分割多边形为三角形的计数问题

分割多边形的计数问题,是近几年来各地数学竞赛中经常出现的问题,如1989年全国初中数学联赛试题中第一试第一大题4小题就是属于这个类型的问题.木文就此作一些说明.一、关于分割三角形的计数问题例1 以三角形的三个顶点和它内部的九个点(共12个点)为顶点,能把原三角形分割成的小三角形的个数是(A)15;(B)19;(C)22;(D)不能确定.(1988年江苏省初中数学竞赛题)     

三角形界心与其内旁重垂各心的距离

三角形界心与其内旁重垂各心的距离４２２６００湖南绥宁县一中黄汉生如果三角形一边上的点和这边所对的顶点把这个三角形的周界分割为两条等长的折线，那么称这点为周界中点，连此点与相对顶点的线段叫做周界中线．定理１［１］三角形的三条周界中线相交于一点．这个点称...     

三角形的九点二次曲线

在任意三角形内,三边中点,三高的垂足,以及连接顶点与垂心的三线段的中点,都在同一圆上,此圆即为三角形九点圆.三角形的九点圆是欧氏几何中著名的优美定理,被称为欧拉圆和费尔巴哈圆.本文试图把垂心改换为平面内的任意点,相应地把三条高线改换为过每个顶点各一条的共点直线组时,则将把三角形的九点圆有趣地推广为三角形的九点二次曲线.并具体讨论在不同的区域内得到的九点二次曲线.     

三角形与多边形分割

1三角形分割将一个三角形的每边n等分,连结各顶点与诸分点的线段把三角形分割,问将三角形分割成多少块?设每边n等分将三角形分割成f(n)块.n=2时,因三条中线交于一点,故将三角形分割成6块,即f(2)=6.n=3时,如图所示:BD、BE将△ABC分割成3块;AF、AG分别被BD、BE截成3段,而每段将经     

关于周界中点三角形的一个不等式

关于周界中点三角形的一个不等式４１２５００湖南省炎陵县一中周才凯文［１］定义了三角形的周界中点：如果三角形一边上的一点和这边所对的顶点把三角形的周界分割成两条等长的折线，就称这一点为三角形的周界中点．以三角形的三个周界中点为顶点的三角形我们不妨称之为...     

《三角形与多边形分割》一文中的错漏

《数学通报》2006年第8期上刊载了一篇题为《三角形与多边形分割》的专题论文,其前半部分"1.三角形分割"(下称文[1])提出了这样一个平面分割问题: 将一个三角形的每边n等分,连结各顶点与诸分点的线段把三角形分割,问将三角形分割成多少块?     

三角形的周界中线

三角形的周界中线张学哲（湖北民族学院数学系４４５０００）如果三角形一边上的一点和这边所对的顶点把三角形的周界分割为两条等长的折线，那么就称这一点为三角形的周界中点．在这里，我们所说的三角形的周界是指由三角形的三边所组成的围线．由于三角形的任意两边之和...     

拿破仑三角形的一个特例

拿破仑三角形,包括“外拿破仑三角形”和“内拿破仑三角形”这两类三角形,在三角形ABC三条边的外侧,分别作三个等边三角形,以它们的中心为顶点所构成的三角形,称为“外拿破仑三角形”,若在三角形ABC三条边的内侧,分别作三个等边三角形,那么以它们的中心为顶点也构成的一个三角形,这个三角形     

类比猜想又一例

在文[1]中沈老师将平面几何中的一个结论＂△ABC的三条中线交于一点,这个点叫三角形的重心且重心分中线之比为2∶1（从顶点到中点）.＂类比猜想得到立体几何中的一个结论： 空间四面体的顶点与对面三角形的重心的连线叫空间四面体的中轴线,且四条中轴线交于一点,这点叫此四面体的重心,则空间四面体的重心分顶点与对面三角形的重心的连线之比为3∶1（从顶点到对面三角形的重心）.     

平行四边形被分割的两个面积性质

<正>矩形内任意一点与四个顶点相连,把该矩形划分成四个三角形,那么两组不共边三角形的面积之和相等．把这个结论拓展到平行四边形,就有一个可以巧用的结论——性质1如图1,若点P为?ABCD内的任意一点,PA,PB,PC,PD把该四边形分割为四个三角形,则共顶点且相对的两个三角形面积之和都等于平行四边形面积的一半,     

求抛物线上三角形面积的一个模型

做二次函数综合题时,时常遇到求三个顶点在抛物线上的三角形面积问题.求这类三角形的面积关键是要将三角形合理分割成能与已知条件相联系的规则图形求解,同时还要用     

找个对称点一蹴而就

如果三角形的三个角的度数都是10°的整数倍,三角形内一点与三角形的三个顶点分别连结后,得到的所有的角也都具有这个性质,我们称这样的点为三角形中的角格点,在具有角格点的三角形中,有时会存在三条线段a、b、m,满足a+b=m.有趣的是此类问题常常是找个对称点一蹴而就.     

