Calibration of and measurements on a rheogoniometer by means of a small computer

Summary In this paper we propose a method for measurements with and calibration of the Weissenberg Rheogoniometer by means of a small computer.For Newtonian fluids we found that the dynamic viscosity is changed by a superposition of a steady shear flow on an oscillatory one, dependent on the direction of the steady shear flow.

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Zusammenfassung In diesem Aufsatz wird eine neue Methode zur Eichung eines Weissenberg-Rheogoniometers und für das Messen mit diesem Apparat dargestellt. Wir haben an newtonschen Flüssigkeiten beobachtet, daß die dynamische Viskosität bei der Überlagerung einer stationären und einer oszillierenden Scherströmung je nach der Richtung der stationären Strömung ihren Wert ändert.

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With 3 figures     

Numerical solutions of some unsteady laminar flows of viscoelastic fluids in concentric annuli with axially moving boundaries

Summary The numerical solution of the steady and nonsteady laminar, isothermal flow of the 6-constant Oldroyd fluid in concentric annuli with axially moving boundaries, is given. The steady flow problem involves the solution of a non-linear ordinary differential equation. In the non-steady flow problem, a modified finite difference method, given byTownsend, is used. It is shown that the steady flow solution obtained directly and the solution obtained from the start-up flow problem agree with each other, thus showing the validity of the finite difference method. In various flow situations, start-up flow, flow decay, decay of a disturbance in the pressure, the effect of superimposed oscillations in the pressure gradient and in the axial velocity of the boundaries on the mean state of flow, are illustrated.

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Zusammenfassung Es werden numerische Lösungen der stationären und instationären laminaren, isothermen Strömung einer Oldroyd-Flüssigkeit mit sechs Konstanten in konzentrischen Ringspalten mit axial bewegten Wänden angegeben. Das stationäre Strömungsproblem erfordert die Lösung einer nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichung. Beim instationären Problem wird in Anlehnung anTownsend eine modifizierte Finite-Differenzen-Methode angewandt. Es wird gezeigt, daß die direkt erhaltenen Lösungen des stationären Problems mit den numerisch erhaltenen Lösungen des instationären Problems übereinstimmen, wodurch die Anwendbarkeit dieser Methode nachgewiesen ist. Für verschiedene Strömungssituationen wie Anlauf- und Abklingströmung, Abklingen nach einer Druckströmung sowie der Einwirkung von überlagerten Schwingungen im Druckgradienten und in der Axialbewegung der Wände auf den mittleren Strömungszustand werden die resultierenden Ergebnisse veranschaulicht.

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With 15 figures     

The effect of random step changes of system parameters on the stability of steady vibration of nonlinear systems

Summary The author proposes a method of analysing the effect of random step changes of system parameters on the stability of steady solution of a nonlinear system in case this steady solution is not the only one. The method is based on the assumption that the time between successive step changes is comparatively long against the period of steady vibration so that transients become stabilized after each parameter change. The parameter is free to vary on a finite interval of values.

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Übersicht Es wird ein Verfahren vorgeschlagen, um die Auswirkung von zufälligen Sprungstörungen der Systemparameter auf die Stabilität von stationären Lösungen nichtlinearer Systeme zu untersuchen. Dabei wird vorausgesetzt, daß es mehrere stationäre Lösungen gibt. Es wird angenommen, daß die Zeit zwischen den nacheinander folgenden Sprungstörungen vergleichsweise lang gegenüber der Periode der stationären Schwingung ist, so daß die Einschwingvorgänge nach jeder Parameteränderung abgeklungen sind. Der Parameter kann sich dabei in einem endlichen Wertcbcreich ändern.

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Herrn Professor Dr. K. Klotter zum 70. Geburtstag gewidmet.     

A network theory of constrained elastic recovery in concentrated polymer solutions

Summary The stress-strain-history relations derived byGreen andTobolsky for a relaxingGaussian molecular network with temporary junctions, generalized to allow for a distribution of junction mean lifetimes, have previously been used to calculate the elastic recovery which occurs in a polymer solution in a state of steady shear flow when all the stress components are instantaneously made zero. The equations predict that the instantaneous part of the recovery involves, in addition to the expected shear recovery, an expansion in directions normal to the previous lines of flow.The present paper contains the corresponding calculations for the case in which this expansion is not allowed to take place, the liquid being constrained so that planesx ₂=const. move rigidly in directions parallel to thex ₁-axis during recovery as well as during the steady shear flow;x ₁,x ₂,x ₃ denote coordinates relative to a rectangularCartesian coordinate system fixed in space. It is shown that the relation between shear stress and the time integral of shear strain is of the linear type much studied in the literature; the calculation of the behaviour ofp ₁₁–p ₂₂, the difference of two normal stress components, is new. It is shown that ifp ₂₁, the shear stress component, be instantaneously made zero (following steady shear flow),p ₁₁–p ₂₂ also decreases instantaneously but in general takes time to reach the value zero; this is true even for the case in which all junctions have the same mean lifetime when the instantaneous shear recovery is not followed by any delayed recovery. The magnitudes of both instantaneous and ultimate shear recovery are calculated; it is found that the latter differs by a factor of two from that calculated on the hypothesis that the stress tensor in steady shear flow is an isotropic function of the strain tensor describing the ultimate shear recovery. The transient behaviour associated with the start of steady shear flow is also considered. Inertial forces are neglected throughout.

