利用“垂线段最短”巧解三类代数式的最值

<正>"直线外一点与直线上任一点的连线段中,垂线段最短"这是大家都公认的一个几何事实,它不仅在解决一些生活实际问题和几何问题时有重要的作用,还能利用数形结合思想解决一些特殊代数式的最值问题,本文着重介绍它在解决三类特殊代数式最值问题中的妙用,这会带给我们"柳暗花明又一村"般的欣喜.     

杨辉三角与棋盘形街道走法

近期有学生问到以下问题:问题图1与图2分别是某市棋盘形街道,从A到B处的最短走法种数分别是多少?图1图2分析图1中,从A到B,最短路程的每一种走法应是5段横向、4段纵向共9段;若9段中5段横向确定,那么4段纵向也随之确定,即对应从A到B的一种走法,故共有C95=126种最短走法.图2中的街     

运用直线与圆位置关系研究一类几何最值问题

<正>最值问题是几何综合题中的常见问题,近年来在中考数学中难度有一定程度的降低,可是很多同学仍不得要领,其实几何最值往往可以归结到两个基本原理上,一是两点之间线段最短,比如求两条线段长度和的最小值时的"将军饮马"模型;二是垂线段最短,本文将借助于直线与圆位置关系使用此原理.     

一类几何题看似无圆却有圆

<正>初中数学学习中,我们往往会遇到求最大值或最小值问题,所使用的知识点通常有:三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;两点之间线段最短;垂线段最短.初三学习了圆这一章,经常用"圆外一点到圆上各点距离最大和最小的线段必经过圆心"这个结论来求最值.在我们所见到的问题中,其中有一类几何题看起来与圆无关,但若能根据问题的条件,图形的特点挖掘隐藏的圆,则可利用圆的知识巧妙解决.     

关于几何图形中求最小值问题

<正>几何图形中求最小值的依据分别为:⑴两点之间线段最短.⑵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,以下简称"垂线段最短".一、应用"两点之间线段最短"求最小值问题.1.利用轴对称例1如图1,在矩形ABCD中,AB=     

“中点型一线三等角”模型的探索及应用

<正>"处处留心皆学问",在数学解题过程中我们常常会遇到一些相似的题型,对这些常见的题型我们可以作深入地探究,归纳其通性通法,我们可称之为"数学解题模型".借助这些解题模型,我们往往就能抓住题目已知的要点,顺利突破解题难点,让解题变得游刃有余.本文笔者以对"中点型一线三等角"模型的探索为例,以飨读者.     

对最值问题的思考

<正>在中考前的复习过程中,笔者接触不同的题型,经常发现学生易错的一些题型,对这些题型进行归纳,从中找出解决这类问题的一般思路,形成专题,在复习中能起到事半功倍的效果.对于最值问题,笔者发现解决此类问题的主要依据有三个,分别是"两点之间,线段最短";"垂线段最短";"二次函数最值".一、两点之间线段最短例1如图1,正方形ABCD的边长为2,点E为边BC的中点,点P在对角线BD上移     

初中几何中线段的最小值问题

<正>几何中线段的最小值问题常作为中考的考点,解题依据主要有:"两点之间线段最短"、"垂线段最短"和"圆外一点与圆心的连线与圆相交,这一点与交点的线段就是点到圆的最短线段"等几何基本事实和推论,但运用时往往会将其转化,构造相等线段(全等三角形)和辅助圆来解答.1直接利用基本事实和推论(1)利用"两点之间线段最短"例1如图1,在菱形ABCD中,AB=10,∠A=120°,点P,Q分别是线段BC、CD的中点,点K为线段BD上任意一点,求PK+QK的最小值.分析运用"两点之间线段最短"时,往往运用轴对称,因为点K为线段BD上任意一     

初中数学中的“解斜三角形”

<正>在初中数学中,我们学过"解直角三角形",其实,我们平时做题会遇见很多已知斜三角形(锐角三角形和钝角三角形)的边、角,要求未知的边和角这样的问题,我们可以将这类问题类比归纳为"解斜三角形".对于斜三角形,一共有六个元素(三条边、     

一般化的魅力

<正>在学习数学时,老师经常告诉我们,要学会把问题一般化,我也经常模仿着老师把一些小问题进行一般化.这不,在学习直线的垂直和平行时,老师曾给我们介绍了两个结论:如果一个角的两条边与另一个角的两条边分别垂直,那么这两个角相等或互补;如果一个角的两条边与另一个角的两条边分别平行,那么这两个角相等或互补.     

