公式算出了7个人抽到好跑道的概率均为 2/ 7.得出如下结论:抽签时抽到好跑道的概率与抽签的先后次序无关,不管先抽还是后抽,抽到好跑道的可能性是相等的. 这个结论是借助全概率公式得出的,而全概率公式隐含一个前题;我们不知道前面人抽签的结果,即前面人可能抽到好跑道,也可能抽到坏跑道.事实上,在序贯抽签中还有一个有趣的问题:如果每个人抽签后立即公布结果,即我们知道前面人抽签的结果,结论将如何呢?为什么? 我们仍用《抽签》一文中的例子.7个跑道中第三、…     

Ω概率法简述

一、概率洁的客观基础──随机现象具有统计稳定性 客观事物的发生常表现为一种完全不定的随机现象.大量科技实践表明,这种现象的个体虽是随机的,但宏观其群体,则呈现有稳定的统计规律性.如图一所示,为四种完全不同的事物,却都呈现有“单峰分布”特征.这种共性是概率法认识随机事件发生规律(概率)的客观理论基础. 从图一不难看出,随机事物由于有各自的规律性,因而表现在其数量取值和分布峰形的姿态都各有所异.要描述随机现象的各自规律,必须抓住其共性,考虑其个性,用数学抽象表达出各自的分布特征,简称“表征”.方能对具体事物的发生规律从…     

合格品链长控制图

在生产过程中不合格品率(p)很低的情况下,利用两个连续不合格品之间的合格品数(合格品链长)控制图来监督过程不合格品率能克服传统的p图所遇到的困难,为生产者提供产品质量改良的信息。本文研究两种合格品链长(CRL)控制图的制定方法,对这些控制图的效率进行了比较,并说明其实际应用。所研究的CRL控制图特别适用于自动化生产过程的100%检验的质量控制。     

概率六辨

高中概率部分每一种事件的概率的求法是明确的,但学生在实际操作中会出现这样一些情况,明明知道是什么事件,却不知道用什么具体方法去解决,或者有些问题看上去似是而非,辨不清真伪,从而不知从何去分析,如何进一步地用一些明确的方法去解决问题,如何从不同角度去思考从而解决问题,从而找到同一问题中的不同解决方法及不同问题中的同一本质.一、辨清基本事件等可能事件的概率的概念是十分感性的,同时等可能事件的概率的操作方法又是比较模糊的,有些实际问题的基本事件又象是不可确定,这时候学生很难有一种规范的操作方式,因此把等可能事件的基…     

巧用面积计算事件之概率

一、问题的提出 概率论是研究机遇的数学学科.机遇具有偶然性和随机性,其实,每次对一种随机现象进行观察,都会发现结果总是偶然的不可预知的,多次重复观察,又能从中发现具有一定的规律性,每次基本事件发生都包括可能性不同和可能性相同或近似相同两种情况,即机会不等和机会均等.求某个事件A中某一结果出现的次数即事件A的概率,方法有多种,比如直接计算、对立事件、将事件分解为若干个互斥事件之和、利用条件概率与乘法公式,利用概率的性质、公式或独立性,也可以把事件转换为面积,然后利用面积求出事件A的概率.     

基于集值统计的模糊综合评判及其应用

考虑到专家在评判过程中思维的不确定性、随机性及模糊性,采用了一种基于集值统计的模糊综合评判方法,并将其应用于课堂教学质量的测评,实验结果表明该评判方法比传统综合评判模型更为合理、更客观.     

几个易混概念的区别与关联——高中《概率》一章的教学体会

高中第三册《概率》一章中新概念较多,教起来有些难讲清楚,现就其中几个易混概念,谈谈粗浅体会、供参考。一、事件与等可能事件在运用概率的古典定义计算概率时,有些学生由于区分不开“事件”与“等可能事件”而产生错误。如P_(168)。第五题,不少学生将一枚硬币连掷三次中可能出现“两枚正面一枚反面”(A)“两枚反面一枚正面”(B)“三枚正面”(C)“三枚反面”(D)这四个事件认为是等可能事件,因而得出P(A)=P(B)=1/4,这种分析是错误的,其原因在于混淆了事件与等可能事件的界限,错误地把A、B、C、D这四个可能发生的事件看成了等可能发生的事件。     

对“概率”概念教学的一处释疑

新教材中概率这一概念是用概率统计定义给出的 .文 [1 ]第 1 4 8页指出“不可能事件的概率为 0 ,必然事件的概率为 1 ,随机事件的概率大于 0而小于 1 .”这段文字的最后一句具有科学性错误 ,下面举出一反例 :向平面内投一质点 ,该质点落在平面内任一点都是等可能的 ,分别求质点落在平面内点A的概率和落在平面内除点A处的概率 .显然他们都是求随机事件概率问题 ,但前者的概率为0 ,后者的概率为 1 .这是一个典型的几何概型问题 .用几何型概率的定义[2 ] 可加以说明 .随机事件A的概率应该是 0≤P(A)≤1 .这是概率所具备的规范性[2 ] ,在高中…     