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Zusammenfassung Die Beziehungen zwischen der Spannung und dem Zeitintegral der Verformung, die vonGreen undTobolsky für ein sich entspannendes Gaußsches Netzwerk mit zeitweiligen Vernetzungen abgeleitet wurden, werden mit Berücksichtigung der Verteilung der mittleren Lebensdauer der Vernetzungen verallgemeinert. Diese Beziehungen sind schon früher benutzt worden, um die elastische Erholung zu berechnen, die erfolgt, wenn in einer Polymerlösung, die sich in einem Zustand stationärer Scherströmung befindet, alle Kräfte momentan gleich Null gesetzt werden. Die Gleichungen sagen aus, daß der Momentanteil der Erholung nicht nur eine voraussichtliche Schererholung, sondern auch eine Ausbreitung in den Richtungen normal zu den Strömungslinien einschließt.Die vorliegende Abhandlung enthält die diesbezügliche Rechnung für den Fall, wo diese Ausbreitung nicht stattfinden kann, da die Flüssigkeit so umschlossen ist, daß die Ebenen normal zurx ₂-Achse sich unnachgiebigerweise in den Richtungen parallel mit derx ₁-Achse während der Erholung als auch während der stationären Scherströmung bewegen.x ₁,x ₂, undx ₂ bezeichnen die Koordinaten bezüglich eines räumlich festen rechtwinkeligen, cartesischen Achsenkreuzes. Man erhält eine lineare Beziehung zwischen der Schubspannung und dem Zeitintegral der Schiebung, die im Schrifttum schon viel behandelt worden ist. Die Berechnung des Verhaltens der Differenz der zwei Normalspannungskomponentenp ₁₁ undp ₂₂ ist neu. Es wird gezeigt, daß wenn, bei stationärer Scherströmung, die Schubspannungskomponentep ₂₁ momentan Null gesetzt wird, dannp ₁₁ bisp ₂₂ auch momentan abnimmt, aber im allgemeinen ist eine gewisse Zeit erforderlich, den Nullwert zu erreichen. Das trifft sogar dann zu, wenn alle Vernetzungen dieselbe mittlere Lebensdauer haben und wo der momentanen Schuberholung nicht eine verzögerte Erholung folgt. Die Beträge der momentanen und endgültigen Schererholung wurden berechnet. Die so ermittelte endgültige Schererholung beträgt die Hälfte derer, die man, von der Annahme ausgehend, daß der Spannungstensor der stationären Scherströmung eine isotrope Funktion des Verzerrungstensors, der die endgültige Schererholung beschreibt, sei, berechnet. Das vorübergehende Verhalten am Anfang der stationären Scherströmung ist auch in Betracht gezogen. Dagegen sind Trägheitskräfte durchweg vernachlässigt.

     

Nonlinear shear creep and constrained elastic recovery of a LDPE melt

Summary Shear creep and constrained elastic recovery experiments on a well characterized low-density polyethylene melt are reported. The temperature dependence of the shear strain and the primary normal stress difference is discussed in detail. Comparison is made with predictions of a strain-dependent single integral constitutive equation, which has already been successfully used for the same polymer melt to describe the stress growth after sudden imposition of a constant shear rate flow and stress relaxation after cessation of steady shear flow. It should be emphasized that this constitutive equation contains no adjustable parameters. The linear-viscoelastic part of the memory function is related to the linear-viscoelastic relaxation spectrum, while the nonlinear, strain-dependent part was determined from rapid-strain experiments.In the case of a prescribed shear stress history the resulting integral equation cannot be solved by closed integration but has to be inverted by numerical methods. Agreement between theoretical predictions and experimental data is rather encouraging for shear strain and primary normal stress difference during creep and retardation tests. Within experimental error, the strain and shear rate dependence of the recoverable portion of the total strain can be correctly predicted.

