一道几何题的拓展

<正>原问题[1]设圆内接四边形ABCD的两组对边延长后分别交于点E、F,对角线AC和BD的中点分别为M和N.求证:MN/EF=1/2︱AC/BD-BD/AC︱.拓展问题设四边形ABCD的两组对边延长后分别交于点E、F,对角线AC和BD的中点分别为M和N.求证:直线MN平分EF.证明如图所示.设T为EF的中点,过点M作BE的平行线分别交BC、EC于点R、Q,则R、Q分别为BC、EC的中点,又设P为BE的中点,则点P、R、N     

一道习题与古典名题

题目 如图1,已弧AB if cD?f oF,诛、一 1 . 1 1让:丽十面一面‘ 证明 因为AB∥CD印oF, 所以器=器,所以图l丝 丝:1BD。BD “ 故有志 南一壶· 这是相似三角形内容中的一道常见习题,它的结论用途很广.本文就用它来解决一道古典名题:用直尺任意等分平行于一条已知直线的线段. 首先我们给平行于一条直线的已知线段二等分.已知AB∥￡,求:线段AB的二等分点P. 作法 如图2所示:1.在直线z上方取一点C,连结AC、BC,分别交z于F、E. 2.连结AE、BF‘交于点(),连结C0并延长交AB于P.P点就是AB的二等分点.图2 证明过O点作MJ\『∥AB交.AC于M…     

利用梯形构图证明代数不等式

在初中几何课本第一册中,有复习题: 在梯形ABCD中,平行于底的直线与腰AB、DC分别相交于P、Q,若AP:PB=m:n,则有PQ=mBC+nAD/m+n连接对角线AC,不难证明这个命题,证明(略)设AD=a,BC=b,m/n=λ,可得PQ=a+λb/1+λ (1)     

定比分点坐标公式引出的几个结论

有向线段Ｐ1Ｐ2 的定比分点坐标公式ｘ =ｘ1 λｘ21 λ ,ｙ =ｙ1 λｙ21 λ (λ≠ - 1) ,这是一个结构整齐、对称、富于数学美的公式 .该公式是点分线段得到的 ,若用线段分面 ,用面分体会有什么结论呢 ?笔者就λ >0的情况进行了一些探索得到如下几个结论 .结论 1　梯形上、下底边长分别为ａ ,ｂ ,平行于底边的线段长为ｘ ,此线段把梯形的高自上而下分成ｍ∶ｎ两段 ,记λ =ｍ∶ｎ ,则ｘ =ａ λｂ1 λ .图 1　梯形证　如图 1,设梯形ＡＥＦＤ的高为ｈ ,梯形ＥＢＣＦ的高为ｈ2 ,作ＤＱ∥ＡＢ交ＥＦ ,ＢＣ于点Ｐ ,Ｑ ,作ＦＧ∥ＡＢ交ＢＣ于点Ｇ …     

面积法所证一道奥林匹克问题

题目如图1,在凸四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,经过O作任两条直线分别交边AD、BC、AB、CD于点E、F、G、H,GF、EH分别交BD于点I、J.证明:     

证明线段相等的几种方法赏析

<正>初中阶段证明线段相等的方法非常多,下面我们以一道题为例来说明常见的几种证明线段相等的方法.题目如图1,在△ABC中,AB=AC,D为AB上一点,F是AC延长线上一点,且BD=CF,连接DF交BC于点E,求证:DE=EF.证明一、利用全等三角形证明方法一如图2,作DM∥AC,交BC于M.     

如何证明线段相等

在平面几何中 ,证明两条线段相等是一种最常见的题型 .常用的证明方法有 :利用三角形全等、利用等角对等边、利用特殊四边形 (如平行四边形、等腰梯形等 )的有关性质、利用平行线等分线段定理、利用比例线段等等 .本文仅谈谈如何利用三角形全等和等角对等边证明线段相等的问题 ,供参考 .(一 )利用三角形全等利用三角形全等是证明两条线段相等最常用的手段 .当要证明两条线段相等时 ,可以证明它们所在的三角形全等 .证明三角形全等最主要的方法有SAS、ASA、SSS以及HL .例 1　如图 ,已知AC⊥BD于C ,AC =BC ,BE⊥AD于E ,BE交AC于F …     

短论荟萃

配对巧证杨乐不等式714202陕西华阴黄河工程机械集团中学李建章的一种证法，受益非浅．现利用配对思想给出一种既简单又有趣的巧妙证法，供参考．证明设一道IMO题的简证401555重庆市合川太和中学袁安全题目设In是UABC中最小的内角，点B和C将这个三角形的外接圆分成两段弧．设U是落在不含A的那段弧上且不等于B与C的一个点．线段AB和AC的垂直平分线分别交线段AU于V和W．直线BV和OV相交于T．故V在上．uN内部．同理，w在LACB内部．延长BT交外接圆于M，连结AM．IM7、UB．易证四边形AfW］W是等腰梯形，AU—BM再连结创C，易证…     

对一道初中联赛题的探讨

命题设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC的延长线于点O．P是以O为圆山，OM为半径的圆上一点．求证：∠OPF＝∠OEP（图1）．这是1996年全国初中数学联赛第二试的第二题．事实上，命题的结论并非局限在凸四边形中，倘若将题设中的“凸四边形ABCD”改为“凹四边形ABCD”，其它条件不变，仍可得到结论．命题*设凹四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F，交BC于O，P是以O为圆心，以OM为半径的圆上一点．则∠OPF＝∠OEP．证如图…     

三角形中一个优美的线段比公式

笔者在研究中发现了三角形中的一个优美的线段比公式. 定理如图1、2、3,设D、E分别是△ABC中线段AC、BC的定比分点,BD与AE交于O点,连CO交AB或其延长线于F,则 (CO)/(OF)=(CD)/(DA) (CE)/(EB).     