三角形加权费马点问题的探究

<正>十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马(Pierrede Fermat,1601—1665)曾提出了一个著名的几何最值问题:"已知一个三角形,求作一点,使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小."它的答案是:当三角形的三个角均小于120°时,所求的点在三角形内部,且与三个角顶点连线的张角均为120°;当三角形有一内角大于或等于120°时,所求的点在三角形最大内角的顶点处.我们将这个点称为"费马点".     

与外周界中点三角形有关的不等式

文 [1]给出了三角形的周界中点的定义 :定义 1　如果三角形一边上的一点和这边所对的顶点把三角形的周界分为两条等长的折线 ,那么就称这一点为三角形的周界中点 .由于三角形任意两边之和大于第三边 ,因而三角形任一边上的周界中点必为这边的内点 .因此 ,我们不妨称定义 1中的周界中点为该三角形的内周界中点 ,以三个内周界中点为顶点的三角形称为该三角形的内周界中点三角形 .类似地 ,我们可以建立三角形的外周界中点及外周界中点三角形的概念 .定义 2　若将三角形的一条边延长 ,使其延长部分等于另两边之和 ,那么就称这条边与其延长部分构…     

三角形面积公式的应用

<正>三角形面积的考查通常以边角的形式出现,而我们知道边角的变化实际是由三角形的顶点的变化引起的.所以从三角形顶点的特征入手可以改编出新情境的三角形面积试题,但是万变不离其宗,这些问题仍然是对三角形面积公式的灵活考查,面积公式无外乎两大类:一类是代数形式、一类是向量形式.下面就结合两例来谈三角形面积公式的运用.     

塞瓦定理及其应用(一)

<正>连接三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线.塞瓦(G·Cevo1647—1734)是意大利数学家兼水利工程师.他在1678年发表了一个著名的定理,后世人们以他的名字来命名,叫做塞瓦定理.塞瓦定理从△ABC的每个顶点做一条     

圆弧三角形

<正>你见过如图1这个的图形吗?它叫圆弧三角形,由于这个图形是由德国机械学家莱洛首先研究的,所以它又叫莱洛三角形.一、圆弧三角形的定义如图2,△ABC是边长为a的等边三角形,分别以A、B、C为圆心,边长a为半径画弧,由三段弧(劣弧)围成的曲边三角形(如图1所示)叫做圆弧三角形.与三角形类似,这里我们把弧与弧的交点A、B、C称为顶点,     

2004年全国各地高考数学试题与模拟试题评析——分类讨论

当我们所研究的各种对象之间关系过于复杂或涉及范围比较广泛时 ,我们大多采取分类讨论的办法进行解决 .即对问题中的各种情况进行分类或对所涉及的范围进行分割 ,然后分别研究和求解 .它既是一种数学思想 ,也是一种逻辑方法 .分类讨论在培养和提高学生数学思维能力方面发挥着重要的作用 .历年高考都把对分类讨论的考查作为提高试题区分度的重要手段 .如 2 0 0 4年高考数学试题福建卷、广东卷中涉及分类讨论题的分数更是高达 5 5分和 5 8分 .长期以来分类讨论问题一直是高考命题的热点之一 .在 2 0 0 4年全国各地高考试题与模拟试题中 ,考查…     

欧拉公式也能解决平面问题

题目一张三角形纸片内有99个点,若连同原三角形的顶点,共有102个,其中无三点共线,以这些点为三角形顶点,把这张三角形纸片剪成小三角形,这样的小三角形共有( )个.     

类比猜想又一例

<正>在文[1]中沈老师将平面几何中的一个结论"△ABC的三条中线交于一点,这个点叫三角形的重心且重心分中线之比为2∶1(从顶点到中点)."类比猜想得到立体几何中的一个结论:空间四面体的顶点与对面三角形的重心的连线叫空间四面体的中轴线,且四条中轴线交于一点,这点叫此四面体的重心,则空间四面体的重心分顶点与对面三角形的重心的连线之比为3∶1(从顶点到对面三角形的重心).本文再给出由平面几何类比到立体几何