一道自主招生试题的解法与推广

2012年北大等十三校联考(北约)文科自主招生数学试题的第7题为一道几何最值问题,该题以等边三角形为背景,考生熟悉,也容易入手,是考查学生能力的好题.题目设点A,B,C分别在边长为1的正三角形边上,求AB2+BC2+CA2的最小值.     

一道自主招生试题的简证与推广

2009年清华大学自主招生（理科）数学试题2（1）为： x,y为实数,且x＋y=1,求证：对Vn∈N＋,x^2n＋y^2n〉（2^-1）^2n-1。     

一道自主招生数学试题的解法探究

一、赛题呈现 （2012年南京艺术学院自主招生数学试题）如图1,在△ABC中,D,E分别为BC和AC的中点,且AD⊥BE,求cosC的最小值．     

一道自主招生试题的别解

清华、北大等五校自主招生联考刚结束,就有几位学生同时找到我说：对下面的一道数学题不知如何下手．经过学生们回忆和复述,该题如下：     

谈一道2010年北京大学自主招生试题

题目(2010年北京大学自主招生数学试题)是否存在x∈(0,π2),使得sin x,cos x,tan x,cot x为等差数列?解法1若存在x∈(0,π/2),使得sin x,     

一道自主招生试题的解法和变式探究

先给出一道深圳中学2022年自主招生试题的两种解法,再对这道分式求值题进行变式探究.     

一道自主招生试题的加强及推广的统一

（2010年浙江大学自主招生试题）有小于1的正数：x1,x2,…,xn且x1＋x2＋…＋xn=1．求证：1/x1-x2^3＋1/x2-x2^3＋…＋1/xn-xn^3〉4．     

一道自主招生试题的思路设计与解法赏析

这是2012年一道自主招生数学卷压轴题,此题蕴含着初等数论的气息,散发出竞赛的味道,但真正考查的仍然是中学数学的主干知识、经典内容,它要求考生抓住问题的本质,才能产生思维的顿悟．笔者在研究中发现,这道考题给人以“横看成岭侧成峰”的感觉,运用不同的知识,从不同的角度思考,得到不一样的解法,体现出不同的能力要求,它全面检测...     

谈一道2010年北京大学自主招生试题

题目（2010年北京大学自主招生数学试题）是否存在z∈（0,π/2）,使得sinx,cos x,tanx,cotx为等差数列？．     

主元法解一道北大自主招生试题

题目设x,y,z∈R＋且x2（1/2）＋y2＋z=1,求xy＋2xz的最大值.这是2010年北京大学自主招生试题,是一道含有三变元的条件最值问题,本题难度较大,很难找到解题入口,本文用主元法给出两种解法与大家分享.解法1依题意,设x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈（0,π2）,r∈（0,1）,则x2（1/2）＋y2＋z=1为r＋z=1,所以z=1-r.设w=xy＋2xz,则w=r2sinθcosθ＋2r（1-r）cosθ,     

2012年自主招生联考题的多种解法

题目（2012年清华大学等七校自主招生联考）如图,在锐角△ABC中,     

一道联考试题的讨论

湖北省部分重点中学 2 0 0 3届第一次联考数学试卷上有这样一道题 :已知 f(x) =ax2 +bx +c,如果x∈ [-1 ,1 ]时 ,均有 | f(x) |≤ 1 .1 )求证 :|c|≤ 1 ;2 )当x∈ [- 1 ,1 ]时 ,试求 g(x) =|cx2+bx +a|的最大值 ;3)试给出一个这样的 f(x) ,使 g(x)确实取到上述最大值 .命题者的解答如下 :解　∵x∈ [- 1 ,1 ]时 ,| f(x) |≤ 1恒成立 ,令x =0 ,得 |c|≤ 1 .2 )∵g(x) =|cx2 +bx +a|=|cx2 -c+c+bx +a|≤ |cx2 -c| + |c+bx +a|=|c| ( 1 -x2 ) + |c +bx +a|≤ |c| + |c+bx +a| ,由于函数 φ(x) =|c +bx +a|在 [- 1 ,1 ]的端点处取到最大值 .所以…     

一道折叠问题的初中解法和高中解法

对于一道动态折叠过程中的几何最值问题,分别介绍了初中解法和高中解法,并给出对初中数学与高中数学衔接的思考.     

一道北大自主招生试题的另证

这是2008年北京大学自主招生数学试题第三题: 　　题目已知a1,a2,a3,b1,b2,b3,是非负数,且满足a1+a2+a3=b1+b2+b3,a1a2+a2·a1a3=b1b2+b2b3+b1b3,若min{a1,a2,a3}≤min{b1,b2,b3}. 　　求证:max{a1,a2,a3}≤max{b1,b2,b3}.……     

一道合理选址问题的推广

20 0 1年第 8期《中学生数学 (高中版 )》第 19页《合理选址问题的求解两例》(作者 :夏国华 )一文的例 2是一个颇有意义的问题 ,即图 1　例题图如图 1,A地产汽油 ,B地的汽油需从产油地A运入 ,汽车自A地运汽油往B地 ,往返的油耗正好等于其满载汽油的吨数 ,故无法将汽油运至B地 .为解决问题 ,在途中C地设一油库为中间站 ,先由往返于A ,C间的汽车将油运往C地 ,再由往返于C ,B间的汽车将油运至B地 .问当C站设在何处时运油率 (即B地收到的汽油量 /A地运出的汽油量 )最大 ,最大值是多少 ?该文得到的答案是 :C站设在A ,B两地的中点处时 ,运…     

探究一道“北约”自主招生试题

每年自主招生考试中都会出现新颖别致、源于教材又高于教材的试题．2011年“北约”自主招生第4题是一道精彩的三角问题,给我们留下深刻的印象,笔者对此进行探究发散,在这里和大家一起来分享．