应用圆求最值

定理1 如果x~2+y~2≤R~2,S=mx+ny,m、n为常数且mn≠0,那么,当且仅当这圆与这动直线相切时,S才取得最值:S_max=RM~2+n~2~(1/2)S_min=-RM~2+n~2~(1/2)。证明设圆心(0,0)到直线的距离为d,那么d=|S|/(m~2+n~2)~2(1/m~2+n~2)≤R ∴-R(m~2+n~2)~2(1/m~2+n~2)≤S≤R(m~2+n~2)~2(1/m~2+n~2)当且仅当圆与直线相切时,     

巧添“隐圆”求几何最值

<正>在试题中有一类涉及隐圆的几何最值试题,如果我们能够想到作出这个辅助圆,那么问题就一目了然.从学生角度看,能够想到作出辅助圆这是一种较高的能力.我们这里做一个专题进行训练.例1如图1所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=4槡2,E是线段AB的中点,F是线段BC上的动点,△BEF沿着直线EF翻折到△B′EF,连接DB′,B′C,当DB′最短时,     

求几何最值几例

<正>几何图形中的最值问题,考查学生应用知识的灵活性.现举例加以说明,供参考.例1如图1,已知点P是半径为1的⊙A上一点,延长AP到C,使PC=AP,以AC为对角线作平行四边形ABCD.若AB=3^(1/2),则平行四边形ABCD面积的最大值为____.     

利用几何模型求最值

<正>几何模型已知⊙O外一点P和⊙O上任意一点Q,当点Q、O、P共线,且P和Q在点O的同侧时,PQ长度最小.证明如图1,连接OP,交⊙O于点Q′,连接OQ.由三角形三边的关系可知,PQ+OQ>OP.即PQ+OQ>PQ′+OQ′.又因为OQ=OQ′,所以PQ>PQ′.故当点Q在Q′处时,PQ长度最小.     

利用二次函数求几何最值

最值问题是平几中的一个重要内容,它是在给定的约束条件下,求关于几何图形中的某个确定的几何量的最大值或最小值,解决最值问题的方法,一般是以几何中的不等量性质、定理为基础,用几何推理方法、或用代数法、或用三角法来进行探索、分析以求得最值,本文旨在介绍如何...     

利用最简几何不等式求最值

几个基本几何不等式如下 :(1)两点间距离最短 ;(2 )三角形两边之和大于第三边 ,两边之差小于第三边 ;(3)点到直线的距离最短 .把这几个基本几何不等式运用到数学中的一些最值问题中 ,将使整个解题过程令人耳目一新 .例 1　如图 1,若 A(3,2 ) ,F为抛物线y2 =2 x的焦点 ,P为抛物线上任意一点 ,求 :| PF| | PA|的最小值 ,以及取得最小值时 P的坐标 .解　由条件可知 ,抛物线的准线 l的方程为 x=- 1.设动点 P(x,y)在准线上的垂足为M(- 1,y) .∵　　 | PF| =| PM| ,∴　要求 | PF| | PA|的最小值 ,即是求 | PM| | PA|的最小值 .如…     

巧添辅助圆,求解相关最值问题

<正>在动态问题中求解最值是近几年中考的一大热点.本文结合部分与圆相关的最值问题具体谈谈如何巧添辅助圆,顺利求解最值问题.例1如图1(1),在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点,点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合),沿DE翻折△DBE使点B落在点F处,连接AF,则线段AF长的最小值是     

巧用阿波罗尼斯圆妙求最值

<正>例(2008年高考江苏卷13)若AB=2,AC=2^(1/2)BC,则S_(△ABC)的最大值是_____.解三角形是高考必考内容,重点为正、余弦定理及三角形面积公式.客观题以考查正、余弦定理解三角形为主,难度不大;解答题主要考查与函数结合,实现边角互化,或用以解决实际问题,难度中档,侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力.     

巧添圆求最值三例

<正>有些最值问题,做题时如果心中有圆,能从题目中发现其隐藏在图形中的圆,画出圆,说不定会有出其不意的解题效果.现从中考题选取三例说明:例1(2016年安徽)如图1,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为().     

