归纳公理与数学归纳法探究

数学归纳法是一种重要的证明方法.许多文献通过证法分析探寻数学归纳法的逻辑基础、证明方法等[1]-[5].本文试图从归纳公理出发,分析归纳公理在皮亚诺公理体系中的地位以及与数学归纳法之间的关系,由此进一步探讨数学归纳法的本质.     

关于数学归纳法的说课

1教材的地位和作用数学归纳法的地位和作用主要体现在以下3个方面:1.1中学数学中的许多重要结论,如等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式,二项式定理都可以利用数学归纳法进行证明.在实际问题中,由归纳、猜想得出的一些与正整数有关的数学命题,通过用数学归纳法加以证明,可以使学生对有关知识的认识更加深入,理解更加透彻.1.2运用数学归纳法可以证明许多数学命题,通过这些数学命题的证明,既可以开阔学生的眼界,又可以使他们受到推理论证的良好训练.1.3数学归纳法在今后的数学学习过程中经常用到,它是很重要的一种数学工具.因此,掌握数…     

着力于数学归纳法原理理解的教学设计

一、数学归纳法原理教学的重新构想1.传统的数学归纳法教学的弊端.传统的数学归纳法教学,常常是先说明不完全归纳法的可误性,再举些多米诺骨牌游戏之类的例子作引子,然后就直接“抛”出了数学归纳法的证明步骤,接着通过大量的例子操作,使学生掌握数学归纳法的步骤.这样的教学处理,学生只是死记了数学归纳法步骤,机械地套用,尽管教师反复讲解,结果学生还是觉得方法出来得突然,不能深刻理解数学归纳法中蕴涵着的数学递推证明思想.2.设计的意图是寻求突破对数学归纳法原理的理解.本设计的做法是创设问题情景,在问题的解决过程中,让学生体验递推…     

关于一类条件不等式的数学归纳法证明

关于一类条件不等式的数学归纳法证明许兴华（广西防城港市上思中学５３５５００）１问题的提出在高中数学竞赛中，常出现一类以或为常数作为条件的不等式的证明，因与自然ｉ＝１数ｎ有关，尽管用数学归纳法证明方法上并不很简便，许多同学还是采用了数学归纳法。例如：例...     

从《数学归纳法》再看课堂有效性

数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的无限问题正确性的数学方法.由于自然数的个数是无限的,因此与自然数有关的命题是不可能通过有限次检验去证明.这需要通过在有限的情况下,去证明无限的情形.而数学归纳法正好提供了一种从有限到无限,保证命题结论正确可靠的数学方法.它的操作步骤简单、明确,教学重点不应该是方法的应用.不能把教学过程当作方法的灌输,技能的操练.应当强化数学归纳法产生过程的教学,把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中.这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景,从一开始就注意它的功能,为使用它打下良好的基础,而且可以强化归纳思想的教学,这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充,也是引导学生发展创新能力的良机.在设计时,更注重教学引入的选取照顾学生的接受性,重视学生的学习规律,有意识地提高学生的综合能力.     

数学归纳法的几大应用

数学归纳法是数学中用于证明与自然数N有关命题的一种特殊方法,本文介绍数学归纳法的有关应用,供同学们学习时参考. 一、用于证明代数恒等式 证明代数恒等式,应先分析清楚等式的结构特点和数据特征,其关键在于第二步如何将所证式子转化为归纳假设同构的形式,第二步的恒等变形过程应详尽,不能省略.     

用二项式定理证明不等式的几类问题

众所周知,数学归纳法在含有自然数的命题证明方面有着较大的优势,但同时我们也发现:不是所有与自然数有关的命题都可以用数学归纳法来证明,而且在使用的新教材里目前对数学归纳法已经不作要求了.所以,在缺少了数学归纳法或出现了不宜用数学归纳法的题目之后,我们就需要去寻找另外的方法.实践证明,二项式定理在实际应用中具有很大的价值.例如,解决与自然数有关的幂不等式的证明,它就给我们提供了一种结构简明、思路清晰的证明方法.下面举例说明.1简单构造二项式和直接应用二项式定理例1(1)求证:n≥2时,2n≥n2+n+22;(2)证明:C2nn-1<4n-1(n>1)…     

加强命题在证明不等式中的运用

数学归纳法是证明与自然数n有关的不等式的一种常见的方法,但在实际解题中有时候直接运用数学归纳法证明该命题不太容易,或者按常规思路去运用递推假设也不容易达到目的,这时可以考虑把该命题适当加强,使加强后的命题更具活力,更有利于运用数学归纳法去证明.加强命题的方式有两种:一是把原命题的结论加强,二是把命题一般化.1加强命题的结论例1设n为自然数(n≥1),求证:112 122 … 1n2<2.分析和证明这是一个与自然数n有关的命题,易知难以直接用数学归纳法证明.考虑加强命题的结论,注意到limn→∞1n=0,不妨把结论加强为证明:112 122 … 1n2≤2-…     

