应用一个结论巧解不等式竞赛题

在求解不等式问题时,我们发现了下面的结论．     

一元二次方程在解竞赛题中的应用

<正>一元二次方程是初中数学的重要内容,它是解决数学问题的重要工具.在全国各类数学竞赛中,经常出现与一元二次方程有关的试题,有些试题可直接利用一元二次方程的有关知识解决;有些试题可通过构造一元二次方程,然后利用一元二次方程的有关知识解决.一、利用一元二次方程的根的定义     

特殊化策略在解竞赛题中的应用

著名数学家G.波利亚对特殊化有一精辟的论述:“特殊化是从考虑一组给定的对象集合,过滤到考虑该集合中较小的集合,或仅仅一个对象.”在解题中可理解为:当我们想解决一个一般性问题时,直接去解又比较困难.可以先就它的一个或几个简单的特殊情形进行分析、比较,再从中归纳,发现问题的一般规律,从而获得解题的途径,这种变更问题的方法称为特殊化.运用特殊化策略常能使竞赛问题避繁就简,化难为易.下文就特殊化策略在解竞赛题中的应用略谈几种常见的特殊化方法.     

垂径定理在解竞赛题中的应用

众所周知,圆是轴对称图形.垂径定理及其逆定理正是体现了圆的轴对称性,很多与圆有关的问题都需要使用垂径定理或逆定理来解决,只不过是很多的时候需要先作辅助线补全基本图形.下面以数学竞赛题为例,加以说明.一、作弦的弦心距遇到圆中弦的问题,作该弦的弦心距为常用的辅助线,该弦心距所在的直线就是圆的     

费尔马小定理在解竞赛题中的应用

法国数学家费尔马(1601-1665)所提出的猜想:当n是大于2的整数时,不定方程 x~n+y~n=z~n没有整数解。通常,人们称这个至今未获解决的问题为“费尔马大定理”。数论中还有一个被广泛应用的费尔马小定理:若p为素数,则 a~p=a (mod p)。推论:若p为素数,且(a,p)=1,则 a~(p-1)≡1 (mod p)。费尔马小定理在解决数学竞赛的问题中     

函数单调性在解竞赛题中的应用

函数单调性是高中数学的重点内容．本文举例说明函数单调性在解竞赛题中的应用。     

代数结论几何应用

结论若a-b=n,则1/2a-1/2b=1/2(a-b)-1/2n.简称一半的差等于差的一半.以上结论虽然内容形式简单易懂,但它在几何解题中的应用非常广泛.现举几例,加以浅析,以供参考.     

谈逆向思维在解数学竞赛题中的应用

数学竞赛题是重在考查思维能力的难题,需要学生透彻理解问题的本质,充分发挥创造性,找到合适的方法来解决问题.对于某一类竞赛题,可以运用逆向思维从已知问题的反面出发,采用与常规的思维方式完全相反的方式来解决.为此,本文讲了六种运用逆向思维的具体方法,它们灵活巧妙,使一些难以解决的问题迎刃而解.     

例谈构造函数法在解竞赛题中的应用

<正>许多数学竞赛问题都能通过构造函数的方法(即,将题中对象用一些简单直观的对象代替,并用相应的函数规则描述各对象间的相互关系)得到简单快捷的解决.为了找寻这类问题的共同特性,我通过总结近一年来所思考解决过的这类问题的形式特点,对这些题目由易到难做思路的梳理与分析,尝试站在一个较高     

一个几何“定值”结论在解题中的应用

“正三角形内任一点到三边的距离之和为定值”,这是一个为大家熟知的结论.它的证明不难且有多种方法.下面用面积法来证: 如图1,点P是边长为a 的正△ABC内任意一点,记P到BC、CA、AB 边的距离分别为h1,h2,h3,则h1 h2 h2=_.(三角形高为h). 证连结PA、PB、PC有 即,     

妙用代数式的几何意义巧解竞赛题

<正>在历年各类数学竞赛中,与代数式有关的方程、不等式、最值等问题是一个重要考点,其复杂抽象的特点也是这类问题的难点,仔细研究,发现这类问题常常与我们学习过的一些具有几何意义的概念有关,如两点间距离、直线的斜率、向量的数量积等,如果我们在解题中能巧妙地运用这些几何意义,以形助数,往往能达到意想不到的效果,下面举例说明.     