从几何意义入手求绝对值的最值

《中学生数学》2010年9月(下)发表了田茂江老师的《一类新的绝对值最值问题》,文中讨论了形如|x-a1|+|x-a2|+|x-a3|+…+|x-an|其中a1≤a2≤…≤an一类绝对值问     

线性规划求最值的三个几何模型

简单的线形规划融代数中的不等式与几何中的直线有关问题于一体,是数形结合的典范,能很好地体现数形结合的思想．在利用简单的线性规划求最值的有关问题中,若能挖掘目标函数的几何意义,建立相应的几何模型,则能使问题轻松获解．利用简单的线性规划求最值的有关问题常见的几何模型常常有以下三种：     

巧添辅助圆 妙解最值题

<正>最值问题是中考热点也是难点.在最值问题中,以圆为背景命制的题目难度较大,尤其是一些平面几何综合类题目以隐圆的形式呈现,难度大、失分率高.查阅近几年的中考试题,部分选择和填空压轴的最值题以隐圆为背景命制,这些题型看似高深莫测,实则有迹可循.为此,本文以中考隐圆最值题型为载体,通过巧妙添加辅助圆解决圆中的最值问题,期望为同学们快速解答压轴题提供方法上的指导.     

经性规划求最值的三个几何模型

简单的线形规划融代数中的不等式与几何中的直线有关问题于一体,是数形结合的典范,能很好地体现数形结合的思想.在利用简单的线性规划求最值的有关问题中,若能挖掘目标函数的几何意义,建立相应的几何模型,则能使问题轻松获解.利用简单的线性规划求最值的有关问题常见的几何模型常常有以下三种:     

浅谈构造辅助动圆解决最值问题

<正>最值问题在中考中频频出现,常让很多同学束手无策,望而生畏,其实解这类试题关键是要结合题意,借助相关的概念、图形的性质,将最值问题转化为相应的数学模型.其中构造动圆模型,可以使问题解决形象直观,化难为易.现举例说明:例1如图1,点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0),当点P在y轴上移动时,∠APB是否有最大值?若有,求点P的坐标,并说明此     

巧求最值

<正>请将15个不同的正整数填入图1中15个小圆圈内,使八个等式都成立,那么这15个不同的正整数中的最小者最大是多少?并请找出这15个正整数来,使八个等式都成立.     

构造“圆和圆外一定点”模型求线段最值

<正>如图1,点P为⊙O外一点,连接PO并延长,交⊙O于点A,B,则连接点P和⊙O上任意一点所得的线段中,PA最短,PB最长.结论略证如下:如图2,点C为⊙O上任意一点(不和点A,B重合),连接CO,由三角形三边关系知道:PC+CO>PO,又PO=PA+AO,CO=AO,所以PC+CO>PA+AO,即PC>PA.由三角形三边关系知道:PO+CO>PC,又PO+CO=PB,所以PB>PC.当C为⊙O上任意一点(可以和点A,B重合)时,便有结论 PA≤PC≤PB,利用这一     

另辟捷径求最值

<正>在解决一些求最值问题时,若利用常规的方法求解,有时过程繁琐,甚至无从下手,但若挖掘与其它知识之间的联系,以相关的知识作为桥梁,很多问题就可以迎刃而解了.例1求函数t=(1-10~(1/2)sinα)/(3+cosα)的值域.解(利用直线和圆的位置关系)原函数变形为槡10~(1/2)sinα+tcosα+3t-1=0,则点(sinα,cosα)在直线槡10~(1/2)x+ty+3t-1=0上,又该点在圆x2+y2=1上,则问题转化为直线槡10x+ty+3t-1=0和圆x2+y2=1有交点,     

巧用向量求最值

函数求值问题，经常出现在中学各类竞赛试题中，巧妙利用向量求函数的最大值，最小值等，可以使一类函数求值问题的思路清晰，解题方法简捷巧妙，并富于规律性，趣味性．