直线上两点间的距离公式及其应用

1　公式设直线 l的方程为 y =kx m,点P1( x1,y1) ,P2 ( x2 ,y2 )为直线 l上任意两点 ,则有 :| P1P2 | =1 k2 | x1- x2 | ,　或| P1P2 | =1 1k2 | y1- y2 | ( * )这一公式即所谓圆锥曲线的弦长公式 .但从其推导过程 (利用两点间距离公式及直线方程 )容易看出 :这一结果与 P1,P2 是否在圆锥曲线上无关 .求弦长仅仅是它的一种应用 ,因此更名为“直线上两点间距离公式”更符合其本质特征 .本文旨在发掘这一公式在其它方面的重要应用 .2　应用2 .1　用于求曲 (直 )线方程待定系数是求曲线方程的基本方法 ,由此求曲线方程需将给定的几何…     

由习题谈弦长公式

<正>高中数学选修2-1(以下简称课本)第三章圆锥曲线与方程"4.3直线与圆锥曲线的交点"一节中有如下几道习题:习题1求直线x-y=0被曲线2x2+y2=2截得的弦长.习题2直线x-2y+2=0与椭圆x2+4y2=4相交于A、B两点,求A、B两点间的距离.……这些题目的共同特点是:已知直线l与曲线C相交于A、B两点,求线段AB的距离(即弦长).当然这类题目均可先联立方程组求出交点A、B的坐标,再由两点间距离公式求弦长     

70 圆锥曲线中的弦长问题

1上一周的课结束时，给学生发下了如下的一张准备题组（说明：可以讨论；欢迎找资料参考）．2一段时间后，教师召集一些小组长碰头：点拨；分工──明确一些小组探讨的重点方法、方向；提点要求，并解答疑难处3上课了．教师简明地说：这些问题中的共同课题，是圆锥曲线中的弦长问题．解决这类弦长问题，通常有如下四条途径：1°利用公式求弦长；2°直线用参数方程表出．得用参数的几何意义用公式L＝｜t1－t2｜求弦长；3°化为极坐标方程后，利用极径求弦长；4°利用焦半径公式来求过焦点的弦长．当然，若曲线是圆时，用垂径定理与勾股定理…     

解析几何中的“几何法”

解析几何的基本思想是用代数方法研究几何问题 ,当然离不开代数推理、计算 ,但在有些题目中 ,若能根据题中给出的条件 ,充分应用几何性质 ,利用“几何法”求解 ,将使解题过程简单化 .　　一、利用圆的性质1.根据圆的定义【例 1】　如图 ,圆方程是x2 y2 =16,点A(2 ,0 ) ,B是圆上的动点 ,AB的垂直平分线m与OB交于点P ,求点P的轨迹方程 .分析 :因为点P是m与OB的交点 ,易想到用交轨法 ;或点P的轨迹是由点B在圆上运动所致 ,易想到用代入法或参数法求解 .但从另一角度考虑 ,m是AB的垂直平分线 ,所以点P到点A、B的距离相等 ,即｜PO｜与｜…     

也谈圆中常见的两解问题

文[1]中,对圆中常见的两解问题进行了归纳: (1)两平行弦之间的距离;(2)弦所对的圆周角;(3)已知半径、两弦长,求两弦的夹角;(4)两圆相切; (5)半径不等的相交两圆的圆心距,笔者对此问题也进行过归纳与研究,下面结合课堂教学及相关的中考试题,谈谈圆中其他常见的两解问题。     

圆的切点弦及其求法

已知圆Ｏ :ｘ2 ｙ2 =Ｒ2 及圆外一点Ｐ(ａ ,ｂ) ,过点Ｐ作圆Ｏ的两条切线ＰＡ ,ＰＢ ,切点分别为Ａ ,Ｂ ,则我们称弦ＡＢ为圆Ｏ的切点弦 .那么直线ＡＢ的方程是什么 ?该怎样求解呢 ?图 1　解法 1图分析 1:利用圆的切线及圆内接四边形几何性质 ,可构造一圆 ,然后借助圆系求解 .解法 1　连结ＯＡ ,ＯＢ ,由圆切线的几何性质可知 ,ＯＡ⊥ＰＡ ,ＯＢ⊥ＰＢ ,所以Ｏ ,Ａ ,Ｐ ,Ｂ四点共圆 ,ＯＰ为该圆的直径 (由解几课本Ｐ6 8第三题结论 :已知一个圆的直径端点是Ａ (ｘ1,ｙ1) ,Ｂ (ｘ2 ,ｙ2 ) ,则该圆的方程是 (ｘ -ｘ1) (ｘ -ｘ2 ) (ｙ- ｙ1)…     

