一道关于圆的几何题的多解

<正>例已知△ABC内接于⊙O,(1)如图1,AD⊥BC,证明∠BAD=∠OAC;(2)运用(1)结论,如图2,H为△ABC的垂心,若∠ABC的平分线BE⊥HO,交⊙O于E,⊙O的半径为10,求弦AC的长.(1)证明如图1,延长AO交⊙O于K,连接CK.∵AK为⊙O直径,AD⊥BC,∴∠BDA=∠KCA=90°.又∠B=∠K,由三角形内角和知∠BAD=∠OAC.对于第二问,提供以下四种解题思路.思路1构造等边三角形(2)解如图3,连接BH,BO,连CH并延长交AB于G,交⊙O于F,连接BF,作直     

2012年自主招生联考题的多种解法

题目(2012年清华大学等七校自主招生联考)如图,在锐角△ABC中,BE⊥AC于E,CD⊥AB于D,BC=25,CE=7,BD=15.若BE,CD交于点H,连接DE,以DE为直径画圆,该圆与AC交于另一点F,则AF=().     

一道几何试题的多种解法

<正>题目如图1,已知等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点G在BC上,连接AG,过点C作CF⊥AG,垂足为点E,过点B作BF⊥CF于点F,点D是AB的中点,连接DE、DF.求证:∠AED=∠DFE.一、根据等腰直角三角形和斜边上的中点联想到等腰三角形三线合一解法1如图2,连接CD,则CD⊥AB,     

用勾股定理列方程组求多边形的面积

<正>一、构造方程组求三角形的面积例1如图1,△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC,点P在△ABC内,且PA=槡3,PB=5,PC=2,求△ABC的面积.解过点P作PD⊥BC于点D,作PE⊥AC于点E,则∠AEP=∠PDC=∠PDB=90°.因为∠BAC=60°,AB=2AC,     

一道北方奥赛题的两种简证

2014年北方数学奥林匹克邀请赛第一题：已知△ABC中,∠B、∠C都是锐角,AD⊥BC,DE⊥AC,M是DE中点,AM、BE交于F,求证：若AM⊥BE,则△ABC是等腰三角形.证法一∵∠B、∠C都是锐角,故D在B、C之间,连接DF,∵DE⊥AC,AM⊥BE,     

一道习题的两个结论及其推广

<正>请看这样一道习题.题目如图1,∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O,过O作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E.结论 (1)∠BOC=90°+1/2∠A.(2)DE=BD+CE.证明(1)∵OB平分∠ABC,∴∠2=1/2∠ABC.又∵OC平分∠ACB,∴∠4=1/2∠ACB,     

三角形的一个共点线

定理　三角形一内角平分线分原三角形为两个新的三角形 ,两个新三角形的内心和该内角的外角平分线与对边延长线的交点三点共线 .已知 :如图 2 ,△ ABC中 ,AD、AE分别为∠ BAC的内、外角平分线 ,D、E分别为 AD、AE与直线 BC的交点 ,I1,I2 分别为△ ABD,△ ADC的内心 .求证 :I1、I2 、E三点共线 .先证一个引理 .图 1　　　　　　　　图 2引理　如图 1 ,I为△ ABC的内心 ,过 I点的直线 PQ交 AB于 P,交 AC于 Q,则有 :1AP 1AQ=AB BC ACAB .AC .证明　连接 AI,BI,CI,过 I作 ID⊥ BC于 D,作 IE⊥ AC于 E,作 IF…     

数学问题解答

2007年4月号问题解答(解答由问题提供人给出)1666如图,⊙O是△ABC的内切圆,分别与BC,AB,AC相切于点D,E,F,DO的延长线交EF于点G,AG的延长线交BC于点H,求证:BH=CH.(辽宁省岫岩满族自治县教师进修学校侯明辉114300)证明如图,过G作BC的平行线,分别交AB,AC于M,N,则易知BMHG=NCHG①.连结OM,ON,OE,OF.因为⊙O是△ABC的内切圆,所以OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC.故OG⊥MN.所以O,M,E,G与O,F,N,G分别四点共圆,得∠OEG=∠OMG,∠OFG=∠ONG.又易知∠OEG=∠OFG,所以∠OMG=∠ONG,从而OM=ON,于是MG=NG②.由①、②得BH…     

一道中考题的多解与变式

<正>本文以课本基本图形(如图1、图2)为依托,对一道中考题进行多解与变式如下.题目(2013年绍兴)在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于点D,点E为AB的中点,EC与AD交于点G,点F在BC上.(1)如图3,AC∶AB=1∶2,EF⊥CB,求证:EF=CD;(2)如图4,AC∶AB=1∶31/2,EF⊥CE,求EF∶EG的值.     

一道中考题解法的应用

如图1和图2,在△ABC中,AB=13,BC=14,cos∠ABC=513.图1图2探究如图1,AH⊥BC于点H,则AH=,AC=,△ABC面积S△ABC=.拓展如图2,点D在AC上(可与点A、C重合),分别过点A、C作直线BD的垂线,垂足为E、F.设BD=x,AE=m,CF=n.(当点D与A重合时,我们认为S△ABD=0)(1)用含x、m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD;(2)求m+n与x的函数关系式,并求m+n的最大值和最小值;(3)对给定的一个x值,有时只能确定唯一的点D,指出这样的x的取值范围.     

