借助辅助问题解题

1　 问题的提出引例　如图 1 ,甲、乙两船分别从 A、B点处出发 ,各船以匀速沿 AP—— 、BQ—— 方向进行直线航道行驶 ,求两船相距最近时 ,彼此之间的距离 .图 1　　　　图 2　　　　图 3分析　图 1中由于 A、B、P、Q是变化的 ,解题关键在于能不能想出一个更好着手解决的有关问题 ?考虑极端情况 (图 2中 ) ,当乙船在 B处抛锚 ,乙船速度为 0时 ,最短距离是BS.这种极端情况看似简单 ,但的确是个好念头 .只要考虑运动的相对性 ,给乙船加上一个运动 ,使乙船看作是停在 B处不动 ,这时甲船沿着图 3中 AP AP′=AP BQ′=AP- BQ =AT…     

解线段最值问题的策略

线段最值问题是初中最值较为复杂的问题之一 ,它常集几何、代数知识于一体 ,构思新颖 ,是竞赛题坛中的一颗“新星” .这类问题不少学生感到棘手 .其实 ,我们在解题时 ,只要认真审题 ,运用合适的解题策略 ,山穷水尽的局面会变得柳暗花明 .　　一、利用面积来解面积法解题是初中数学常用方法 ,许多问题利用它会迎刃而解 .众所周知 ,两正数之积为定值 ,若其中一个数最大 ,则另一个必最小 ,反之亦然 .例 1如图 ,正方形ABCD边长为 1,P为BC边上任意一点 ,分别过点B、C、D作射线AP的垂线 ,垂足分别为B′、C′、D′.求BB′ +CC′ +DD′的最…     

辩证思维思路宽

所谓辩证思维就是用辩证法去揭示事物的本质.数学中充满着矛盾,同时也处处渗透着辩证法.“问题是数学的心脏”,解题是数学教学的一个最基本的形式.在解题数学中,教师若能不失时机地运用辩证法的观点阐述问题,引导学生用辩证思维去分析问题、解决问题,不仅有助于形成良好的思维品质,科学的世界观,而且使解题思路宽阔,解题方法易求,是提高数学解题能力的有效途径.1动与静“动”与“静”,本来就是相对的.动中求静或静中求动,动静互换,往往可以将关系复杂,规律不明显的问题转化为关系简单,规律明显的问题.图1例1如图边长为Q的等边△ABC的二顶…     

挖掘“特殊性”妙解竞赛题

巧妙的解题思路,从具体问题来说,它来自问题的特殊性被得到彻底的揭示.因为只有揭示了问题的特殊性,才能得到未知向己知、生疏向熟悉、条件向结论的转化途径,而转化就是解题.数学问题的特殊性突出表现在“数值特征、结构关系、图像信息”三个方面,挖出它们是快速找到解题途径、巧妙解题的关键!下面举例说明. 一、挖“结构关系” 例1 以线段AB为直径作一个半圆,圆心为O,C为半圆周上的点,有OC2=AC·BC.则∠CAB=(). 简析画图有两种可能,如图1、图2. OC2=AC·BC中,“AC·BC”视为 Rt△ABC     

例谈解析几何中的形异质同问题

<正>在解析几何中,我们经常会遇到一些形异质同问题,这些问题所描述的情景和所要解决的问题虽各有不同,但它们的本质却相同.解题时若能抓住这一本质,便可实现快速解题.例1如图1,已知离心率为3^(1/2)/2的椭圆C:x(1/2)/2的椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)     

构造法解最值问题

构造法是通过构造辅助量 ,实例、反例、模型、图形、函数和方程等来解决数学问题的一种思维方法 .经常有意识地用构造法解题 ,可以培养思维的敏捷性和创造性 ,提高观察问题、转化问题和解决问题的能力 ,下面用构造法解几道最值问题 ,以便从中了解一些构造思路和技巧 ,同时也给最值问题的研究注入新的活力 .1　锁定范围 ,构造特例验证例 1　从正方体的棱和各个面上的对角线中选出ｋ条 ,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线 ,则ｋ的最大值为 (　　)(Ａ) 2 .　 (Ｂ) 3.　 (Ｃ) 4.　 (Ｄ) 6 .图 1　例 1图分析 :若存在 5条或5条以上满足…     

构建利用数学辅助工具的问题解决模型——以线段图在小学数学教学中的作用为例

小学生抽象思维能力薄弱,在解题过程中常常面临着诸多困境.鉴于此,可充分借助线段图这一辅助工具,将抽象问题具体化、直观化,帮助学生读懂题意,明确其中蕴含的数量关系,厘清解题思路等.本论文就以此作为研究的新视角,结合线段图在小学数学解题中的具体应用进行了详细的探究,最终提出了在日常教学中小学生运用线段图的重要价值.     