解析几何总复习

一、两条曲线间的位置关系(一) 直线与二次曲线的位置关系例1 已知实数A、B、C满足A~2+V~2=2C~2≠0,求证直线Ax+By+C=0与圆x~2+y~2=1交于不同的两点P,Q,并求弦P的的长。分析:证明的一般思路是:列方程组,消元,证明△>0,这是对于证明一般二次曲线与直线相交的通用方法.对于圆,还有其特殊的几何方法:证明圆心到直线的距离小于圆半径。     

圆的参数方程中参数的几何意义应用几例

圆的参数方程中参数2π)的几何意义为圆周上任意一点与圆心连线绕圆心相对于x轴的正方向的旋转角(如图1所示)。下面我们举例说明的几何意义在解题中的应用。例1已知直线y=-(3x)~(1/3x)十3(1/3)十1与圆相交于A、B两点。试求AB弦所对的圆心角及A、B两点间的距离。解把圆的方程代入直线方程得     

圆幂定理(上)

<正>在圆的知识中,以下几个定理都与线段的乘积式有关,它们是:相交弦定理圆的弦相交于圆内的一点,各弦被这点分成的两条线段的乘积相等.图1(1)PA·PB=PC·PD.切割线定理由圆外一点向圆引两条割线.则在每条割线上,由该点到割线与圆的两个交点所成的两个线段的乘积相等,都等于切线的平方.图1(2)PA·PB=PC·PD=PE2.     

一类直线方程求法的探讨及应用

在圆锥曲线中,已知弦的定比分点,求弦所在直线的方程常见解法是利用直线的参数方程及参数的几何意义求解.当分点为弦的中点时,求弦所在直线的方程还有设所求直线斜率为k利用韦达定理及中点条件求出k值或者利用差换法求斜率等方法.这些解法运算量较大,不如下面两种解法简便。一、对称曲线作差法二次曲线f(x,y)=0中,以已知点M(x_0,y_0)为中点的弦如果存在,则弦所在直线的方程为f(x,y)-f(2x_0-x,2y_0-y)=0(*) 证明:设圆锥曲线的方程为f(x,y)=0,M(x_0,y_0)为已知点,如果曲线f(x,y)=0和     

圆锥曲线对称轴上一类最值问题

先看一例子[例1] (1)过椭圆C1:(x2/4) (y2/3)=1上一点B(0,3~(1/2))作弦BM,求|BM|最大值及此时M坐标: (2)过椭圆C2:(x2/3) y2=1上一点B(0,1)作弦BN,求|BN|最大值及此N点坐标. 解:(1)设C1上一点M(x,y),由两点之间距离公式:     

角度和高度比较的Schur类型定理

微分几何中空间中两条曲线段端点间弦长比较的一个经典结论是Schur定理,受其启发本文给出了两条曲线弦切角的比较,以及曲线相对于弦的高度(即曲线上的点到弦所在直线的距离的最大值)的比较.     

源于基础 开拓思维——一道习题的解法与联想

“解析几何是用代数方法来研究几种问题的一门数学学科.”用代数方法解决几何问题确实方便.但是注意到几何本身的性质,加强数与形的结合,将更有利于解析几何的教与学.高中(解析几何课本)甲种本第126页第24题为:过圆外一点P(a,b),引圆x~2+y~2=R~2的两条切线,求经过两切点的直线方程. 解法(1):设过P点圆的切线方程:     

三角学

三角学为数学一门分科,是研究三角函数的性质及三角形的解法,且说明其应用平面三角是研究三角函数的性质及其相互关系,并用以说明三角形边与角之间的关系由此来解三角形。球面三角侧重于讨论球面图形的性质关系等(在球面三角形中三角和大于180°而小于540°),三角学在天文学。测地法,航海术中都有广泛的应用。三角学的创始人,据说是希腊的希帕克(公元前150年),后希腊天文学家托勒密运用托勒密定理,取圆内接四边形一边长等于直径,通过求弧所对的弦,得到了用两弧的弦来求两弧之差的弦的公式,相当于sin(α-β)的公式,并得出sin(α β)等和角公式。在希腊人已计算出二倍弧的弦长的基础上,印度人又求出它的一半即弧的正弦及正矢,在印度人阿利耶波多(公元500年左右)的著作中已有了余弦公式、阿拉伯人在印度人的影响下把希腊人在几何学方面的计算用代数方法表示出来,阿布尔·威发把每隔30°的!     