挖掘已知条件,实现一题多解

<正>一题多解对拓展中学生的思维,培养学生的发散思维能力和创新能力具有重要作用.下面就从一道习题的多种解法来说说一题多解的数学思维过程.例如图1,△ABC中,AB=BC,以AB为直径作⊙O交AC于D,交BC于E,过点D作DF⊥BC,垂足为F,连BD、OE交于点G.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)若tan∠A=2,求EG/GO的值.第一问只需要连接OD,证明OD⊥DF     

图证三角等式二例

图证三角等式,直观具体,深刻地揭示了数形间的联系,兹举两例,以示一斑。例1 设α、β为锐角,α>β,tga=2tgβ,求证:sin(α β)=3sin(α-β) 证明构造△ABC,AD⊥BC,D、E三等分BC,设∠BAD=β,∠CAL=a。满足题设要求。连结AE,则△ABE为一等腰三角形,且∠CAE=α-β。如图,作BC⊥AC,EF⊥AC则 sin(α β)=BG/AB=BG/AE,sin(α-β)=EF/AE, 由BG=3EF →sin(α β)=3sin(α-β)。例2 求证:1/sin12°=1/sin24° 1/sin48° sin96°证明构造Rt△ABC,使∠A=12°,作AB的垂直平分线交AC于D,连结BD,作BD的垂直平分线交AC于E,连BE,作BE的垂直平分线交AC的延长线于F,连BF,设BC=1,则     

一道初中竞赛题的另解

<正>2015年北京市中学生数学竞赛(初二)填空第3题:在△ABC中,AB=AC,AD、BE分別为∠A、∠B的平分线,且BE=2AD.则∠BAC的度数为______.另解1(应用取半法)如图1,设∠CBE=α,依题设,则有∠CBE=∠ABE=α,∠ABC=∠ACB=2α,∠AEB=∠EBC+∠ECB=3α,∠ADB=∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD=90°-2α.过点D作DG//BE,与AC交于点G,     

一道几何试题的多解与变式

<正>1试题呈现题目如图1,已知平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,F是AE上一点,满足FC⊥CD且FC=CD,连接BF并延长,交AD于点G.求证:DG=(?)BF.2试题解答(1)以BF为直角边构造等腰直角三角形解法1如图2,过点F作FH⊥BF交BC于点H.由平行四边形ABCD易得∠BAD=∠BCD,而∠DAE=∠AEC=∠FCD=90°,从而∠1=∠2,     

问题征解

一、本期问题征解 1.已知47~(100)是168位数,试求47~(25)的位数。 2.已知x、y为正整数,且xy=24,求函数1/(x~2+y~2)的极大值。 3.在△ABC和△A′B′C′中,已知∠B=∠B′,BC=B′C′,AB+AC=A′B′+A′C′, 求证△ABC≌△A′B′C′。 4.在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,AC延长线上取一点E,使DB=EC,连接DE交BC于G,求证DG=GE。黄冈上巴河标云岗中学熊红英 5.M为BC边的中点,AD为∠A的平分线。过A、D、M三点作圆设交AB、AC于E、F点,求证BE=CF。     

数学问题解答

20 0 4年 8月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 5 0 6　在△ABC中 ,AB=AC ,∠B的平分线交AC于D ,且BC =BD AD .求∠A .(山东大学数学与系统科学学院 3 62信箱　王大鹏　2 50 1 0 0 )解法 1 　在BC上取一点E ,使BE =BD .连结DE .因为AB =AC ,所以∠ABC=∠C .设∠C =2α ,因为     

探究试题本源 寻找最优解法

一、试题呈现 在△ABC中,∠A =90°,点D在线段BC上,∠EDB=1/2∠C,BE⊥DE,垂足为E,DE与AB相交于点F. (1)当AB=AC时, ①∠EBF=____; ②探究线段BE与FD的数量关系,并加以证明. (2)当AB=kAC时,求BE/FD的值(用含k的式子表示).     

联想探路——对一道中考试题的解析

题目(2011年北京中考题)在ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.(1)在图1中证明:CE=CF;(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连结DB、DG(如图     

"∠B=2∠A"型问题的处理方法

掌握几何中"∠B=2∠A"型问题的处理 方法,是快速解答相关问题的关键. 一、作大角的角平分线 例1 如图1, 在△ABC中,AB= 2BC,又∠B=2∠A, 求∠C. 解 作∠B的平 分线交AC于E,过E 作DE⊥AB于D. ∵∠B=2∠A,∴ ∠1=∠2=∠A. ∵ DE⊥AB,　∴ BD=1/2AB. ∵AB=2BC, ∴ BD=1/2×2BC=BC.     

数学问题解答

2006年11月号问题解答(解答由问题提供人给出)1641如图,BC是半圆O的直径,AC⊥BC于C,AD切半圆于D,设圆的半径为r,且BD OA=29r,求:AD.(安徽省肥西中学刘运宜231200)解连结OD、CD.因为AD是半圆O的切线,所以OD⊥AD,即∠ADO=90°.又因为AC⊥BC,所以∠ACO=90°,所以∠ADO ∠ACO=180°