三割线等比定理

在平面几何中,笔者发现:三条割线与圆之间形成的某些线段有如下一个重要的等比关系.本人将此关系式称为"三割线等比定理",以下简称为定理.现写于后,供大家鉴析.定理两条割线CD、EF,分别交圆于点C、     

用一直线将四边形的面积二等分

如何用一直线将任意四边形的面积二等分?是初等数学值得探讨的问题.本文从特殊四边形(平行四边形和梯形)研究入手,进而探讨用一直线将任意四边形的面积二等分的作图法.一、平行四边形面积的二等分对于平行四边形,有下面两个定理.……     

四边形的中位线定理

三角形有中位线定理,梯形有中位线定理,那么一般的四边形有无中位线定理呢? 首先,我们给四边形定义中位线:一组对边中点的连线,称四边形的中位线。而且有以下的四边形的中位线定理。命题 a,b为四边形的一组对边的长,其延长线的夹角为a(平行视为0°),则另一组对边中点的连线长为     

婆氏定理与四边形的九点圆

印度数学家婆罗摩及多(Brahmegpta,598 年～660年)发现了下面的著名定理[1]: 婆氏定理　设圆内接四边形ABCD的对角 线互相垂直相交于E,则过点E平分一边BC的 直线必垂直于对边AD.反之,过点E垂直于一 边AD的直线必平分对边BC. 本文将对角线互相垂直的圆内接四边形简 称为“婆氏四边形”. 下面的著名定理提出了四边形的九点圆概 念[2]: 库得奇———大上定理　以圆内接四边形任 意三个顶点作三角形,则这四个三角形的九点 圆心共圆. 上述定理中的四个圆心所在的圆被称为四 边形的九点圆.它的半径等于四边形外接圆半 径的一…     

直线分三角形两部分面积之比问题的研究

三角形被直线所截得到一个小三角形和四边形,图形虽然简单,而它们面积之比与直线的关系如何?却大有学问.笔者通过研究得到如下具体结论.图11两个定理定理1如图1:若直线L与△ABC中边AB、AC分别相交于D、E,D分BA所成的比为λ(0≤λ≤1),四边形BDEC与△ADE的面积之比为k.则E分CA所     

外切于圆的凸四边形的两条性质及推论

外切于圆的凸四边形有如下的两个结论,我们以定理的形式介绍. 定理1 外切于圆的凸四边形中,若一双对边的延长线相交,则另一双对边中的一条边的一端点处的内角平分线与另一端点的切点弦直线相交,所得两交点的连线平行于这一条边.     

对边等比的圆内接四边形的两个性质简证

《中学生数学》(初中)2011年第4期吴远宏先生的"对边等比的圆内接四边形的若干性质"一文,介绍了对边等比的圆内接四边形的几个耐人寻味的有趣性质,其中性质1、2的证明分别运用了互补两角的正弦相等及余弦定理,明显地超出了初中生现有知识水平.笔者经思考、探究,得到了易为初中生理解、接受的简洁证法,现介绍如下,供参考.     

侧面向底面展开图是特殊四边形的三棱锥

文 [1 ]研究了表面展开图为四边形的四面体 ,已经得到下面定理 :定理 1　四面体表面展开图为四边形的充要条件是任意两顶点上的三面角之和均为1 80°(即文 [1 ]中的定理 1 ) .定理 2　任意四边形ＡＢＣＤ ,若ＡＢ =ＡＤ ,且ＡＢ <ＡＣ ,∠ＢＤＣ与∠ＤＢＣ均小于90° ,则四边形一定可以翻折成四面体 (即文[1 ]中的定理 4) .本文将讨论三棱锥的侧面向底面展开图为特殊四边形的情形 ,并给出其充要条件及由特殊四边形折成三棱锥的方法 .1　筝形图 1　定理 3图定理 3　三棱锥侧面向底面展开图为筝形的充要条件是底边三角形有且只有两顶点上的三…     

关于四边形的一个不等式

受文[1]的启发,笔者得到一个关于四边形的优美不等式,现整理出来供读者参考.定理在四边形ABCD中,AC,BD为对角线,则有AC2+ BD2≤1/2[( AB+ CD)2+(AD+ BC)2]①当且仅当四边形ABCD是平行四边形时不等式①取到等号.为证明定理,首先引用文[1]的一个定理,即双十定理凸四边形两条对角线的平方和等于两组对边中位线平方和的2倍.     