一道竞赛题的简证及有关新结论

1原题及其简证原题在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90,°P是对角线AC、BD的交点,M、N分别是AB、CD上的点,满足DM⊥AC,BN⊥AC.求证:M、N、P三点共线.(2005年全国初中数学联赛D卷)图1证法1如图1,设DM、BN分别交AC于点E、F,联结PM、PN.易知DM∥BN,则EMBF=AEAF,DEFN=CECF.于是EMBF·DE     

面积法巧证一道奥林匹克问题

题目如图1,在凸四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,经过O作任两条直线分别交边AD、BC、AB、CD于点E、F、G、H,GF、EH分别交BD于点I、J.证明:1OI-O1J=O1B-O1D.图1这是《中等数学》2006年第1期奥林匹克数学问题高中169.这里利用面积证法给出一个连初中生都能知晓的证法.证明连结D     

梯形与两腰有关的两组性质

<正>梯形作为一类特殊的四边形有其一些特殊的性质,受文[1]的启发,笔者又得到梯形与两条腰有关的两组性质,兹介绍如下,以飨读者.图1性质1如图1,四边形ABCD是梯形,AB∥DC,两条腰AD、BC延长后交于O,过O分别引AB、AC的平行线交直线AC、BD、AB、CD于E、F、G、H,M为一条对角线AC的中点,直线AF、BM交于I,直线DM、CF交于J,则(1)EO=OF;(2)AF∥DM,BM∥CF;(3)点I、J在直线OG上,且I、J分别是OG、OH的中点.     

第39届国际数学奥林匹克试题及解答

问题1设凸四边形ABCD的两条对角钱AC与BD互相垂直,且两对边AB与DC不平行．点P为线段AB及DC的垂直平分线之交点,且在四边形ABCD的内部．证明：A,B,C,D四点共圆的充分必要条件为△ABP与△CDP的面积相等．证记AC与BD交于点E,过点P作线段AE,BE之垂线,垂足分别记为M,N．由AC上BD可知PMEN为矩形,因此PM=NE,PN=ME．由点P的选取可知PA=PB,PC=PD．为了证A,B,C,D四点共圆,只要证明PA=PB=PC=PD下面先来计算△ABP,△CDP之面积：因此,为了证明S△ABP=S△CDP当且仅当设S△ABP＝S△CDP,我们来…     

2005年全国高中数学联赛加试题及参考答案

试 题 一、(本题满分50分) 如图,在△ABC中,设 AB>AC,过A作△ABC的 外接圆的切线l,又以A为 圆心,AC为半径作圆分别 交线段AB于D;交直线l 于E、F． 证明:直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一 个旁心． (注:与三角形的一边及另两边的延长线均相切 的圆称为三角形的旁切圆,旁切圆的圆心称为旁心．)     

等腰梯形判定定理另证

等腰梯形的判定定理:若一个梯形的对角线相等,则这个梯形是等腰梯形.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC=BD,求证:梯形ABCD为等腰梯形.证明∵在梯形ABCD中,AD∥BC,     

例谈“定比分点坐标公式引出的结论”的运用

文 [1 ]由线段的定比分点坐标公式类比出丰富的结论 ,可把这些结论综述为 :定理 1　设梯形中平行于底边的截线及上、下底边长分别为ａ0 ,ａ1,ａ2 ,用λ1,λ2 分别表示截得的上梯形与下梯形的高、面积的比 ,则ａｉ0 =ａｉ1 λｉａｉ21 λｉ (ｉ=1 ,2 ) .定理 2　设台体 (指棱台或圆台 )中平行于底面的截面及上、下底面面积分别为Ｓ0 ,Ｓ1,Ｓ2 ,用λ1,λ2 ,λ3分别表示截得的上台体与下台体的高、侧面积、体积的比 ,则(Ｓ0 ) ｉ=(Ｓ′1) ｉ λｉ(Ｓ2 ) ｉ1 λｉ(ｉ=1 ,2 ,3) .下面再给出定理 1 ,2的简洁证明 .定理 1的证明　延长梯形的两腰…     

一个有用的几何命题

命题1点P是△ABC的边AC的中点,E F过点P交BC于F,交BA的延长线于E,则S_(△BAC)∠C,过A作AD∥BC,交线段PE于点D,     

一道中考操作探究题剖析

问题:操作:将一三角尺放在正方形ABCD上,并使它直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于点Q.探究:在滑动过程中,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试证明你观察到的结论.方法一证明:如图(1)Q点在正方形边DC上.过P作MN∥AD交AB于M,交CD于N.∵正方形ABCD∴AB=AD=MN,∠BAC=45°∵MN⊥AB于M∴∠AMN=90°∴AM=MP∴BM=PN∵∠MBP+∠MPB=∠MPB+∠NPQ=90°∴∠MBP=∠NPQ∵△MBP≌△NQP∴PB=PQ如图(2)点Q在正方形边DC的延长线上,即射线DC上证明方法同(1).方法二证明:如图(3)过…     

一道几何题的解法探索

<正>题目如图1,F为正方形ABCD的对角线AC上一点,M为CF的中点,FE⊥AD于点E.(1)求证:MB=MD;(2)试判断线段MB和ME之间的关系,并证明你的结论.问题(1)比较简单,利用三角形全等或正方形的对称性很容易证明.现在我们感兴趣的是问题(2).线段MB和ME之间的关系应该包括数量关系和位置关系.可以通过观察图形或采用度量的方法猜测MB=ME,且MB⊥ME.下面仅以两条线段的数量关系证明.