圆锥曲线综合问题求解思维简析

圆锥曲线综合问题是历年来高考中的“重头戏”,中学数学教师在平时的教学中花费大量的教学时间讲授各种解法,可谓“绞尽脑汁”、“费尽心思”,然而许多教师摇头感慨“还是教不会”!究其原因,有些教师仅是“从题目到题目”过程的讲授,解题方法的堆砌,缺少从解题思维的角度引领学生,忽略求解策略的辨析,最终导致“低效教学”.本文就圆锥曲线综合问题的解题思维和求解策略作一例析,希望能给一线师生些许启发.例1如图1,已知梯形ABCD中,AB=2 CD,点E分有向线段AC所成的比为,λ双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点.当23≤λ≤34时,求双曲线…     

浅析思维导图在高中数学解题教学中的运用

解题的实质是将问题进行转化,那么在解题教学中,最重要的是要体现出问题转化的过程.思维导图是可视化的一种工具,它可以用于梳理知识,建立知识之间的联系.同样地,思维导图也可以运用于数学解题教学.首先,思维导图可以用来梳理题干中的信息,找出“未知”与“已知”之间的联系,明确问题解决的起点;其次,思维导图可以梳理解题思路,从众多解题策略中选出最优的,利于解题思路的形成与实施;最后,思维导图可以引导学生进行反思,理解问题的本质,使得解题不停留在题目本身,而是深入思考解题所涉及的思想方法.     

求解代数问题的常用解析几何模型

解题几何是数形结合的典型范例 ,它是通过坐标系的建立 ,将几何问题转化为代数问题来处理 ,反过来 ,很多代数问题利用解析几何理论 ,可转化为几何问题来处理 .本文结合例题介绍几种常用的解析几何模型 ,供学习时参考 .1　距离模型例 1　已知ｘ ,ｙ∈Ｒ ,且ｘ2 ｙ2 =2 ,求ｘ2 ｙ2 6ｘ 2 ｙ 10的最大值和最小值 .图 1　例 1图解　因ｘ2 ｙ2 6ｘ 2ｙ 10 =(ｘ 3) 2 (ｙ 1) 2 表示圆ｘ2 ｙ2 =2上的动点Ｐ (ｘ ,ｙ)到定点Ｑ( - 3,- 1)的距离的平方 .由图 1可知 ,连结ＯＱ交圆于两点Ｐ1 ,Ｐ2 ,则所求式子的最大值为 |ＱＰ2 | …     

例谈数形结合解题的几点注意

<正>数形结合是一种常用的解题方法,更是一种重要的数学思想,解题时通过数形之间的转化,可以迅速找到解题方法,使问题解决变得更直接、更快捷,具体应用时有以下几个问题要注意.一、脑中有"图"防误判题1求y=1/x²+1值域.分析令t=x2+1值域.分析令t=x²+1,则t∈[1,+∞),若出现y=1/t≤1则出错,应该如图1,得出y∈(0,1].     

求棱锥体积的万能钥匙——图形变换

图形变换是一种重要的解题思想.在求解立体几何问题时,灵活地实施平移、对称、旋转、翻折、分割、补形、伸缩等图形变换,将不熟悉的(或不易计算的)图形变化为熟悉的(易于计算的)图形,将空间图形变为平面图形,从而创设生动的思维情境,优化解题途径.下面以一道1999年高考试题为例说明实施图形变换解题的若干技巧.例　如图,已知正四棱柱ＡＢＣＤ-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1,点Ｅ图1　例题图在棱Ｄ1Ｄ上,截面ＥＡＣ∥Ｄ1Ｂ,且面ＥＡＣ与底面ＡＢＣＤ所成的角为45°,ＡＢ=ａ.①求截面ＥＡＣ的面积;②求异面直线Ａ1Ｂ1与ＡＣ之间距离;③求三棱锥Ｂ1-ＥＡＣ的体…     

分与合:共顶点两倍角问题

笔者通过对“有公共顶点,而且其中一个角是另一个角的一半”这类条件的问题的研究,发现解题方法有一些共同之处,姑且把满足这类条件的问题称为共顶点两倍角问题. 图1就是共顶点的两倍角:∠COD,∠AOB有共同的顶点O,且∠AOB=2∠COD.为了叙述方便,把∠COD称为“小角”,∠AOB称为“大角”,可以将图1看做一个基本图形.     