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Zusammenfassung Es wird über Kriech- und Retardationsversuche an einer bekannten Polyäthylen-Schmelze niedriger Dichte berichtet, die mit Hilfe eines Weissenberg-Rheogoniometers durchgeführt wurden. Die Temperaturabhängigkeit der Scherdeformation und der 1. Normalspannungsdifferenz wird diskutiert. Die Ergebnisse der Messungen werden mit den Voraussagen einer rheologischen Zustandsgleichung in Integralform verglichen, die, wie bereits früher für die gleiche Schmelze gezeigt wurde, das Anlaufverhalten beim Anlegen einer konstanten Schergeschwindigkeit und das Relaxationsverhalten nach Beendigung einer stationären Scherströmung richtig beschreibt. Dabei muß betont werden, daß diese Zustandsgleichung keine anpassungsfähigen Parameter enthält. Der linear-viskoelastische Teil der Gedächtnisfunktion hängt mit dem linear-viskoelastischen Relaxationsspektrum zusammen, während der nicht-lineare, deformationsabhängige Teil mit Hilfe von rapid-strain-Experimenten bestimmt wurde.Schreibt man, wie bei Kriech- und Retardationsexperimenten, die Spannungsgeschichte vor, so kann die Zustandsgleichung nicht geschlossen gelöst werden, sondern muß mit numerischen Methoden invertiert werden. Die Übereinstimmung zwischen den berechneten und den gemessenen Werten der Scherdeformation und der 1. Normalspannungsdifferenz bei Kriech- und Erholungsversuchen ist recht zufriedenstellend. Innerhalb der experimentellen Fehlergrenzen läßt sich auch die Abhängigkeit der reversiblen Scherung von der Scherdeformation und der Schergeschwindigkeit berechnen.

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With 5 figures and 4 tables     

Three-dimensional periodic boundary layers

Summary Three-dimensional periodic boundary layers on an arbitrary surface are considered assuming that the outer flow is a known periodic potential flow. It is shown that, if the Strouhal number and the Reynolds number are of the same order and if both are large, the interaction between the curvature of the surface and viscosity induces a harmonic part in the secondary motion inside the boundary layer in addition to steady and subharmonic parts.

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Übersicht Es werden dreidimensionale periodische Grenzschichten an einer beliebigen Oberfläche betrachtet unter der Annahme, daß die Außenströmung eine bekannte periodische Potentialströmung ist. Es wird gezeigt, daß unter der Vorsausetzung, daß Strouhalzahl und Reynoldszahl groß und von gleicher Größenordnung sind, durch das Zusammenwirken von Oberflächenkrümmung und Zähigkeit innerhalb der Grenzschicht ein harmonischer Anteil für die sekundäre Strömung innerhalb der Grenzschicht entsteht, der sich den stationären und den subharmonischen Anteilen überlagert.

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The author thanks Prof. S. D. Nigam for his comments on the first draft of the paper.     

Unsteady elastico-viscous flow in a rotating pipe

Summary An analysis is presented of incompressible flow in a straight pipe of circular cross-section, rotating about an axis perpendicular to its length, under the influence of a periodic pressure gradient. It is shown that the secondary axial velocity along the pipe is comprised of a steady part and an unsteady part oscillating at twice the frequency of the applied pressure gradient. Of particular interest is the steady component of velocity for which it is shown that, at high frequencies, a reversal of drift in certain regions can be induced.

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Zusammenfassung Es wird eine Analyse der inkompressiblen Strömung in einem geraden Rohr mit rundem Querschnitt, das um eine senkrecht zu seiner Länge verlaufende Achse rotiert, unter dem Einfluß eines periodischen Druckgradienten gegeben. Dabei wird gezeigt, daß die sekundäre axiale Anströmungsgeschwindigkeit in der Röhre aus einem stationären Anteil und aus einem nichtstationären Anteil besteht. Der letztere oszilliert mit einer Frequenz, die doppelt so groß ist wie die des wirkenden Druckgradienten. Von besonderem Interesse ist der stationäre Anteil der Angströmgeschwindigkeit, für den gezeigt wird, daß bei hohen Frequenzen in gewissen Bereichen eine Umkehr der Strömungsrichtung herbeigeführt werden kann.

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With 3 figures     

Some anomalous rheological responses of thermotropic liquid crystals

Summary The rheological properties of smectic, nematic and cholesteric thermotropic liquid crystals have been investigated with the Rheometrics Mechanical Spectrometer. Steady flow, relaxation after cessation of steady flow, sinusoidal deformation and step strain modes have been employed. Highly non-linear responses for the smectic systems have been observed which can possibly lead to new areas of applications some of which are briefly discussed.