如何用“垂线段最短”证不等关系

<正>性质"垂线段最短"经常用来证明与线段有关的不等关系,下面举几例说一说它们的应用.一、直接使用性质有些线段不等关系式是通过与垂线段比较大小得到的,所以当已知条件中出现垂直的条件时,就可以优先考虑使用该性质.     

巧用中点架桥梁

对于立体几何题,学生在学过空间向量之后,往往会过度依赖向量方法,见到题就想建立直角坐标系,就开始进行找坐标求向量的运算.其实,多数证明平行与垂直的问题和一部分求角的问题是完全可以通过几何方法直接解决的,而且过程会更简洁.下面就今年各省市的几道高考题来分析一下"中点"在证明平行与垂直、求角方面的应用.     

加倍术在初中几何上的运用

<正>1准特殊角加倍运用举例在有关三角形问题中,往往会出现一些"准特殊角",如15°,22.5°,36°等.在解决这类问题时,要注意应用数学基本思想——转化思想,设法把非特殊角问题转化为特殊角问题,变未知为已知,化繁就简.(1)借助三角形的外角性质加倍     

Ford-Fulkerson算法与嵌入图中的短圈

关于嵌入图中最短圈的多项式算法的存在性问题,是由Thomassen最早提出的.本文通过改进的Ford-Fulkerson算法,可以得到最短割算法.另一方面,通过定义嵌入图的几何对偶图及其相应的嵌入系统,得到几何对偶图中的可分离圈就对应于原图中的割;反之,若几何对偶图中的割在原图中对应于-个圈,那么该圈一定可分离.从而在射影平面上解决了Mohar与Thomassen关于是否存在多项式算法寻找短圈的问题.对于-般曲面上嵌入图,只要它的面宽度充分大,那么同样有多项式算法发现最短可收缩圈.     

用三点共线求线段之和的最小值

我们知道,两点间以连结这两点的线段的长为最短．给定两点A、B及第三个点P,则PA＋PB≥AB,当且仅当点P在线段AB上（含A、B）时,PA＋PB取得最小值AB,我们称之为三点共线原理．利用这一原理可以巧妙地解决一些与线段之和最小的相关问题．     

距离不是无情物,放在球面更生辉——兼论教材上“球面距离”处理之疑义

1 问题的背景在球面上,两点之间最短连线段的长度,就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度.我们把这个弧长叫做两点间的球面距离,这就是教材上球面距离的定义.不难看出,这个所谓“定义”,不如说是一种“规定”,配套的教参提到了“最短连线段”取代原教科书上的“最短距离”,使其说法更合逻辑性.至于为什么这样的劣弧长最短,并未作任何交待,同时说明不要求证明.教师和学生也只是一轮轮,一遍遍地由几何直观认识它的正确性,实际问题的合理性,并不断地自觉运用于解题活动中.     

利用定义巧添辅助线解几何题

为了证明的需要 ,在原来的图形上添画的线叫做辅助线 ,添辅助线是解决几何问题不可缺少的重要手段 .而利用定义巧添辅助线就是当几何问题中的条件或结论中出现直接和某一基本概念有关的性质 (如线段或角的和差倍分问题等 )时 ,就可以根据这些要领的定义添加辅助线 下面举例说明 1 要证明一条线段等于两条线段的和 ,可根据线段和的定义将这两条线段接起来 ,然后证明所得的线段和长的线段相等 ;也可以在长的线段上截取一条线段和短的两条线段中的一条相等 ,证明留下来的部分和另一条线段相等 (角的和差问题类似 ) 例 1　如图 1 .已知P是…     

立体几何中的动点问题

<正>立体几何作为高考必考内容之一,每年都会占据一道大题的位置,主要考察线面关系的判定、动点问题、体积问题等.其中最令人头疼的问题莫过于在某一条线段上寻求一点使某条线或某个面满足某个结论的问题,我们将其称之为"动点问题".我们接下来通过几个例题来介绍一些行之有效的处理动点问题的思想     

巧用两点之间直线段最短求最值

“两点之间直线段最短”其道理简单浅显,广泛应用于平面几何．立体几何中很多求线段之和问题可以等价转化成平面几何的求线段之和问题．下面通过举例说明如何利用“两点之间线段最短”在立体几何中求最值．     

例谈不等式恒成立问题

<正>我们知道,不等式恒成立的证明可以转化成对函数最值问题的研究,进而可以借助导数工具研究函数最值.而利用不等式的性质,可以对不等式进行等价转化,这就会使研究的函数模型发生变化.同时,我们可以从函数角度认识不等式,两个等价的不等式因为形式的不同,所对应的函数图象的关系也会有不同.今天我们通过一道题来体会此类问题解决的策略和值得关注的地方.