一道定点问题的推广

<正>已知椭圆C的方程为x²/2+y2/2+y²=1,过椭圆C的右焦点F且与x轴不垂直的直线交椭圆于A、B两点,B关于x轴的对称点为点D.求证:直线AD过定点.证明设过点F(1,0)的直线AB的方程为y=k(x-1),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则D(x_2,-y_2).     

斜率定值竞赛题的探究与引申

<正>题目(2018年全国高中数学联赛黑龙江预赛)已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的离心率为32=1(a>b>0)的离心率为3^(1/2)/2,并且过点P(2,-1).(1)求椭圆C的方程;(2)如图1,设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过P点作两条直线分别交椭圆C于两点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),若直线PQ平分     

我为高考设计题目

题1已知函数y=kx与.y=x~2+2 (x≥0)的图象相交于不同两点A(x_1,y_1), B(x_2,y_2),l_1,l_2分别是y=x~2+2(x≥0)的图象在A,B两点的切线,M,N分别是l_1,l_2与x轴的交点,P为l_1与l_2的交点. (1)求证:直线l_1、y=kx、l_2的斜率成等差数列;     

一道赛题的又一简证

<正>题目点A为y轴正半轴上一点,A、B两点关于x轴对称,过点A任作直线交抛物线y=2/3x²于P、Q两点.(1)求证:∠ABP=∠ABQ.(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60°,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式(如图).文[1]利用轴对称知识及函数与方程思想进行解答,应该肯定解法很全新,笔者本着一切从学生所掌握的基本知识出发来解答,从三角形角平分线定理入手,解答比较通俗简单,供同学们参考.(1)证明设点A坐标为(0,a),P、Q坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2),令直线PQ方程:y=kx+a,再联立y=2/3x2于P、Q两点.(1)求证:∠ABP=∠ABQ.(2)若点A的坐标为(0,1),且∠PBQ=60°,试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式(如图).文[1]利用轴对称知识及函数与方程思想进行解答,应该肯定解法很全新,笔者本着一切从学生所掌握的基本知识出发来解答,从三角形角平分线定理入手,解答比较通俗简单,供同学们参考.(1)证明设点A坐标为(0,a),P、Q坐标分别为(x_1,y_1)、(x_2,y_2),令直线PQ方程:y=kx+a,再联立y=2/3x²解得2/3x2解得2/3x²-kx-a=0,则x_1x_2=-3/2a(即a=-2/3x_1x_2),y_1=2/3x_12-kx-a=0,则x_1x_2=-3/2a(即a=-2/3x_1x_2),y_1=2/3x_1²、     

巧用斜率公式二例

已知 A、B 两点的坐标分别为(x_1,y_1)和(x_2,y_2)(x_1≠x_2),则直线 AB 的斜率为 k=(y_1-y_2)/(x_1-x_2)。这是大家十分熟悉的两点间的斜率公式,巧用这个公式解题.有时可以收到事半功倍之效。例1 当 k 为何值时,直线 y=kx+2k+1与直线2x+y-4=0的交点位于第一象限.分析:见到这道题,一般会想到用这样的方     

关于椭圆、双曲线切线方程的一个结论

<正>题目若点M (x_0,y_0)在圆x²+y2+y²=1上,则过点M的圆的切线方程是____.解(1)当x_0y_0≠0时,设过点M的圆的切线l的斜率为k,因为OM⊥l,所以有k·k_(OM)=-1,又因为k_(OM)=y_0/x_0,x所以x_0/y_0.     

圆锥曲线中一组结论

<正>性质1如图1,直线AB过点P(t,0)(0<|t|2/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1交于A、B两点,过A、B、P三点作直线x=a2=1交于A、B两点,过A、B、P三点作直线x=a²/t的垂线,垂足分别为C、D、E,则1/AC、1/PE、1/BD成等差数列.证明设点A和点B的坐标分别为(x_1,y_1)和(x_2,y_2),当直线AB不与x轴垂直时,设其方程为y=k(x-t),代入椭圆方程整理得:     

与椭圆相关的四个平行命题

对于椭圆,我们有如下命题1如图1,点A,B为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的短轴的下顶点和上顶点,C为椭圆的左顶点,M为椭圆上不同于椭圆顶点的动点,直线AM交x轴于点P,直线BM交x=a于点Q,则PQ∥CB.■证明由题意,设直线BQ的方程为y=kx+b,则Q(a,ka+b).     