怎样想数学问题

问题　已知以点Ｃ(2,0)为圆心的圆Ｃ与两射线ｙ=±ｘ(ｘ≥0)相切,动直线ｌ与圆Ｃ相切且与射线ｙ=±ｘ(ｘ≥0)分别交于Ａ,Ｂ两点,求ＡＢ的中点的轨迹方程.分析:1)首先细审题意,分清已知条件与求解目标,明确问题结构.已知几何条件有三点:①圆心为Ｃ(2,0)的圆与两射线ｙ=±ｘ(ｘ≥0)相切;②直线ｌ与圆Ｃ相切;③ｌ与两射线ｙ=±ｘ(ｘ≥0)分别交于Ａ,Ｂ两点.所求是适合上述三个几何条件的线段ＡＢ中点的轨迹2)充分运用综合分析法.首先从求解目标出发逆推:①动点Ｍ的确定依赖于线段ＡＢ两端点Ａ与Ｂ的位置.若考虑到ＡＢ与圆Ｃ相切,则可知若Ａ,Ｂ两…     

已知一条渐近线与一个焦点能唯一确定双曲线吗？

笔者在高考复习中发现江苏省 1 997年普通高等学校单独招生考试数学试题的最后一题 ,即第 2 5题是一道病题 .原题是这样的 :已知圆 C:x2 y2 - 1 0 x =0 ,过原点的直线l被圆 C所截得的弦长为 8,求以圆 C的圆心为一个焦点 ,以 l为渐进线的双曲线方程 .根据题意 ,过原点的直线 l被圆 C所截得的弦长为 8,这样的直线 l有两条 y =34x与 y =- 34x,到底以哪一条为渐近线呢 ,还是以这两条为渐近线呢 ?这里原题只说求以圆 C的圆心为一个焦点 ,以 l为渐近线的双曲线方程 .依题意 ,渐近线 l的选择可以任取一条 .这里就有这样一个问题 ;以一个点为焦点…     

浅说垂径定理的应用

华东师大版《数学》九年级 (上 )第四十八页“试一试” ,同学们 ,发现了什么结论吗 ?这个结论是 :垂直于弦的直径平分弦 ,并且平分弦所对的两条弧 .这个结论叫做垂径定理 .而实际上 ,如果一条直线具有 :( 1 )垂直弦 ;( 2 )过圆心 ;( 3 )平分弦 ;( 4 )平分弦所对的劣弧 ;( 5 )平分弦所对的优弧这五个性质中的任何两个 ,那么它同时也具有其余三个性质 .(具有 ( 2 )、( 3 )时 ,弦不能为直径 ) .一、垂径定理是进行有关圆的计算的依据 ,在实际中有着广泛的应用例 1　如图 1 .在⊙O中 ,弦AB的长为 1 6cm ,⊙O的半径为 1 0cm ,求圆心O到AB的距离 .解 :过点O作OE⊥AB于E ,连结OA .因为OE过圆心且垂直于弦 ,所以平分弦 .因此　AE =12 AB =8cm .根据勾股定理 ,得OE =OA2 -AE2 =1 0 2 -82 =6cm .因此圆心O到AB的距离为 6cm .例 2　“五段彩虹展翅飞” .我省利用国债资金所建的横跨南渡江的琼州大桥 ,今年 5月 1 2日正式通车 .该桥的两边均有五个红色的圆拱 (如图 2 ) ,其中最高的圆拱的跨...     

巧用公共弦方程解题

众所周知 ,若相交两圆的方程分别为x2 y2 D1x E1y F1=0 ,x2 y2 D2 x E2 y F2 =0 ,则它们的公共弦所在直线的方程为( D1- D2 ) x ( E1- E2 ) y ( F1- F2 ) =0 .这个方程应用很广 ,它不仅使解有关两圆相交问题简捷方便 ,而且还有利于解有关圆锥曲线的弦的方程问题 .例 1　在椭圆 x21 6 y24 =1内有一定点A( 1 ,1 ) ,过点 A作一直线与椭圆相交于 B,C两点 ,且使得点 A恰好是弦 BC的中点 ,求此直线的方程 .解　设 B,C两点的坐标分别为 B( x,y) ,C( x1,y1) ,则由中点坐标公式得x1=2 - x,　 y1=2 - y,因为 B,C两点…     

用乘法公式求勾股数组

初二《几何》教材中规定:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数(或勾股弦数).换句话说,若正整数a、b、c具有关系a2+b2=c2,我们就称(a,b,c)为一组勾股数.在勾股数组(a,b,c)的三个数中,已知其中二个求剩余的一个,利用勾股定理可很快求出(知二求一);若只知三数中的一个,求出另两个则较为困难(知一求二).知一求二的方法很多,本文利用乘法公式介绍一种简单而又易于操作的方法,供学习与参考.     

你知道弦长公式吗

<正>近年来,二次函数的综合题成了中考题目的亮点,许多题目都要用弦长公式来解,为此,本文就弦长公式及其应用介绍于下,供同学们参考.抛物线y=ax²+bx+c(b2+bx+c(b²-4ac>0)与x轴交A(x_1,0),B(x_2,0)两点,线段AB的长叫做弦长,因为x_1和x_2是方程ax2-4ac>0)与x轴交A(x_1,0),B(x_2,0)两点,线段AB的长叫做弦长,因为x_1和x_2是方程ax²+bx+c=0的两根,所以