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众所周知,任意三角形的外接圆半径R不小于它的内切圆半径r的2倍,即R≥2r.这是大数学家欧拉(Euler)在1765年建立的一个不等式,由于该不等式具有简单而不平凡的特点,所以至今依然在几何不等式领域里保持着高水平的地位,关于它的各种推广和加强的研究一直是几何不等式研究的热点.贵刊就发表过多篇关于欧拉不等式的加强的文章... 相似文献
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自文[1]给出欧拉不等式的一个三角形式的加强链(见以下引理)之后,笔者在文[2]中将三角形式分别用内切圆半径和半周长表示,用半周长和边表示,用半周长和面积表示以及用半周长、外接圆半径和边表示.通过进一步研究,笔者又得到几个欧拉不等式的加强链. 相似文献
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1 欧拉不等式设△ ABC外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,则有 R≥ 2 r ( 1 )下面寻找该不等式的几种等价形式 .记△为△ ABC的面积 ,s为半周长 ,则△ =rs=abc4R,∴ 4R△ =abc,8△2s =8r△ ,从而 R≥ 2 r等价于 abc≥ 8△2s,由海伦公式 ,又可得欧拉不等式的另一等价形式abc≥ 8( s- a) ( s- b) ( s- c) ( 2 )式 ( 2 )又等价于abc≥ ( b c- a) ( c a- b) ( a b- c) ( 3)对式 ( 3)简证如下 :a2≥ a2 - ( b - c) 2=( a b - c) ( c a - b) ,b2 ≥ b2 - ( c- a) 2=( b c- a) ( a b - c) ,c2 ≥ c2 - ( a - b) 2=( c a - b) (… 相似文献
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欧拉不等式的一个不等式链 总被引:1,自引:1,他引:0
支[1]得出一个能揭示欧拉不等式本质的隔离:R≥a+b+c/3√3≥2r.此结论结构独特、形式优美,受其启发,笔者得到了欧拉不等式的一个不等式链. 相似文献
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文[1]给出欧拉不等式与边长间的一个不等式链,笔者得到欧拉不等式的一个三角形式的加强链,与不等式爱好者共赏.定理设R,r分别为△ABC的外接圆及内切圆半径. 相似文献
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方超在《数学通报》2008年第7期问题解答栏第1744题提出如下问题:设h和l是由一个顶点引向对边的高线和角平分线,R和r分别是该三角形外接圆半径和内切圆半径,求证:h/l≥(2r/R)(1/2).(1)原解答似乎过于曲折,难以想到,不易掌握.熟知欧拉不等式R≥2r,因此,(2r/R)(1/2)≤1,但h/l≤1,所以仅用简单的传递性是不行的.而h/l可以用角 相似文献
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本建立了关于驮拉常数r的一个不等式:m∑k=1 1/k-ln(n)-1/2n 1/12n^2-1/120n^4<r<n∑k=1 1/k-ln(n)-1/2n 1/12n^2-1/120n4 1/252n^6,改进了献[1],[2],[3]的结果。 相似文献
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本文建立了关于欧拉常数γ的一个不等式:∑nk=11k-ln(n)-12n+112n2-1120n4<γ<∑nk=11k-ln(n)-12n+112n2-1120n4+1252n6,改进了文献[1],[2],[3]的结果 相似文献
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在文 [1 ]中 ,笔者给出了三元四次对称不等式λ( ∑x) 4 μ∑ ( yz) 2 υ∑x .∏x k( ∑x) 2 ∑yz≥ 0 ( x,y,z >0 )成立的一个充要条件 .它等价于下面的命题 记σ1=x y z,σ2 =xy yz zx,σ3 =xyz,则F( x,y,z)≡λ0 σ41 λ1σ21σ2 λ2 σ22 - ( 2 7λ0 9λ1 3λ2 )σ1σ3 ≡λ0 σ1(σ3 1- 2 7σ3 ) λ1σ1(σ1σ2 - 9σ3 ) λ2 (σ22 - 3σ1σ3 )≥ 0 ( 1 )对任意 x,y,z >0成立的充要条件是λ0 ≥ 0 ,λ1≥ - 5λ0 ,1 6λ0 4λ1 λ2 ≥ 0( 2 .1 )或λ0 >0 ,λ1<- 5λ0 ,λ0 λ2 ≥ ( 3λ0 λ1) 2( 2 .2 )本文进而… 相似文献
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欧拉不等式的一种简捷证法 总被引:2,自引:2,他引:0
丁遵标老师在《数学通报》2 0 0 0年第 6期 ,用三角法给出了欧拉不等式的一种巧妙证法 ,读后深受启发 ,现笔者应用点线距离的性质给出一种更为简捷的证法 .欧拉不等式 若三角形的外接圆的半径为R ,内切圆的半径为r,则R ≥ 2r.证明 设三角形ABC的三边长分别为a ,b,c,面积为S ,三边上的高分别为ha,hb,hc,外接圆的圆心为O ,且O到三边的距离分别为ra,rb,rc,则根据点线距离的性质易得OA+ra ≥ha,即R+ra ≥ha,不等式的两边同乘以正数a ,得aR +ara ≥aha,即aR +ara ≥ 2S,(1 )同理可得bR+brb ≥ 2S ,(2 )cR+crc ≥ 2S ,(3 )(1 ) +(2 ) +(… 相似文献
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能揭示欧拉不等式本质的简证 总被引:1,自引:1,他引:0
文[1]、[2]给出的欧拉不等式"证法不容易",文[3]利用三角形的边变换及均值不等式给出了"更简捷证法".本文运用中学基础知识给出的简证可以揭示欧拉不等式的本质. 相似文献
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欧拉定理 费尔巴哈定理及相关命题的统一证明刘裕文(四川省彭州市中学611930)三角形之外心O、重心G、垂心H三心共线,且OG:GH=1:2;三角形三边之中点、三高之足、垂心至顶点连线之三中点,凡九点共圆.此乃欧氏几何中著名的欧拉定理与费尔巴哈定理.... 相似文献
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《数学通报》84.n期《也论四面体的不等式关声》一文,证明了关联其体积V与外接球半径的不等式:。趁嚓*3(1)本文给出一个更强的不等式. 命题设四面体体积为犷,外接球半径为R,一组对棱所成角为a,则.,,8了葱一_,.I,飞一玄厂一“‘“na(2) 证设有对棱。,b所成角为a,o为外接球心,。,b中点分别为月,B,则洲土。,oB土b,且洲2一RZ一专一oBZ一;2一专。2设。,b间距离为d,则有(3)于是d= 在△月口B中,显然有oA+oB李乃B)d,因此2(O月:+oBz))(o月+OB)2)‘2 将(3)代入上式,整理得”RZ、专一+音。2+(儡)2 、(尹·尹·万袭拼石)‘ 一3(丝)号户Sln口即。… 相似文献
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例题 (1)已知 |a| <1,|b| <1,求证 :a +b1+ab <1.(2 )设a ,b∈R+ ,且b <2a ,求证 :ab <2 <2a +ba +b .分析 将 (1)中的结论改写为 -1<a +b1+ab<1,与 (2 )中的结论比较易发现 ,两题的结论都具有P <N <M的形式 ,于是我们对两个问题作统一的一般化处理 (构造二次函数证明不等式 ) .设 f(x) =x2 -(M +P)x +M·P =(x -M) (x -P) ,则有P <N <M f(N)<0 ,故要证P <N <M ,只须证 f(N) <0即可 .证明 (1) 令P =-1,M =1,N =a +b1+ab,构造函数 f(x) =x2 -1.∵ f(a +b1+ab) =(a +b… 相似文献