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Zusammenfassung Die rheologischen Eigenschaften von smektischen, nematischen und cholesterischen thermotropen flüssigen Kristallen wurden mit dem Mechanischen Spektrometer der Fa. Rheometrics untersucht, wobei die Betriebsweisen der stationären Strömung, der Relaxation nach Anhalten der stationären Strömung, der sinusförmigen Deformation und der stufenweisen Dehnung angewendet wurden. Bei den smektischen Systemen wird ein hochgradig nicht-lineares Verhalten beobachtet, das möglicherweise auf neue Anwendungsbereiche hinweist. Einige derselben werden kurz diskutiert.

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With 8 figures and 2 tables     

Theoretical and experimental investigation of shearing in elastic polymer liquids

Summary In the present paper a rheologic theory (1) has been compared to results of different shear experiments in the region of moderate elastic strains using a polymer solution as an example. The 40% butyl rubber solution (M 3 10⁴) in transformer oil has been employed as tested liquid. A major part of the experimental data has been obtained on the Weissenberg Rheogoniometer. The three and five constants rheologic models (the first and second approximations) have been discussed. Model constants have been defined in the linear region of the rheologic behaviour of the solution using dynamic characteristics.The theory has been compared to experiments employing the steady rheologic characteristics (dependence of tangential stress and the two differences of normal stress on shear velocity), transition to steady flow (under the condition of constant shear velocity) and relaxation of tangential and normal stresses from steady flow using the cone-plate and disk-disk units, generation of steady flow under the condition of constant tangential stress and aftereffect strain, superposition of small oscillations on the non-linear steady shear flow. It was shown that taking the experimental data in total, the theory is in satisfactory agreement with the experiments both for the first and second approximations. In all cases considered, the second approximation theory is in better agreement with the test then the first one.

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Zusammenfassung In der vorliegenden Veröffentlichung wird eine früher entwickelte rheologische Theorie (1) mit Ergebnissen verschiedener Scherversuche im Bereich mittlerer elastischer Dehnungen verglichen, wobei als Anwendungsbeispiel eine Polymerlösung — und zwar eine 40%ige Lösung von Butyl-Kautschuk (M 3 10⁴) in Transformatoröl — gewählt wird. Die meisten experimentellen Ergebnisse werden mit dem Weissenberg-Rheogoniometer gewonnen. Ein Modell mit 3 bzw. 5 Konstanten wird als erste bzw. zweite Näherung der Theorie diskutiert. Die Modellkonstanten werden im linearen Bereich mit Hilfe der dynamischen Kennlinien bestimmt.Der Vergleich von Theorie und Experiment wird durchgeführt für die stationären rheologischen Kennlinien (nämlich die Abhängigkeit der Schubspannung und der beiden Normalspannungsdifferenzen von der Schergeschwindigkeit), den Anlauf- und Relaxationsvorgang bezüglich Schub- und Normalspannungen (bei zwischenzeitlich konstanter Schergeschwindigkeit) unter Benutzung einer Kegel-Platte- und einer Platte-Platte-Meßeinheit, die Erzeugung einer stationären Scherströmung bei Vorgabe einer konstanten Schubspannung und die nachfolgende Kriecherholung, sowie für die Superposition kleiner Schwingungen über einer stationären Scherströmung im nicht-linearen Bereich. Es wird gezeigt, daß die experimentellen Ergebnisse im großen und ganzen mit den theoretischen Voraussagen in befriedigender Weise übereinstimmen. In allen betrachteten Fällen liefert die zweite Approximation eine genauere Beschreibung als die erste.

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With 16 figures     

The measurement of normal stresses by means of liquid-filled holes in a surface

Summary This paper concerns the systematic errors that may arise when using pressure measurements, made by means of holes in the surfaces of a viscometer, to estimate the normal stresses in steady shear flows. The work is closely related to some recent measurements ofBroadbent et al. (1968) and ofKaye, Lodge &Vale (1968) who first proposed that such errors may be important in determining the normal-stress differences of fluids in steady shear flows. Some dimensional arguments are presented to show how our estimate of the normal stress at the surface may be affected by the measuring technique and by the particular kind of curvilinear shear flow in which the measurements are being made. An experimental investigation of the influence of some of the dimensionless parameters has been made in a cone-and-plate viscometer, the results of which suggest that the estimate of the normal stress at the surface is not greatly affected by geometric changes of the hole. On the other hand, some measurements made by Dr.J. M. Broadbent for shear flows generated between concentric cylinders suggest that the experimental estimate of the normal stresses on the walls of the cylinders are dependent upon the parameterR/d whereR is the radius of the cylinder andd is the diameter of the hole used to make the measurement. From the results of a calculation byTanner &Pipkin (1969) of the error that arises from this measuring technique when a second-order fluid flows past a two-dimensional slot in a plane wall, and with the possible extension to more complicated fluids it appears that this source of error could account for the inconsistencies in the measurements ofKaye, Lodge &Vale (1968).