例谈利用根与系数关系处理直线与圆锥曲线问题

直线与圆锥曲线的关系是平面解析几何的常见题型之一 ,特别是历年高考试题中 ,常常以直线与圆锥曲线的关系为载体 ,综合函数、不等式、方程及三角函数等知识来考查考生的综合能力 .其涉及面很广 ,解题方法灵活且多变 .本文仅就利用一元二次方程根与系数关系处理这类问题的几种方法作点简介 .1　设参消参图 1例 1　如图 1,过点A(- 1,0 )斜率为 k的直线l与抛物线 C:y2 =4 x交于P、Q两点 .过曲线 C的焦点 F与 P、Q、R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR,求点 R的轨迹方程 .分析　设点 R的坐标为 (x,y) ,直线 a的方程为 y =k(x +1) ,点 P…     

图形中的数字趣题

近年来,在中考题中频频出现与图形有关的数字问题,解决此类问题的方法是:①认真读图、识图,从图中挖掘出数字之间隐含的规律;②根据数字之间的规律寻找解题策略,明确解题步骤,规范解出答案.例1(2005年四川省)如图1是一个数表,现用一个矩形在数表中任意框     

动点问题几例

<正>近两年各地中考数学试卷中,常常会出现这样一类动点问题:由于动点的运动路线不明确,学生在解决这类问题时往往无从下手.下面试以几道中考题为例,和大家谈一谈此类问题的解题方法.例1 (2016·安徽)如图1,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且     

问题转化突破,变式教学探讨——以一道二次函数综合题为例

二次函数是中学数学的重点知识,其问题求解较为复杂,需要重点关注.下面以一道二次函数综合题为例,进行解题思路剖析.一、走进考题,问题呈现问题:设二次函数的解析式为y=ax^2+bx+c,其图像经过点(-1,4),与直线y=-1/2x+1交于点A和B,已知点A位于y轴上,现过点B作x轴的垂线,垂足为点C(-3,0),如图1所示,试回答下列问题.     

把握不同特征,巧解三角问题

我们知道,快速地探明解题方向,准确地找到解题的突破口,是解题成功的重要一环,而实施这一步骤的关键,又依赖于解题者对问题特征的敏锐观察和细致分析.怎样才能从各种蛛丝马迹中捕捉到问题的不同特征呢?下面我们以几道三角问题为例,简单地加以说明.1　把握差异特征,明确突破方向分析条件和结论间的差异,函数名称的差异,角的差异等,往往能迅速准确地找到解题的突破口,确定解题的方向.例1　已知1 +cosα-sinβ+sinαsinβ=0 ,且1 -cosα-cosβ+sinαcosβ=0 .求证:3cos2 α+ 2sinα=0 .分析:考察条件与结论间的差异:已知条件中含有β,而待证结…     

数列中探索问题的解题策略

在解数列题中经常碰到一类“试探求”、“试推测”、“试判断”、“是否”、“能否”等词的问题 ,这类问题总称为探索问题 ,数列中的探索问题常见的类型分为三类 :1)存在性问题 ;2 )由给出的条件寻求相应的结论 ;3)由给出结论 ,反索应具备什么条件 ;数列中的探索性问题在近几年的高考中越来越被重视 ,因此本文通过具体的例子来说明解题的策略 .1　存在性问题 .对于这类问题的解题思路是先假设存在 ,再根据存在条件进行逻辑推理 ,若推出矛盾 ,则假设不成立 ,否则说明假设正确 .解题的常用方法有直接法、归纳法、特值法 .例 1　已知数列 {ａｎ…     

把握问题本质 优化解题方法

数学问题的形式千姿百态 ,我们对问题结构特征的审视角度不同 ,解题策略也就不同 .只有把握问题的本质属性、创造性思维 ,灵活运用概念、性质、法则、定理、公式及有关数学思想 ,才能从各种解法中挑选出最佳解法 ,达到优化解题、提高学生数学素质的目的 .1　反函数性质例 1　设