应用向量解决平面几何问题

向量是形与数的高度统一，它集几何图形的直观与代数运算的简洁于一身，在解决平面几何问题中有着奇特的功效．利用向量法解答平面几何问题的一般步骤是：1)将题设和结论中的有关元素转化为向量形式；2)确定必要的基底向量，并用基底表示其他向量；3)借助于向量的运算解决问题。     

构造圆解决向量问题

<正>圆是初等数学中的重要研究对象,有丰富的几何性质和优美的代数形式,因而我们常把圆作为重要的解题工具,比如在处理向量问题时,依据问题的特点,建立圆的模型,能够提高解决问题的能力.下面通过具体的问题来说明.一、利用圆的定义或垂直关系,建立圆的模型应用圆的定义,如果一个向量的模是定值,当向量的起点固定而终点运动时,则终点     

向量学习中数学美的展现

围绕数学美、数学创造的论述,结合高数中向量与几何的紧密联系,在精选的例题中巧妙地运用几何知识,联想与构造相结合,将平面几何知识应用得恰到好处;还有由平面的直线系方程到空间的平面束方程,均反映了知识的迁移能力训练,将数学美体现的淋漓尽致,对学生思维的开拓,形成和发展他们的数学审美能力、优化他们的思维品质具有指导意义.     

解决一类向量问题的通法

文[1]中,胡老师对一道向量难题给出了一种巧妙的简解,在此基础上又给出了几个新颖别致的变式问题,阅后自感收获甚多．在感受胡老师巧妙的解题智慧的同时,心中微觉遗憾：这几道题目从形式上看极其相似,但解决方法却题题相异,不利于学生掌握．那么,是否有一种通法,在相同的思路下一股脑儿的解决这些问题呢？     

向量——解析几何问题解决的利器

使用向量方法来解决几何问题的一般解题顺序: 解析几何问题→问题解决→向量问题→向量运算 笔者通过以下三个方面来说明向量法的有效运用.     

构造平面向量,解决三角问题

平面向量的引入 ,不仅给传统的中学数学增添了新的活力 ,也为一些三角问题的解决提供了新的思路 .下面就如何利用向量这一有力工具 ,简捷而巧妙地解决某些三角问题作一粗浅的探讨 .例 1　求sin2 2 0° +cos2 5 0° +sin2 0°cos5 0°之值 .解　构造向量a =(3sin2 0° ,sin2 0°) ,b =(3cos5 0° ,-cos5 0°) ,则a +b =(3(sin2 0° +cos5 0°) ,sin2 0° -cos5 0°)=(2 3sin30°cos10° ,2cos30°sin (- 10°) ) =(3cos10° ,- 3sin10°) .由 (a +b) 2 =a2 +2a·b +b2 ,有3=4sin2 2 0° +2 (3sin2 0°cos5 0° -sin2 0°cos5 0°) +4cos2 5 0…     

空间向量解决几何体外接球问题

《普通高中数学课程标准(实验)》在"课程目标"中指出:"提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力";在"内容标准"中指出:"三维空间是人类生存的现实空间,认识空间图形,培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力,是高中阶段数学必修系列课程的基本要求",而通过数学立体几何的求解是达到以上"课程目标"的     

用向量解决点关于直线对称问题

在对称问题中,点关于直线对称是重要的一类.其做法是抓住对称轴是中垂线的特点来求解,计算量比较大,而且容易出错,而用向量解决此问题,则方便快捷.此法是受点到直线距离的向量做法的启发:一、点到直线距离公式推导     

平面向量数量积问题的解决策略

<正>平面向量数量积运算是高中阶段的重点内容之一,同时也是高考的必考点之一,作为重要的知识点和考点,本文从高考题入手,分析、总结、归纳了求解平面向量数量积的三种处理策略,并在实际的一线教学中应用,取得了较好的效果.三种策略的应用不仅提升了广大学生应对难度较大的平面向量数量积问题的信心,而且为2019年高考数学复习备考中向量模块的复习提供了一定的方向和依据,以期达到提高学生的思维能力,提升其数学核心素养的目的.     

应用初等变换解决向量的线性表出问题

应用初等变换解决向量的线性表出问题雷英果（福州大学）由于向量的加、减、数乘运算是线性代数的基本运算。初等变换在线性代数中起着重要的作用。我们可以用初等变换计算行列式，求矩阵的逆，计算矩阵的秩，解线性方程组，化矩阵为对角形，．．．等等。但是，在求解把向...     