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Zusammenfassung Diese Arbeit behandelt die möglichen systematischen Fehler bei der Bestimmung der Normalspannungen in stationären Scherströmungen, wenn dazu Druckmessungen mittels Bohrungen in den Oberflächen eines Viskosimeters herangezogen werden. Sie schließt an einige neuere Messungen vonBroadbent und Mitarb. (1968) und vonKaye, Lodge, undVale (1968) an. Letztere wiesen erstmals darauf hin, daß solche Fehler bei der Ermittlung von Normalspannungs-Differenzen in stationären Scherströmungen bedeutsam sein können. Anhand einer Dimensionsbetrachtung wird gezeigt, inwieweit die Meßtechnik selbst und die besondere Art der Scherströmung mit gekrümmten Stromlinien einen Einfluß auf die Bestimmung der Normalspannung an der Oberfläche haben.Der Einfluß einiger dimensionsloser Parameter wurde in einem Platte-Kegel-Viskosimeter experimentell untersucht. Die gewonnenen Ergebnisse deuten darauf hin, daß Veränderungen in der Geometrie der Meßbohrungen die Bestimmung der Normalspannungen nur wenig beeinflussen. Andererseits lassenBroadbents Messungen in Scherströmungen zwischen zwei konzentrischen Zylindern erkennen, daß die experimentellen Werte der Normalspannungen in der Zylinderoberfläche vom ParameterR/d abhängen (R — Zylinderradius,d — Durchmesser der Meßbohrung).Aufgrund einer Fehlerberechnung für diese Meßtechnik, wobei eine Flüssigkeit 2. Ordnung entlang einer ebenen Wand mit zweidimensionaler Nut angenommen wurde (Tanner undPipkin, 1969), aufgrund der möglichen Erweiterung dieser Berechnung auf kompliziertere Flüssigkeiten, erscheint es möglich, daß die oben erwähnte Fehlerquelle der Grund für die Widersprüche in den Messungen vonKaye, Lodge undVale sind.

     

Langevin analysis of dumbbells with hydrodynamic interaction

Summary In this communication we consider the hydrodynamic interaction problem in dumbbell kinetic theory using the traditional Langevin analysis. The pre-averaged Oseen tensor is avoided in the formulation. It is shown that the behaviour of the dumbbell is qualitatively different from that predicted by models employing the pre-averaged Oseen tensor; the most important result is that the predicted non-Newtonian viscosity in a steady shearing flow now occurs at the experimentally observed order of magnitude of shear rate. This contrasts with the constant viscosity predicted by the pre-averaged calculation.

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Zusammenfassung In dieser Veröffentlichung wird das Problem der hydrodynamischen Wechselwirkung in der kinetischen Theorie der Hanteln mit der traditionellen Langevin-Analyse behandelt. Bei dieser Methode wird die Vorab-Mittelung des Oseen-Tensors vermieden. Es wird gezeigt, daß das Verhalten der Hanteln von demjenigen qualitativ verschieden ist, das durch das Modell des vorab gemittelten Oseen-Tensors vorausgesagt wird. Das wichtigste Ergebnis ist, daß die so bestimmte nicht-newtonische Viskosität für die stationäre Scherströmung jetzt größenordnungsmäßig mit der experimentell beobachteten übereinstimmt, im Gegensatz zu der bei der Vorab-Mittelung erhaltenen konstanten Viskosität.

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With 7 figures     

Nonsimilar incompressible laminar boundary-layer flows in micropolar fluids

Summary The solution of the steady laminar incompressible nonsimilar boundary-layer problem for micropolar fluids over two-dimensional and axisymmetric bodies has been presented. The partial differential equations governing the flow have been transformed into new co-ordinates having finite range. The resulting equations have been solved numerically using implicit finite-difference scheme. The computations have been carried out for a cylinder and a sphere. The results indicate that the separation in micropolar fluids occurs at earlier streamwise locations as compared to Newtonian fluids. The skin friction and velocity profiles depend on the shape of the body and are almost insensitive to microrotation or coupling parameter, provided the coupling parameter is small. On the other hand, the microrotation profiles and microrotation gradient depend on the microrotation parameter and they are insensitive to the coupling parameter.

