On a certain sum-product estimate in fields of prime order

Let Fp be the finite field of p elements with p prime.If A is a subset of Fp and g is an element of F*p with order ν,then max{|A + g·A|,|A·A|} (ν/(ν + |A|2) )1/12|A|13/12.     

用一个恒等式的性质巧解三道赛题

恒等式2(a2+b2)=[(a+b)2+(a-b)2] (a,b∈R)是中学数学中的一个重要公式,由此 恒等式可得出如下性质: 2(a2+b2)≥(a+b)2(*)(当a=b时取等 号). 经笔者探究,运用这一性质解(证)有关不 等式问题,思路清晰,简捷明快,能收到事半功 倍之效.下面用(*)解答三道赛题: 1.已知x,y都在区间(-2,2)内,且xy=     

用不等式解特殊的绝对值方程

不等式:(Ⅰ)|a b|≤|a| |b|,(Ⅱ)|a-b|≥|a|-|b|,(Ⅲ)||a|-|b||≤|a-b|是大家所熟知的。但这些非严格不等式在什么时候等号成立?下面看等号成立的条件。     

分组在多项式问题中显神通

分组是日常生活中常见的一种归类现象.灵活应用这种归类现象,一些多项式问题的解答可变得简易、迅捷.下面举例介绍,供参考.一、计算例1计算3(a+b)+4(a-b)-5(a+b)+2(a-b).分析a+b和a-b在原式中重复出现,应把含a+b和a-b的项分别分组.     

一个简单命题在极限中的应用举例

利用简单命题 :若 |a|<|b|,则a +b与b同号 ;a-b与b异号 ,及数列极限的单调有界原理讨论了两个数列极限问题     

绝对值不等式的性质如何用?

同学们知道,绝对值不等式有性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.容易证明该性质还可以加强为:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.如何运用这一性质?是高中数学学习中的一个难点.下面拟举例说明如何运用它.一、运用绝对值不等式的性质不取等号的     

一类绝对值问题的解题途径

本文例析含有式子|x+a|+|x+b|一类问题的解题途径. 途径一对|x+a|+|x+b|分类讨论,去绝对值可理解为分段函数. 途径二从几何意义来看|x+a|+|x+ b|可理解为数轴上动点P(x)到定点A(-a), B(-b)的距离之和.     

运用向量知识求解函数的最值问题

向量是现行高中新教材的新增内容 ,作为现代数学重要标志的向量引入中学数学 ,进一步发展和完善了中学数学知识结构体系 ,拓宽了研究和解决数学问题的思维通道 ,也为激发和培养学生的探索精神和创造意识提供了更广泛的途径 .本文将立足于向量这一全新视角 ,探讨运用向量知识求解函数最值的问题 .1　 运用 a .b≤ |a|.|b|,|a.b|≤ |a|.|b|,求函数最值对于两个非零向量 a、b,其数量积 a .b=| a| .| b| cosθ(θ为 a与 b的夹角 ) ,显然 a .b≤| a| .| b| ,| a .b|≤ | a| .| b| .其中前者等号成立的条件是 a =λb　 (λ >0 ) ,后者等号成立的条…     

中考双解题类析

近年来,在各省市的中考试题中,一题双解情况频频出现,而同学们在考试中又往往不够注意,造成“漏解”.下面就对初中阶段一题两解情况予以分类和解析.一代数部分1 与绝对值有关例1 已知|a |=3,| b |=7且a·b<0,则a-b=______. 分析容易求出a=3,b=-7或a=-3,     

THE KERNELS OF PRODUCT TYPE ON LOCAL FIELDS

Let K be a local field,that is.K is a locally compactnon-discrete complete and totally disconnected field.A non-Archimedean norm is endowed on K:x→|x|is a mapping from K intoR~+,such that(i)|X|=0 iff X=0;(ii)|xy|=|x||y|;(iii)|x+y|≤max{|x|,|y|}.Then|x|is called the absolute value of x.Theset={x∈K:|x|≤1}is the ring of integers in K,and={x∈K:     

“|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|”的补注及应用

“|a| - |b|≤ |a±b|≤ |a| + |b|”是高中数学新教材第二册 (上 )第 2 0页的一个重要不等式定理 ,它是处理含有绝对值问题的一个重要工具 ,课本限于篇幅 ,主要介绍它在证明不等式中的应用 ,而其它方面很少涉及 ,且何时取等号也未指明 ,本文对此加以补充并例谈其应用 .1　定理的补注1)等号成立的条件|a +b| =|a| + |b|当且仅当ab≥ 0 ;|a -b| =|a| + |b|当且仅当ab≤ 0 ;|a| - |b| =|a +b|当且仅当 (a +b)b≤ 0 ;|a| - |b| =|a -b|当且仅当 (a -b)b≥ 0 .2 )不等号成立的条件|a +b| <|a| + |b|当且仅当ab <0 ;|a -b| <|a| + |b|当且仅当ab …     

一个最值问题的解法

给出形如f(x,y)=Max{|x-ay|,|x+ay|,|x-b|}的二元函数的最小值问题的几种求法.     

