不等式恒成立问题

我们知道,不等式ax2+bx+c>0(a≠0) 在实数集R上恒成立的充要条件是a>0且△ =b2-4ac<0．如果把结论稍加扩展:不等式左 边的表达式不一定是关于x的二次三项式,给 自定区间不是实数集R而是实数集R的子集,依 然讨论使不等式恒成立的条件,内容就丰富得 多了,我们姑且把它称为“不等式恒成立”问题． 这类问题在近几年高考数学中已多次出现．     

不等式的恒成立和恒不成立问题

本文举例说明不等式中的恒成立和恒不成立问题的相应解法,供同学们参考．一、恒成立问题对于恒成立问题,我们有定理1 对于函数f(x),a≥f(x)恒成立的充要条件是a≥f(x)的最大值;a≤f(x)恒成立的充要条件是a≤f(x)的最小值．     

多角度求解不等式恒成立问题

<正>函数、不等式与导数模块是高中数学的核心内容之一,是高考、模拟考考查的重点内容.涉及这方面内容的客观题一直都是各种考试中的热点,常常出现于压轴题的位置处,题干往往比较短小精悍,但考查的知识点比较丰富,求解方法灵活多变,思考问题的角度比较宽,备受命题者的青睐,也给解题者带来不少的困惑.为了帮助同学们更好地熟悉和把握这一类问题的求解,特结合典型题目,从多个角度进行分析与求解,以飨读者.     

例谈不等式恒成立问题

<正>我们知道,不等式恒成立的证明可以转化成对函数最值问题的研究,进而可以借助导数工具研究函数最值.而利用不等式的性质,可以对不等式进行等价转化,这就会使研究的函数模型发生变化.同时,我们可以从函数角度认识不等式,两个等价的不等式因为形式的不同,所对应的函数图象的关系也会有不同.今天我们通过一道题来体会此类问题解决的策略和值得关注的地方.     

恒成立不等式面面观

在高三复习中,我见过很多题目似乎相似,课余加以比较分析,果然有不少发现.题一若|x-(a+1)2/2|≤(a-1)2/2与x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0的解集依次为A与B,求A∪B=B时a的取值范围.题二已知p:|1-x-1/3|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0,若p是q的充分条件,求m的取值范围.     

例举数列中的不等式恒成立问题

不等式的恒成立问题是学生较难理解和掌握的一个难点,以数列为载体的不等式恒成立问题的综合性更强,是高三第二轮复习中不可多得的一个专题.     

含参数的不等式恒成立问题

含参数的不等式恒成立问题是一种常见的重要题型,在近些年的高考中频频出现．由于这类问题综合性强、难度大、要求高,常和函数、数列、不等式、及导数等诸多知识挂钩,学生往往感觉比较困难,不能灵活应对和驾驭．结合几个例题来说明含参数的不等式恒成立问题的几种常见解法．     

五招突破不等式恒成立问题

不等式恒成立问题中,由于含有参变量,分析问题与解决问题的难度较大,学生难以找到解决问题的思路,本文针对这个问题总结以下几种方法,希望对大家有所帮助.     

含参不等式恒成立问题的解法

在解含参数的不等式恒成立问题时，需要理清思路，分清层次，找准方法，如果直接求解较繁，可以转变角度，变换思维，就会有“柳暗花明又一村”的感觉，下面通过几个实例来说明含参不等式恒成立问题的解法．     

函数不等式恒成立问题的求解策略

函数-不等式恒成立问题是中学数学的重要内容,也是近年高考的一个热点问题.研究高考试题,不难发现函数-不等式问题立意深刻,是有效地甄别考生能力的一类好试题.本文中例谈高考中函数-不等式恒成立问题的求解策略,以飨读者.一、直接法例1(2007年重庆卷)已知函数f(x)=ax~4lnx+bx~4-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.(Ⅰ)试确定a、b的值;(Ⅱ)讨     