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Zusammenfassung Es wird die Lösung des stationären Grenzschichtproblems inkompressibler mikropolarer Flüssigkeiten für den Fall der Nichtähnlichkeit bei zweidimensionalen und achsensymmetrischen Körpern vorgelegt. Die dem Problem zugrunde liegenden partiellen Differentialgleichungen werden durch Einführung neuer Koordinaten auf ein endliches Gebiet transformiert. Die so erhaltenen Gleichungen werden mit Hilfe eines impliziten Differenzenverfahrens numerisch gelöst. Die Rechnung wird für den Zylinder und die Kugel durchgeführt. Die Ergebnisse zeigen, daß die Grenzschichtablösung früher erfolgt als bei vergleichbaren newtonschen Flüssigkeiten. Wandreibung und Geschwindigkeitsprofile hängen von der Gestalt des Körpers ab und sind nahezu unempfindlich gegen Mikrorotation und Kopplungsparameter, vorausgesetzt, daß der letztere klein ist. Dagegen hängen das Profil und der Gradient der Mikrorotation vom Parameter der Mikrorotation ab und sind ebenfalls unempfindlich gegen die Kopplungsparameter.

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With 6 figures     

Die Orientierung hantelförmiger Teilchen in Scherströmungen viskoelastischer Flüssigkeiten

Zusammenfassung Die Untersuchung behandelt die Orientierung von länglichen Teilchen in Scherströmungen viskoelastischer Flüssigkeiten. Als Modell hierfür werden starre Hanteln ohne rotatorischen Freiheitsgrad der Hantelkugeln benutzt. Bei Beschränkung auf schleichende Strömungen werden für eine Flüssigkeit zweiter Ordnung zunächst die Kraft- und Drehmomentbeiträge berechnet, die von der Flüssigkeit auf eine ruhende Kugel ausgeübt werden, sowie die für die spätere Berücksichtigung der Wechselwirkung der Hantelkugeln benötigten Anteile des Druck- und Geschwindigkeitsfeldes zweiter Ordnung.Mit Hilfe dieser Ergebnisse werden anschließend die stabilen und labilen Gleichgewichtslagen einer an die Scherebene gebundenen Hantel ohne und mit Berücksichtigung der Wechselwirkung der Hantelkugeln bestimmt. Weiter wird diskutiert, welche Aussagen man aus Beobachtungen an Kugeln oder Hanteln in der Scherströmung einer viskoelastischen Flüssigkeit über deren Stoffverhalten gewinnen kann.In einem abschließenden experimentellen Teil werden dann die theoretischen Ergebnisse an einer 0,1%-igen wäßrigen Polyacrylamid-Lösung durch Versuche an Kugeln und Hanteln überprüft. Obgleich diese Flüssigkeit im untersuchten Schergeschwindigkeitsbereich nicht mehr durch das Modell einer Flüssigkeit zweiter Ordnung beschrieben werden kann, findet man eine qualitative Bestätigung der vorausgesagten Orientierungseffekte. Außerdem werden einige weitere Verhaltensweisen ausgeprägt viskoelastischer Flüssigkeiten beobachtet.

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Summary Orientation effects of slender particles are investigated in shear flow of viscoelastic fluids. As a model for such particles rigid dumbbells are used without freedom of rotation of the dumbbell spheres. For slow flow at first the force and torque contributions are calculated, which are exerted from a second-order fluid on a rigid sphere at rest. In addition the required second-order parts of the pressure and velocity field are evaluated to consider later the interaction between the dumbbell spheres.From these results the stable and unstable orientation angles of a dumbbell in the shear plane are determined. This is done with and without taking into account the interaction effects. Furthermore it is discussed, which information about the material behaviour is available from observations of spheres or dumbbells in shear flow of a viscoelastic liquid.In conclusion the theoretical predictions are tested by experiments with spheres and dumbbells in a 0.1% aqueous solution of polyacrylamide. Even though this liquid cannot be described by the model of a second-order fluid in the range of shear rate applied, the predicted orientation effects are qualitatively confirmed. Moreover some other properties of highly viscoelastic fluids are observed.

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Von der Abteilung Chemietechnik genehmigte Dissertation; auszugsweise vorgetragen auf dem Euromech-Kolloquium No. 49 in Jabonna (Polen) vom 2.–5. April 1974 und der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Berlin vom 28.–30. April 1975.

