求无理函数值域的一种方法——换元

函数的值域是函数概念的重要组成部分,求函数的值域较之求函数的定义域困难得多,特别是对于表达式为无理式的复合函数,更是同学们感觉困难的问题,对于一些无理函数,若我们变换思维,恰当地进行换元,往往能使问题很顺利地解决。     

关于换元法求无理函数值域应用问题的思考

换元法是一种变量代换,其实质是用一种变量形式去取代另一种变量形式,从而把一个函数变为简单函数.所换新元的范围由原函数的定义域及所换元的表达式来确定.本文对用代数换元法和三角换元法求三类无理函数的值域作些探讨.     

求一类无理函数值域的新视角

形如y=mg(x)~(1/2) nf(x)~(1/2),(m,n∈R 且大于零)其中g(x) f(x)=c(常数)类型的无理函数值域问题,现给出利用向量的数量积来求解,它能很好地联系数学各部分知识,有益于打破定势思维,培养创新精神．     

巧构圆锥曲线求无理函数值域

在2008年高考数学重庆理科卷中有这样一道试题： 题目 已知函数y=√1-x＋√x＋3的最大值为M,最小值为m,则m/M的值为（ ）     

利用向量求一类无理函数的值域

设向量^→a=（x1＋y1）,^→b=（x2,y2）,则称cos（^→→a,b）=x1x2＋y1y2/√x1^2＋y1^2√x2^2＋y2^2为向量^→a与^→b的坐标形式的夹角公式．有一类无理函数,它本身就是根据这一公式编制出来的．其函数表达式的结构与坐标形式的向量夹角公式的结构相似,     

利用向量求一类无理函数的值域

设向量→a=(x1,y1),→b=(x2,y2),则称cos〈→a,→b〉=(x1x2+y1y2)/~1/2((x21+y21)(x22+y22))为向量→a与→b的坐标形式的夹角公式.有一类无理函数,它本身就是根据这一公式编制出来的.其函数表达式的结构与坐标形式的向量夹角公式的结构相似,同学们求解时,若能适当构造向量,还原其本来面目,则可利用该公式求这类无理函数的值域(这是一类有较大难度的函数值域问题).下面略举两例加以说明,供同学们参考.     

求无理函数值域的通法——导数法

<正>无理函数值域问题是高中数学的重点、难点,同时也是各种考试的宠儿.纷繁复杂的试题让许多学生感到非常头疼,也让老师在教学中不知所措.查阅文献,大多作者对于该类问题多是采用换元、构造等一些技巧性非常强的方法.乍看这些解法甚是精美,细想一下,作为具有较高的知识水平和多年的教学经验的老     

用一一映射变换求一类无理函数的值域

用一一映射变换求一类无理函数的值域７２３１００陕西南郑江南压铸总厂子校郝世富首先，我们建立一个从区间［ａ．ｂ］到区问［ｃ，ｄ］上的一个一一映射．为此．我们需要解决的是如何确定这个映射的对应法则．设ＡＢ、ＣＤ是两条互相平行的数轴（如图），易知区间［ａ，...     

求无理函数值域的通法--导数法

无理函数值域问题是高中数学的重点、难点,同时也是各种考试的宠儿．纷繁复杂的试题让许多学生感到非常头疼,也让老师在教学中不知所措．查阅文献,大多作者对于该类问题多是采用换元、构造等一些技巧性非常强的方法．乍看这些解法甚是精美,细想一下,作为具有较高的知识水平和多年的教学经验的老师,用这样的方法是家常便饭．可是,     

一类无理函数值域问题的统一解法

不少文献研究了无理函数ｙ＝ｔｘ＋ｖ＋ｋａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａｋ≠０）（）的值域问题（设ｂ２－４ａｃ≠０）．本文利用三角变换结合直线斜率数形结合给出一种统一解法．原函数式配方,得ｙ＝ｔｘ＋ｖ＋ｋａ（ｘ＋ｂ２ａ）２＋４ａｃ－ｂ２４ａ．作替换ｚ＝ｘ＋ｂ２ａ,则ｙ＝ｔｚ＋（ｖ－ｂｔ２ａ）＋ｋａｚ２＋４ａｃ－ｂ２４ａ．若ａ＜０,则有ｙ＝ｔｚ＋（ｖ－ｂｔ２ａ）＋ｋ－ａ　·ｂ２－４ａｃ４ａ２－ｚ２．若ａ＞０,则有ｙ＝ｔｚ＋（ｖ－ｂｔ２ａ）＋ｋａ　·ｚ２＋４ａｃ－ｂ２４ａ２．因此,函数式的根号内可化为ｒ２－ｚ２…     

一类无理函数值域问题的多种解法

在高考试题和竞赛试题中,经常会出现求形如y=m√axk＋b＋n√cxk＋d（ac〈0）的无理函数值域的问题,很多考生对此类题目无从下手、无能为力!     