对2019年全国Ⅲ卷理科数学21题第1问的探究与推广

<正>2019年全国3卷理科数学第21题第1问:已知曲线C:y=x²/2,D为y=-1/2上一动点,过D作曲线C的两条切线,切点分别为A、B.(1)证明直线AB过定点.证明设A (x_1,y_1),B (x_2,y_2),D (n,-1/2).∵y=x2/2,D为y=-1/2上一动点,过D作曲线C的两条切线,切点分别为A、B.(1)证明直线AB过定点.证明设A (x_1,y_1),B (x_2,y_2),D (n,-1/2).∵y=x²/2,故y′=x,则切线DA方程为y-y_1=x_1(x-x_1)切线DB方程为y-y_2=x_2(x-x_2),     

与焦点有关的一组圆锥曲线结论

<正>性质1如图1,已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的右焦点为F,点M是C上异于左、右顶点A,B的一点,直线AM与直线x=a交于点N,线段BN的中点为E,则(1)∠EFB=∠EFM;(2)EM是C的切线.证明(1)由已知,得A(-a,0),B(a,0),F(c,0),设M(x_0,y_0),直线AM的方程为y=k(x+a),     

一道竞赛题的探究与拓展

<正>直线与圆锥曲线位置关系是高考、强基、竞赛的必考题.2020甘肃数学预赛试题第10题立意新,寓推理计算于一身,具有典型性,代表性,拓展性,现笔者呈现其研究过程与读者共鸣.1问题呈现,解法探究题目已知椭圆y²/4+x2/4+x²=1,P为椭圆上任意一点,过点P分别作l_1:y=2x和l_2:     

射影几何背景下的2019年北京高考解析几何试题

<正>1试题呈现(2019年北京卷文科)已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q.直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若|OM|·|ON|=2.求证:直线l经过定点.     

圆锥曲线的定向弦问题

在圆锥曲线中,经常遇到如下的定向弦问题.题目1过椭圆x2/4+y2=1上定点P(2^1/2,2^1/2/2)作两条倾斜角互补的直线l1和l2,分别交椭圆于另一点Q、R,求证直线QR有定向;     

一道高考题的探究

<正>题目(2014年北京市高考理19题)已知椭圆C:x²+2y2+2y²=4.设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x2=4.设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x²+y2+y²=2的位置关系,并证明你的结论.本题的答案是直线AB与圆x2=2的位置关系,并证明你的结论.本题的答案是直线AB与圆x²+y2+y²=2相     

漏解分析与补遗

<正>一、题目呈现与其流行的解法题目已知直线l_1:x+3y-7=0,l_2:y=kx+b与x轴、y轴的正半轴围成的四边形有外接圆,求k的值及b的取值范围.这是流行于许多数学教辅资料的一道题目,其解法(以下称为流行解法)如下:解由于已知直线l_1:x+3y-7=0,l_2:y=kx+b的斜率分别为k_1=-1/3,k_2=k,又直线l_1、l_2与x轴、y轴正半轴围成的四边形有外接圆,如图1所示.     

初中数学总复习(三)(函数与解三角形)

1.填空题 (1)(陕西榆林1993)已知y=y_1 y_2,y_1与x成正比例,y_2与x成反比例,并且x=1时,y=4;x=2时,y=5.则x=4时,y的值是_______ (2)(徐州市1992)直线y=kx b经过点(0,4)且平行于直线y=-x,则k=______ ,b=_______.     

圆锥曲线划分平面的定理及其证明

关于直线划分平面有一个容易记忆,应用方便的重要结论。即,直线l:f(x,y)≡Ax+By+C=0(简记为f(x,y)=0)把平面上不在l上的点划分成两个区域,点P_1(x_1,y_1)和P_2(x_2,y_2)在同一个区域(或在不同区域)的充要条件是函数值f(x_1,y_1)和f(x_2,y_2)同号(或异号)(见文[2])。对于圆锥曲线Γ:F(x,y)≡Ax~2+2Bxy+Cy~2+2Dx+2Ey+F=0(简记为F(x,y)=0),如果我们约定,圆     

一道习题解读一次函数

<正>原题已知A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)是一次函数y=kx+2(k<0)图像上不同的两点,则(x_1-x_2)(y_1-y_2)_______0(填">","<"或"=").解法一(用特殊值计算)一次函数上的点是任意的,不妨取点A的横坐标x_1=1,则y_1=k+2,取点B的横坐标x_2=2,则y_2=2k+2,从而可计算(x_1-x_2)(y_1-y_2)=-1(k+2-2k-2)=k<0.     

数据分层妙解方差最值问题

<正>定理^([1])假设第一层有m个数,分别为x_1,x_2,…,x_m,平均数为x,方差为s([1])假设第一层有m个数,分别为x_1,x_2,…,x_m,平均数为x,方差为s²;第二层有n个数,分别为y_1,y_2,…,y_m平均数为y,方差为t2;第二层有n个数,分别为y_1,y_2,…,y_m平均数为y,方差为t²,则样本方差b2,则样本方差b²=1/m+n[(ms2=1/m+n[(ms²+nt2+nt²)+mn/m+n(x-y)2)+mn/m+n(x-y)²].     

圆锥曲线的切线和切点弦方程的应用

<正>定理1过圆锥曲线C:Ax~2+By~2+Dx+Ey+F=0(A、B不同时为0)上一点P(x_0,y_0)的切线方程为:Ax_0x+By_0y+D(x_0+x/2)+E(y_0+y/2)+F=0.证明设切线方程为x=m(y-y_0)+x_0,代入曲线方程C中有:A[m(y-y_0)+x_0]~2+