由等积变换引发的作图问题

在平面几何的面积问题中 ,经常使用下面两个结论 :定理 1　同底等高 (或同高等底 )的三角形面积相等 .定理 2　梯形对角线分梯形的四个三角形中 ,两腰所在的三角形面积相等 .由这两个简单结论可得到下面一系列作图问题 .问题 1　已知一个凸四边形 ,求作一个三角形 ,使其与已知四边形的面积相等 .图 1作法如下 :如图 1 ,在四边形 ABCD中 ,任取一顶点 ,如 A,联结对角线AC,过 D点作 AC的平行线交 BC的延长线于 E,则由定理 1知 ,S△ ABE =S△ ABC S△ ACE=S△ ABC S△ ACD=SABCD其中 S*表示图形 *的面积 .图 2联想到我们非常熟…     

等比定理用处多

初中数学“相似形”一章介绍了比例的几条重要性质定理,其中等比定理的作用常被学生所忽视,其实,等比定理用处很多,下面举例说明。一、解方程组     

四边形内角和定理的证明

凸四边形内角和定理证明的基本思路是利用化归法,将四边形转化为三角形,然后利用三角形内角和为180°,达到证明的目的,而这种证明思路正是研究四边形,乃至多边形的基本方法.现列举几种不同证法如下. 四边形内角和定理:四边形的内角和为360°. 已知:四边形ABCD, 求证:∠A+∠B+∠C+∠D=360°. 注:为书写简便,记三角形内角和为∑,     

平面几何中的面积证法(三)——共边及共角定理的综合应用

<正>文[1]、[2]分别介绍了共边定理和共角及其应用,充分体现了这两个定理在平面几何证明中的强大威力.因此,这两个定理值得我们重视和掌握它们的运用技巧.例1如图1,在单等对边四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是AD、BC的中点,直线EF与BA的延长线、CD的延长线分别交于点     

使用等比定理应注意条件

■在实践上,等比定理的上述条件尚没被充分重视,有些书甚至用等比定理证明出不成立的结论。 例1:在△ABC中,证明:     

Menelaus定理的推广及应用

Ｍｅｎｅｌａｕｓ定理的推广及应用胡耀宗，孙斌（湖南益阳师专４１３０４９）众所周知，一直线截△ＡＢＣ的边ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ或其延长线于Ｐ、Ｅ、Ｆ，则这就是著名的Ｍｅｎｅｌａｕｓ（梅涅劳斯）定理．这定理可以推广。命题一若一直线ｌ截首尾相接的平面折线ＡＢＣＤ...     

等比定理之应用

在《相似三角形》一章中,有一不显眼的定理——等比定理:“如果那么证明设则故当b d … n=0时,等比定理不能适用．这种证明方法通常称为“归一法”或“比值     

配极四边形面积研究

<正>配极四边形定义四边形ABCD内接于圆,以该四边形的顶点为切点,作外接圆的四条切线,四条切线构成的封闭图形为圆外切四边形EFGH,此圆外切四边形与原内接四边形互为配极四边形.定理1内外配极四边形面积的关系式为     

Cayley定理及其证明

<正>Cayley定理简介对于欧氏平面上的三角形及其相关的全等问题,以及由三角形已知的边和角利用正弦定理和余弦定理求解三角形等问题,中学生一般都很熟悉.对于平面四边形,除了特殊的如梯形、平行四边形或者更特殊的菱形、长方形等以外,大家对它们的性质了解得还不多.比如Cayley定理,很多中学生都不了解.Cayley定理断言,四边形的四条边和两条对角线满足一个代数关系,即存在一个六元多项式F,使得对于任意四边形ABCD,有     

三割线等比定理及其应用

<正>一、三割线等比定理[1]两条割线CD、EF分别交圆于点C、D、E、F,第三条割线交圆于点A、B,分别交CD、EF、CF、DE、CE、DF(或它们的延长线)于点P、R、M、N、T、S.     

不得不爱的切割线定理

<正>人们常说"音乐无国界,数学亦无国界".虽然数学研究主要依靠学者个人的思考、钻研与攻关,但是相互间的交流、讨论与启发也起着重要作用.数学内部知识体系不更应该如此,相互盘根错节.普通高中课程标准实验教科书人教A版(以下简称教材)选修4-1《几何证明选讲》,教材要求学生理解相似三角形的定义与性质,了解平行切割定理,会证直角三角形的射影定理、圆周角定理、圆的切线判定定理与性质定理、相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理等,会用