运用向量的数量积求一类无理函数的值域

本文用向量的数量积探讨形如y=m√g(x)+n√f(x)(其中f(x)+g(x)=r2,r为正常数,m,n为非零常数)的一类无理函数值域的求法.     

用三角换元法求两类无理函数的值域

用三角换元法求两类无理函数的值域福建晋江养正中学许远望，方刚凌关于根式函数ｆ（ｘ）＝ｍｘ＋ｌ＋值域的求法，杂志上发表了不少文章，各抒己见．文［１］──文［４］研究的中心课题，都是判别式的可靠性问题．本文试图利用三角换元法，使根式有理化，再利用三角函数...     

求分式函数值域的方法

我们把形如ｆ(x) =(ｄx~2 +ｅｘ + ｆ)/(ａx~2 +ｂx+ｃ)(分子分母既约 ,ａ、ｄ不同时为零 )的函数称为二次分式函数 .下面举例说明二次分式函数值域的求法 .问题求函数 ｆ(ｘ) =ｘ + 22ｘ2 + 3ｘ + 6 的值域 .我们可以把函数式变形为ｆ (ｘ) =ｄｘ2 +ｅｘ+ ｆａｘ2 +ｂｘ +ｃ=ｍ(ｘ +ｎ)ｘ2 + ｐｘ+ ｑ+ｈ的形式 ,而ｇ(ｘ) =ｘ +ｎｘ2 + ｐｘ + ｑ=ｘ +ｎ(ｘ +ｎ) 2 +ｒ(ｘ+ｎ) +ｓ(ｓ≠ 0 ) .当ｘ +ｎ =0时 ,则易得 ｇ(ｘ) =0 ;当ｘ +ｎ≠ 0时 ,继续变形为 ｇ(ｘ) =1(ｘ +ｎ) + ｓｘ +ｎ+ｒ=1ｈ(ｔ) +ｒ,其中ｔ =ｘ +ｎ ,ｈ(ｔ) =ｔ + ｓｔ…     

求三角函数值域的常用方法

<正>三角函数的值域(或最值)问题是历年高考考查的内容,解答中应结合三角函数的特点,选取不同的方法.下面举例说明,以供参考.一、直接法例1求函数y=3-cos2x的值域.分析将2x看成一个整体,利用余弦函数的值域求得.     

求三角函数值域的常用方法

三角函数的值域（或最值）问题是历年高考考查的内容,解答中应结合三角函数的特点,选取不同的方法．下面举例说明,以供参考．     

三角换元在无理函数问题中的应用

<正>换元法是一种十分重要的思想方法,而其中三角换元更是应用广泛.三角换元法主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元,对于解决某些函数、方程以及不等式等问题有着出奇的效果,特别是对一些无理函数,三角换元显得举足轻重,用得好可以让我们做题事半功倍.     

求复合函数值域的一般方法

一般说来,求函数的值域较之求函数的定义域要困难得多。求函数的值域没有一般的方法可循,只能具体函数具体刘待。因此研究一些特殊函数值域的求法,具有一定的意义。本文将给出求复合函数值域的一般方法,为了说明其理论根据,先把复合函数的定义叙述如下: 设y是u的函数y=f(u),而u又是x的函     

判别式法求值域要注意的问题

对于形如 ｙ =ａ1 ｘ2 +ｂ1 ｘ +ｃ1 ａ2 ｘ2 +ｂ2 ｘ +ｃ2(ａ1 ａ2 ≠ 0 )的函数的值域 ,我们一般采用判别式法求解 ,但在用这种方法求解的时候 ,有一个问题需要加以注意 ,否则 ,将会得到错误的结论 .例 1　求函数 ｙ =ｘ2 -3ｘ + 2ｘ2 -1的值域 .错解　将原函数变形ｙ(ｘ2 -1) =ｘ2 -3ｘ + 2 ,整理成关于ｘ的方程(ｙ -1)ｘ2 + 3ｘ -(ｙ + 2 ) =0 ,1.ｙ -1=0 ,即ｙ =1,也即　ｘ2 -3ｘ + 2ｘ2 -1=1,该方程无解 ,故ｙ≠ 1.2 .ｙ -1≠ 0 ,即 ｙ≠ 1,得到关于ｘ的一元二次方程 .要使方程有解 ,则Δ =32 + 4 (ｙ -1) (ｙ + 2 )≥ 0 ,即 (2ｙ + 1…