变点统计分析简介(Ⅳ)局部比较法

一、方法的思想 在变点附近的“局部”中,某种量有了显著变化,它可以通过适当的估计去显示出来.在非变点附近的局部中,量保持稳定.这个差别就提供了发现变点的一个一般性方法:考察某种有针对性的统计量在各个“局部”内的变化,取其最显著之处作为变点位置的估计.当然,即使某个点非变点,但随机误差可能偶然以一种方式出现,使人误以为该处有显著变化,相反的情况也存在.这就需要通过检验来判定,那种程度的变化可视为显著的或随机性的,这涉及复杂的分布问题. 这个方法可用于种种模型,但在本文中,我们将只介绍其在一个简单模型──均值变点模型下…     

概率学习中应注意对概念和公式的理解

概率的思考方式有其自身的特点 ,在初学时往往很难把握 ,如在对概念的理解及合理运用公式等方面存在比较大的困难 .为了突破这些难点 ,在学习中应加强对概念的理解 ,尤其要注意运用各个公式的前提条件 ,在概念及公式的内涵上下工夫 .一、关于等可能性事件的概率公式Ｐ(Ａ)=ｍｎ (ｎ是一次试验等可能出现的事件组成的集合Ｉ的元素个数 ,ｍ是事件Ａ包含的个数 ) :1.运用公式的前提条件是 :必须是等可能性事件决定一些事件是不是等可能性事件的因素是多方面的 ,有的是根据物体的结构 ,相对容易判断 .如掷一个均匀的小正方体 ,各面朝上是等可能…     

恰当选取样本空间，简化古典概率计算

用概率的古典定义计算概率时 ,首先要确定随机试验是什么 ,从而确定出样本空间 .若样本空间中的各基本事件在试验中的出现是等可能的 ,则可由古典概率公式求各随机事件的概率 .但同一问题随试验的内容不同可选取不同的样本空间 ,只要满足样本空间中的基本事件只有有限个 ,且它们的出现是等可能的 ,就可用古典概率公式计算 ,且计算出的结果必定相同 .因此试验的样本空间选得好 ,问题解决起来就会简便一点 .下面举例说明 .在下面的例子中均以 N表示基本事件总数 ,M表示所求事件包含的基本事件数 .例 1　袋内有 a个白球与 b个黑球 ,每次从袋中…     

几何概型物理的背景问题

高中数学关于几何概型问题有以下两个基本特征:1、在一次实验后构成基本事件的结果有无限多个.2、每一个基本事件的结果都是等可能的.实验结果的无限性是显然的,不同的角度看待问题时基本事件结果是否等可能性较难辩别,只从几何的角度研究,不同的几何背景会得到不同的结论,这与概率为一确定值矛盾,因此就要借助物理工具解决此类问题.……     

偶然与必然的数学思想

新教材中增加概率统计知识，概率研究随机现象，随机现象有两个最基本的特征；一是结果的随机性，即重复同样的试验，得到的结果并不相同，以至于试验之前不能预料试验的结果；二是频率的稳定性，即在大量重复试验中，每个试验结果发生的频率“稳定”在一个常数附近。了解一个随机现象就是知道这个随机现象中所有可能出现的结果，知道每个结果出现的概率。     

概率与统计(诗一首)

概率统计重概念 ,思想方法要熟练 .“随机”、“必然”、“不可能” ,三种事件要分辨 .“等可能性”求概率 ,排列组合能实现 .“互斥”、“对立”、“互独立” ,异同关系紧相连 .随机变量分布列 ,期望、方差是重点 .统计抽样有三法 ,“随机”、“系统”与“分层” .正态分布重实用 ,线性回归能预言 .概念、公式牢记住 ,分析、计算真方便 .概率与统计(诗一首)@黄健$江西省南昌市第十中学!330006     

谈七至九年级中概率的学习

把概率引入七至九年级的教材中 ,是新课程在内容上采取了横向发展 ,纵向收缩的具体表现 ,是新课程的一大特色 .它不只是内容上的简单增减 ,更为重要的是反映了新课程在学习内容上贴近生活、基于同学们生活经验的理念 .学好这部分内容对拓展同学们的视野 ,帮助同学们树立数学意识 ,进一步激发自己的学习热情 ,以及掌握和运用所学过的数学知识、观念去认识日常生活中所发生的现象有着十分重要的意义 .为此 ,本文拟就如何学好基础教育新课程中的概率谈谈一些体会 ,供同学们参考 .一、在学习概率中相关的概念时 ,要注意借助日常生活中的例子来理解它的意义例如对“确定事件”与“不确定事件”这两个概念的学习 ,我们可以通过如下日常生活中的实例来理解 :( 1 )今天是星期三 ,明天就是星期四 ;( 2 )太阳从西方升起 ;( 3 )天气预报 :明天多云转晴 ;( 4 )打上电灯开关 ,灯泡发亮 ;( 5 )买一张彩票 ,中头奖 ;( 6)抛掷一枚硬币 ,有国徽的一面朝上 .其中事件 ( 1 )、( 2 )都是确定事件 ,且事件 ( 1 )是必然事件 ,事件 ( 2 )是不可能事件 ;事件 ( 3 )、( 4 )、( 5 )、( 6)都...     

帮你明晰频率与概率

在一定条件下,根据某事件发生与否可将所有事件分为必然事件、不可能事件和随机事件．一个随机事件发生既有随机性(对单次试验来说),又存在着统计规律性(对大量重复试验来说),这就是偶然性和必然性的对立统一．在大量n次重复试验中,事件A发生的次数为m次,它的频率f(A)=m/n．当n很大时,f(A)总是有规律地在某个常数值附近摆