一个几何结论的应用

<正>一个结论在△ABC中,D在AB上,E是CD上任一点,如图1.求证:DE EC=S△ABE/(S△AEC+S△BEC).证明在△ADC中,设CD边上的高为h1,它等于A点到CD的距离,而这个h1同样分别是△ADE的边DE和△AEC的边EC上的高,同理△BDC的边CD上的高h2同样分别是△BDE的边DE和     

正方体在解竞赛题中的模型作用

竞赛中的立体几何试题由于线面关系复杂、空间想象能力要求高,学生往往感到畏惧.而正方体由于图形对称完美,具有其他图形难以企及的性质,如果能挖掘题设条件,展开联想,构造出相应的正方体,其特性即可得到充分利用,使解题过程简捷明快,生动有趣.本文谈谈利用正方体的性质构造正方体的思维策略.     

例谈函数性质在解竞赛题中的灵活应用

<正>一、中心对称的应用构造函数,使函数关于某点成中心对称.例1(睿达杯2012年第8题)设x,y是实数,且满足{(x-1)⁵+2012 5(x-1)5+2012 5(x-1)^(1/2)=-1,(y-2)(1/2)=-1,(y-2)⁵+2012 5(y-2)5+2012 5(y-2)^(1/2)=1,则x+y=( ).(A)1(B)2(C)3(D)2012解设f(x)=x(1/2)=1,则x+y=( ).(A)1(B)2(C)3(D)2012解设f(x)=x⁵+2012 5x5+2012 5x^(1/2),则f(x)是R上的奇函数,图像关于原点对称,     

应用函数周期性解竞赛题

<正>函数的周期性是函数的重要性质之一,揭示了函数值随自变量变化而出现的循环往复的现象.翻阅近些年的竞赛试题,发现以函数周期性为背景的试题频繁出现,这些试题考查了函数周期性的概念、性质以及数形结合、转化、赋值等数学思想方法,检验了学生分析问题与解决问题的能力.下面对这些试题进行梳理,供大家参考.一、基础知识对于函数f(x),如果存在一个非零常数     

一道竞赛题引出的结论

2007年全国高中数学联赛第一试第1题为:如图1,在正四棱锥P-ABCD中,∠APC=60°,则二面角A-PB-C的平面角的余弦值为( ).……     

应用万能公式解竞赛题

在众多竞赛题中,虽然不是三角题目,但若能类比万能公式,往往可以推陈出新.本文撷取几例以供参考. 1.应用于证明不等式(或恒等式) 例1 已知x,y,z为正实数,且 求证:证明考虑要证式子的特点,可作代换x=tanα,y=tanβ,z=tanγ,其中α,β,γ均为锐角,则已知可化为sin2α sin2β sin2γ=2,同时cos2α cos2β cos2γ=1,而     

两个简单结论在解竞赛问题中的应用

结论 1　a ≥ f(x) a ≥ [f(x) ]max.结论 2　a ≤ f(x) a ≤ [f(x) ]min.上述两个结论为我们解决含参数恒成立数学竞赛问题提供了一种简捷的方法———分离参数法 .本文以数学竞赛问题作为实例 ,谈一谈这两个简单结论在求解数学竞赛问题中的重要应用 .例 1　 (1996年全国高中数学联赛题 )求实数a的取值范围 ,使得对任意实数x和任意θ∈ [0 ,π2 ]恒有(x+ 3 + 2sinθcosθ) 2 + (x+asinθ+acosθ) 2≥ 18.分析　设t=sinθ+cosθ,因为θ∈ [0 ,π2 ],则原不等式可化为(x+ 2 +t2 ) 2 + (x+at) 2 ≥ 18,t∈ [1,2 ].因为　 (x+ 2 +t2 ) 2 + (x…     

应用均值不等式解竞赛题

均值不等式是一个重要的不等式．在各种数学竞赛中经常出现与之有关的题目,灵活而巧妙地应用均值不等式,往往可以使一些难题迎刃而解．