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Mit 9 Abbildungen und 1 Tabelle     

An integral rheological model and its application to steady and unsteady viscoelastic data of a polyisobutylene-dekahydronaphthalin solution

Summary A simple integral model is proposed which predicts the viscosity and the first normal stress difference coefficient in conditions of steady simple shearing flow. The model also predicts the time dependent viscosity during the buildup of the shear stress after suddenlyimposed constant shear rate. The experiments performed with aWeissenberg Rheogoniometer on a PIB-Dekahydronaphthalin solution support the integral model in a considerable range of the shear rate.

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Zusammenfassung Ein einfaches Integralmodell, welches die Viskosität und den ersten Normalspannungskoeffizienten bei stationärer einfacher Scherströmung voraussagt, wird vorgeschlagen. Das Modell sagt auch die zeitabhängige Viskosität für eine plötzlich entstandene konstante einfache Scherströmung voraus. Die Experimente, die mit Hilfe einesWeissenbergschen Rheogoniometers an einer Lösung von Polyisobutylen in Dekahydronaphthalin durchgeführt wurden, bestätigen das Integralmodell in einem weiten Bereich von Schergeschwindigkeiten.

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Paper read at the Annual Meeting of the German Rheologists, Berlin-Dahlem, May 20–22, 1968.     

Dynamic properties of some polymer solutions subjected to a steady shear superimposed on an oscillatory shear flow

Summary Results of measurements of dynamic moduli in parallel superposition of a steady and oscillatory shear flow were compared with different theories.Most of the rheological models which are based on the assumption that the material properties (spectrum of relaxation times) are unaffected by the presence of the steady rates of shear give results incompatible with our experimental results described earlier. From these models the best fit is given by the WJFLMB-model.A much better fit is given by theories based on the assumption that the relaxation spectrum is cut-off at a critical value of the relaxation time depending on the prescribed steady rate of shear. Under certain conditions these theories explain qualitatively the linear relations between the frequency ₀, at whichG (, ) = 0 and the steady rate of shear , as we found experimentally for several polymer solutions.

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Zusammenfassung Die Ergebnisse von Messungen der dynamischen Moduln bei Superposition einer stationären und einer oszillierenden Scherströmungsk omponente werden mit verschiedenen Theorien verglichen.Die meisten rheologischen Modelle sind auf die Annahme gegründet, daß die Stoffeigenschaften (das Relaxationsspektrum) durch das Vorliegen einer stationären Scherströmung nicht verändert werden. Solche Theorien liefern Ergebnisse, die mit unseren früher beschriebenen Ergebnissen unvereinbar sind. Die beste Übereinstimmung liefert noch das WJFLMB-Modell.Eine wesentlich genauere Anpassung ermöglichen diejenigen Theorien, die auf der Annahme gründen, daß das Relaxationsspektrum bei einem kritischen Wert der Relaxationszeit abgeschnitten wird und daß dieser Wert von der überlagerten stationären Scherströmung abhängt. Unter gewissen Bedingungen erklären diese Theorien zumindest qualitativ die lineare Beziehung zwischen der Frequenz ₀, bei welcherG (, ) = 0 wird, und der zugeordneten Schergeschwindigkeit , wie wir sie bei verschiedenen Experimenten gefunden haben.

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With 4 figures     

The effects of random longitudinal vibration on pipe flow of a non-Newtonian fluid

Summary A perturbation solution to a pulsating pipe flow of a non-Newtonian fluid is developed. The pipe is vibrated longitudinally in a random stationary manner and the fluid is driven by a constant pressure drop. Three explicit constitutive equations are studied: the generalized Newtonian, the strain-rate and the strain-dependent constitutive equations. It is found that all three of them are capable of describing the flow enhancement phenomenon observed byMena et al. and that this effect is entirely an inertia effect which is exhibited only by shear-thinning fluids.

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Zusammenfassung Es wird eine Näherungslösung für die pulsierende Rohrströmung einer nicht-newtonschen Flüssigkeit entwickelt. Das Rohr vibriert dabei in Längsrichtung nach Art eines stationären stochastischen Prozesses, und die Flüssigkeit wird durch ein konstantes Druckgefälle angetrieben. Drei Formen rheologischer Stoffgleichungen werden untersucht: die einer verallgemeinerten newtonschen, einer deformationsgeschwindigkeits-und einer deformationsabhängigen Flüssigkeit. Es wird gefunden, daß alle drei Modelle imstande sind, das vonMena und Mitarbeiter beobachtete Phänomen der Durchsatzsteigerung zu beschreiben und daß dieser Effekt ein reiner Trägheitseffekt ist, der nur bei Flüssigkeiten mit Scherentzähung vorkommt.