用向量解决立体几何中的动点问题

立体几何是研究空间点、线、面的位置关系的学科,它给出我们在研究在运动变化中的规律问题的一种方法.因此,立体几何中涉及动点的题型是常见的问题,它对学生思维的灵活性及知识的迁移能力要求更高,常常使学生感觉比较棘手空间向量是解决空间几何问题的一个有效途径,下面我们按照常见的儿类动点问题谈谈向量在解决立体几何中的动点问题中的技巧.     

一题多变展现向量的数形特征

为帮助学生感受向量板块中“数”与“形”的密切联系,从一道试题出发,以此为基础进行思想方法的剖析,并逐步拔高,衍生出两道变式题,相同的思想却蕴含着不同的分析方法与技巧,充分体现数形结合思想的深刻性和丰富性,帮助学生明确向量问题的思考方向,加深对知识本身以及数形结合思想的理解.     

函数思想方法在向量问题解决中的应用

<正>平面向量这一部分内容作为高中数学中的重要考点,经常出现在选择填空中,甚至于以压轴题的形式出现.笔者最近对近年的平面向量问题进行了系统的整理和研究,发现其中部分向量考题背后经常出现或渗透函数思想方法,这样就会一定程度上使其所涉及的知识综合性得以提高,解决问题的难度也随之上升.针对这种情况,笔者结合近年这方面的高考试题例析如下,以供读者参考.     

一类平面向量面积比问题的解决方法

平面向量面积比问题在数学试题中,属于小题中的难题,在高考、竞赛试题中时有出现.笔者试图从一道数学竞赛题入手,针对选择题、填空题解题的特点,先给出直觉的解法,再对直觉解法给出理性证明,然后再加以推广. 1 直觉思维的解法 直觉思维是指对一个问题未经逐步分析,仅依据内因的感知迅速地对问题答案作出判断、猜想、设想,或者在对疑难百思不得其解之中,突然对问题有“灵感”、“顿悟”,甚至对未来事物的结果有“预感”、“预言”等.直觉思维是一种心理现象.面对选择题、填空题解题的特点,有时可以采用直觉思维或合情推理求解,从而提升解题速度.     

三角形外心的平面向量问题的解决探究

<正>平面向量既有数的代数特征又有形的几何特征,是沟通代数与几何的重要桥梁.在三角形中,选择两个边作为一组基底,由平面向量基本定理可知,该平面上的任意一个向量都可以用这一组基底唯一表示,即存在唯一一组确定的实数系数与这组基底一一对应.三角形的外心具有特殊的性质,作为平面向量命题的背     

例析坐标法解决与向量有关的问题

坐标法又称解析法,是解析几何中最基本的方法．其思路是：通过建立平面直角坐标系,把几何问题转化为代数问题,从而利用代数知识使问题得以解决．同学们在解决一些与向量有关的问题时若适当考虑坐标法,     

向量法是解决垂直问题的一把利器

在平面几何中,垂直是一种特殊的位置关系．很多几何题都涉及垂直的证明,沈文选先生对此作了较为详细的总结,认为可由从角、线、形等多方面考虑．这其中需要牵涉到很多的几何知识,详见文[1]．笔者与张景中先生在文[2,3]中指出：初等几何解题要用许多公理和定理,而向量法仅仅用4条规则,这从根本上体现了向量法平易简捷的特色．特别是在证明垂直方面,向量法解题思路简单,     

例析坐标法解决与向量有关的问题

坐标法又称解析法,是解析几何中最基本的方法.其思路是:通过建立平面直角坐标系,把几何问题转化为代数问题,从而利用代数知识使问题得以解决.同学们在解决一些与向量有关的问题时若适当考虑坐标法,可使向量的运算完全代数化,将数与形紧密地结合起来,使得用向量的方     

例析平面向量最值问题的解决策略

<正>最值问题(或范围问题)是高中数学中的一类常见问题.处理最值问题的思路一般有三种:一是函数最值视角,二是代数不等式视角,三是几何不等式视角.处理以平面向量为背景的最值问题,这三种方法依然适用.本文通过2017年高考两道试题的一题多解,介绍高考中平面向量最值问题(或范围问题)的处理策略.题目1(2017年浙江省数学高考试题第     

向量的闭合回路在问题解决中的巧妙运用

所谓“向量的闭合回路”就是向量从一点出发,通过一个封闭的图形又回到原点的那个通路．显然,n个向量构成闭合回路的条件是相邻两个向量都必须首尾相接,