不等式恒成立问题的分离参数解法

参数讨论是中学数学教学中的一个重点和难点问题,同时也是高考和数学竞赛试题中的热点问题.参数讨论的方法和题型多种多样,其中不等式恒成立问题中求参数范围的题目更是屡见不鲜.笔者在文[1]中介绍了几种最基本的求解途径,但题目稍复杂一点用文[1]中的方法就无能为力了.为此本文试图通过分离参数的办法,使有一定难度的不等式恒成立问题能够转化为我们较为熟悉的内容来求解.所谓分离参数,是指在含有参数的不等式中,通过恒等变形,使参数与主元分离于不等式两端,则蕴涵的函数关系由隐变显,从而问题转化为求主元函数的值域上、下限(上限为最大值…     

不等式恒成立问题中的定参方法

不等式历来是高考和竞赛命题的热点,已知不等式恒成立求参数范围,是一类常见的题型,近年来在各地的高考及模拟试题中更是屡见不鲜．笔者在多年的教学中发现这类问题有以下几种常用解法,现举例说明．１定量分方法 若不等式通过变量分离可化为ａ＜ｆ（ｘ）（或ａ ＞ｆ（ｘ））恒成立的形式,此时可利用以下定理求参数范围： 定理 Ｉ．α＞ｆ（ｘ）恒成立 ａ＞ｆ（ｘ）ｍａｘ; Ｉ．α＜ｆ（ｘ）恒成立 ａ＜ｆ（ｘ）ｍａｘ, 例１ 已知ａ（０,１）。函数ｆ（ｘ）在上有意义,求实数ｋ的取值范围． 解 由题意 ａ恒成立恒成立 因此,实数ｋ…     

一道不等式恒成立问题的再探究

(2013年常州)已知函数f(x)=x|x-a|-lnx. (1)若a=1,求函数f(x)在区间[1,e]的最大值;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)若f(x)＞0恒成立,求a的取值范围. 这是一道期末调研压轴题,着重考查学生分类讨论的运用和计算能力,第(1)问此处不再累述,第(2)问答案如下. 当a＜1时,f(x)单调递减区间是(0,(a+√a2+8)/4),f(x)单调递增区间是((a+√a2+8)/4,+∞); 当1≤a≤2√2时,f(x)单调递减区间是(0,a),f(x)单调的递增区间是(a,+∞);     

一类不等式恒成立问题的错误解法

不等式恒成立问题是中学数学问题中的难点，原因之一就是在解决这类问题时往往容易对恒成立的理解发生偏差，从而引发错误，有时的错误比较隐蔽而不容易被觉察，甚至在一些正规考试题中也出现．下面将2007年某地区的模拟试题及解答摘抄如下：     

不等式恒成立问题中的求参策略

不等式恒成立问题是高考中经常遇到的一类问题,此类问题的应用也相当广泛.但是面对此类问题,同学们往往束手无策,难以顺利解决.现结合实例谈谈不等式恒成立问题中的求参策略.     

函数不等式恒成立问题的求解策略

函数一不等式恒成立问题是中学数学的重要内容,也是近年高考的一个热点问题．研究高考试题,不难发现函数一不等式问题立意深刻,是有效地甄别考生能力的一类好试题．本文中例谈高考中函数一不等式恒成立问题的求解策略,以飨读者．     

不等式恒成立问题的分离参数解法

参数讨论是中学数学教学中的一个重点和难点问题，同时也是高考和数学竞赛试题中的热点问题．参数讨论的方法和题型多种多样，其中不等式恒成立问题中求参数范围的题目更是屡见不鲜．笔者在文[1]中介绍了几种最基本的求解途径，但题目稍复杂一点用文[1]中的方法就无能为力了．为此本文试图通过分离参数的办法，使有一定难度的不等式恒成立问题能够转化为我们较为熟悉的内容来求解．     

借助函数图像解不等式恒成立问题

“不等式恒成立,求参数的取值范围”是不等式中的一大题型,不等式有千姿百态,因此常令同学们不知如何着手解决,当不等式经过变形后,不等式两边的函数图像易画出时,可借助图像来求解.