高考中应用数学归纳法的四种重点题型剖析

数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法．在证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题时,数学归纳法往往是非常有用的研究工具．数学归纳法的掌握是推理论证能力的一种体现,它也是注重考查能力的高考数学中的一个热点和难点,下面是2007-2009年全国各省市高考理科数学综合考查数学归纳法的一个情况表     

数学归纳法证题技巧

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的命题的一种推理方法,在证明许多数学问题的时候,它都有着不可替代的作用．使用数学归纳法证题的一个难点是如何完成第二步的递推证明．本文就此递推过程所用到的几种基本方法、技巧予以举例说明．     

数学归纳法证题值得关注的几点

数学归纳法是高中数学中证题的一种常用方法,它能证明与自然数有关的命题,这里笔者论述数学归纳法证题中值得关注的几点．     

异于归纳法的证明

高中《代数》第二册(甲种本)第73页,用数学归纳法证明:1·2 2·3 3·4 … n(n 1)=1/3(n 1)(n 2)不少同学证明之余问道,这个结论是如何得到的呢?现介绍除归纳法外的几种方法供同学们参考。     

用数学归纳法证明几何题

数学归纳法是数学里的一种重要方法。可用它来证明与自然数列有关的许多数学命题。值得注意的是,不少几何题与自然数列有关,也可以用数学归纳法来证明。 例一已知圆的半径为R,求证:此圆的内接正2~n边形(n≥2)的边长为     

数学归纳法学习中的一、二、三

数学归纳法是数学证明中的重要方法,它是由特殊到一般的推理方法,常用来证明与正整数有关的可以递推的问题.在高中数学课程中,数学归纳法并不是一个"教师容易教,学生容易学"的单元,学生在利用数学归纳法的过程中诸如"忽视     

与自然数n有关的不等式的新证法

与自然数n有关的不等式的证明通常采用数学归纳法,本文独辟蹊径,介绍一种用比较f(n 1)与f(n)的大小证明这类不等式的新方法,简便可行,颇受同学的欢迎,关键在于构造函数f(n),通过下列各例可见一斑。     

加强命题在证明不等式中的运用

数学归纳法是证明与自然数n有关的不等式的一种常见的方法，但在实际解题中有时候直接运用数学归纳法证明该命题不太容易，或者按常规思路去运用递推假设也不容易达到目的，这时可以考虑把该命题适当加强，使加强后的命题更具活力，更有利于运用数学归纳法去证明．加强命题的方式有两种：一是把原命题的结论加强，二是把命题一般化．     

例谈数学归纳法证明

<正>数学归纳法证明题涉及了极为广泛的知识面,同时兼具了综合性与灵活性等特点,对于学生来说是一个比较困难的学习内容.本文通过几种常见题型的分析,将平时解题过程中比较常见的方法进行分析和总结.题型一、用数学归纳法证明等式     

浅谈不等式证明的几种特殊方法

不等式的证明在数学中是比较常见的题型 ,但有些不等式用常见的方法 (如比较法、分析法和综合法等 )很难证出来 ,或者根本证不出来 .这里介绍几种特殊的证法 ,解决一些不等式的证明问题 .1　数学归纳法数学归纳法是数学中解决证明题很重要的一种方法 ,在不等式证明中也不例外 ,对于与自然数有关的不等式都可以考虑这种方法 .例 1　证明 :|ｓｉｎｎｘ|≤ｎ|ｓｉｎｘ|对任何自然数都成立 .证　 1 )当ｎ =1时 ,不等式显然成立 ;2 )假设ｎ =ｋ时 ,不等式成立 ,即　 |ｓｉｎｋｘ|≤ｋ|ｓｉｎｘ|成立 .当ｎ =ｋ +1时 ,　 |ｓｉｎ(ｋ +1 )ｘ|=|ｓｉ…     

由一个诡辨看数学归纳法的适用范围

数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一 .中学数学中的一些概念、公式、定理及很多的命题 ,通过数学归纳法导出和证明更符合学生的认知特点 ,也符合人们从特殊到一般的认知规律 .在中学阶段 ,有些公式、定理和命题 ,由于受中学生所掌握的数学知识的限制 ,往往只能让学生先暂且接受其真实性 ,再用数学归纳法给出证明 .但是 ,数学归纳法究竟在哪些地方可以用 ,这一直困扰着我们很多的中学生 .下面 ,笔者想从一个诡辨谈起 ,来看数学归纳法的适用范围 .命题　任意一个有n(n为自然数 )根毛的宠物狗都是“裸狗” .证明　 (用数学归纳法 )1…     

一类数列不等式证明的新思路

数列不等式如果一边是和或者积的形式,常用放缩法或者数学归纳法来证明．但是放缩法技巧性较强,学生难于把握;而数学归纳法操作上比较机械,学生熟悉方法后对优化思维无太大好处．这里介绍另外一种证明此类不等式的思路．