运用相等关系证明不等式

许多恒等式在一定条件下 ,可以轻易转化为不等式 ,因而 ,利用相等关系证明不等式是一种重要方法 .例 1　若a>b >c,求证 :a2a-b+b2b-c>a +2b +c.(第 32届乌克兰IMO试题 )证明 :　不难寻找如下等式 :a2a-b+b2b-c=(a2 -b2 ) +b2a -b +(b2 -c2 ) +c2b-c ,于是 a2a-b+b2b-c=a+b+b2a -b +b+c+c2b-c=a+2b+c+b2a-b+c2b-c;考虑 b2a-b+c2b-c>0 ,故 a2a -b+b2b-c>a+2b+c.例 2　设x1 ,x2 ,… ,xn 为正数 ,求证 :x21 x2+x22x3+… +x2 n -1 xn+x2 nx1≥x1 +x2 +… +xn.(1 984年全国高中数学联赛试题 )证明 :　显然 ,x21 x2 +x22x3 +… +x2 n -1 xn +x2 n…     

数形结合巧解绝对值方程

定理对于方程|x-a|+|x-b|=c,(1)当|x-a|+|x-b|<|a-b|时,方程无解.(2)当|x-a\+|x-b|=|a-b|时,方程的解为min{a,b}≤x≤max{a,b}.(max{a,b)表示a、b中较大的数,min{a,b}表示a、b中较小的数)(3)当|x-a|+|x-b|>|a-b|时,方程     

A Note on Matchings of Bipartite Graphs

In this paper it is proved that let G(X,Y) be a bipartite graph with A(?)X and B(?)Y, and let k be an integer such that max{|A|, |B|}≤k≤min {|X|,|Y|}, then G contains a matching of k edges saturating both A and B iff for all S(?)X, (i) min{|N(S)| |X|-k, |N_B(S)| |X|-|B|}≥|S| and (ii) min{|N(S∩A)|,|N_B(S∩A)| k-|B|}≥|B∩A|, where N_B(S∩A)=N(S∩A∩B).It extends the theorems of Ore, Chen, Hoffman and Kuhn.     

中考求值创新题举例

求值问题的题型已不再是单一的常规题型,出现了许多富有新意的创新题型．下面举例说明．一、游戏题例1 (湖南益阳)甲、乙两同学进行数学猜迷游戏：甲说一个数a的相反数就是它本身,乙说一个数b的倒数也等于本身,请你猜一猜|a-b|=____．析解欲求|a-b|,首先应知道a、b之值,由于甲、乙两同学所说的内容隐含着a和b的值,因此易得a a=0,1/b=b,     

ab≥0■|a+b|=|a|+|b|

初中代数介绍有理数(后来为实数)加法时,法则分两部分。第一是符号法则,第二是绝对值法则。关于后者,最后可归纳成: ab≥0|a+b|=|a|+|b|。可逆的箭头,表示可逆的法则。例1 已知同号两数a、b的绝对值为2和5,求a+b。解:ab>0得 |a+b|=|a|+|b|=2+5=7。所以有 a+b=±7。以上是法则的正用,以下看法则的逆用,     

由一个绝对值不等式所想到的

引例已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R).求证:对于任意的a、b,存在x∈[-1,1],使得|f(x)|≥1/2.解前思考引例的题设中出现了a、b,而在求证不等式右端却没有出现a、b.由此引导我们采用消元的方法来减少变量,进而转到一般的绝对值不等式的解法上来.而现在如何消元成为解决这道题目的关键.题目中给我们的     

《数学通报》第2063题的正确解答

安振平老师在《数学通报》2012年第5、6期问题解答栏中提出了如下问题(第2063题):已知a,b∈[1,3],a+b=4,求证:|a+1槡a-b+1槡b|≤2-2槡3.安老师认为当且仅当a=1,b=3或a=3,b=1时取等号,很明显此时右边应为10槡-槡2,因     

综合题新编选登

题 8 8 　已知数列 {an},{bn}且a1=b1=1,an + 1=an+ 3bn,bn + 1=an+bn,记xn =anbn.1)求xn + 1与xn 的关系式 .2 )判断数列 {|xn - 3| }的单调性 .3)求数列 {xn}的极限值 .4 )求证 :|x1- 3| + |x2 - 3| +… +|xn - 3| <3+ 1.解　 1)xn + 1=an + 1bn + 1=an+ 3bnan +bn=anbn+ 3anbn+ 1=xn + 3xn + 1,其中x1=a1b1=1.2 )xn + 1- 3=xn+ 3xn+ 1- 3=( 1- 3) (xn- 3)1+xn.∵x1=1,xn + 1=xn + 3xn + 1,∴xn >0 .∴ |xn + 1- 3| =3- 11+xn|xn - 3|<( 3- 1) |xn - 3|<|xn - 3| .　 {|xn - 3| }为递减数列 .3)由 2 )知 :n >1时 ,0 <|xn - 3| <( 3- 1) |x…