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With 3 figures     

Mean-stress approach to integration of differential equations in elastostatics,and the Neuber-Papkovich and Galerkin representations

Summary The mean-stress approach proposed by the author for integration of differential equation in elastostatics is applied to derivation of uncoupled solutions. In particular, the Neuber-Papkovich and Galerkin representations are analysed and adapted for use in elastostatics of incompressible bodies and in theory of slow steady viscous flow. It is shown that in multiply-connected regions, both representations may lead to many-valued solutions unless the special integral conditions are satisfied identically.

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Übersicht Das vom Verfasser vorgeschlagene Verfahren einer Spannungsmittelung zur Integration von Differentialgleichungen der Elastostatik wird zur Ableitung von ungekoppelten Lösungen verwendet. Insbesondere werden die von Neuber-Papkovich und Galerkin gegebenen Darstellungen für den Gebrauch in der Elastostatik inkompressibler Körper sowie in der Theorie von langsamen, stationären, viskosen Strömungen angepaßt. Es wird gezeigt, daß beide Darstellungsarten bei mehrfach zusammenhängenden Bereichen zu mehrdeutigen Lösungen führen, falls nicht die besonderen Integralbedingungen erfüllt sind.

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The results raported here were accomplished at the Institute of Mechanics (Civil Engineering) of the Stuttgart University, where the author held the visiting appointment during the winter semester of the academic year 1974/75.     

Selbsterregte Schwingungen eines pneumatischen Stellmotors

Übersicht Ein pneumatischer Stellmotor, der aus einem 4-Wege-Steuerschieber, einem doppeltwirkenden Arbeitskolben mit hin- und hergehender Bewegung und einer starren Hebelrückführung besteht, kann bei festgehaltenem Eingang und bei geeigneter Wahl der Parameter selbsterregte Schwingungen ausführen. Die Bewegungen können angenähert durch ein nichtlineares Differentialgleichungssystem beschrieben werden, das auf einem elektronischen Analogrechner nachgebildet wird. Weiterhin wird für das Differentialgleichungssystem ein lineares Ersatzsystem nach dem Verfahren der harmonischen Balance aufgestellt. Die daraus abgeleiteten Bedingungen für das Auftreten von stationären Schwingungen werden mit den Ergebnissen einer linearen Näherung nach der Methode der kleinen Schwingungen verglichen. Außerdem werden Versuche beschrieben.

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Summary A pneumatic servomotor, consisting of a four-way valve, a double-acting ram with linear motion and a linear feedback linkage, may perform steady-state self-excited oscillations for fixed input and a suitable choice of parameters. The system is approximately described by non-linear differential equations which were solved employing an analog computer. Also, by means of the describing function method, one may obtain a replacing linear system yielding conditions for steady-state oscillations. These results are compared to a perturbation solution of the original equations and experimental investigations are reported.

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Auszug aus einer an der Technischen Hochschule Stuttgart eingereichten Dissertation. Die Untersuchungen wurden durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft in dankenswerter Weise unterstützt.     

On elastic effects in unsteady pipe flows

Summary Theoretical consideration is given to two unsteady pipe flows. In the first, a combined steady and oscillatory shear flow is generated by a pulsatile pressure gradient in a stationary pipe. In the second, the pressure gradient is constant, but the pipe wall executes axial vibrations.The theoretical analysis is carried out for an upper convected Maxwell model characterized by a viscosity function and one relaxation time. A conventional perturbation method of solution is concluded to be inadequate to describe some of the interesting experimental observations and most of the work employs a finite-difference formulation based onTownsend's work. In the vibrating-pipe analysis, it is concluded that the flow must be considered to be dominated by the axial movement of the pipe if the interesting experiments ofManero andMena are to be properly interpreted.We have still not reached the stage where existing experimental results on pulsatile flow and the vibratingpipe situation can bequantitatively predicted.

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Zusammenfassung Es werden zwei Typen instationärer Rohrströmungen theoretisch betrachtet. Bei dem ersten wird eine kombinierte stationäre und oszillierende Scherströmung dadurch erzeugt, daß bei ruhendem Rohr der Strömung ein pulsierender Druckgradient aufgeprägt wird. Bei dem zweiten ist der Druckgradient konstant, dagegen führt das Rohr axiale Schwingungen aus.Die theoretische Analyse wird für das Modell einer verallgemeinerten Maxwell-Oldroyd-FlüssigkeitB (d. h. mit kontravarianter konvektiver Zeitableitung) durchgeführt, welches durch eine Viskositätsfunktion, aber nur eine einzige Relaxationszeit gekennzeichnet ist. Es wird gezeigt, daß die üblichen Störungsmethoden nicht geeignet sind, einige der interessantesten experimentellen Beobachtungen zu beschreiben. Daher wird in den meisten Fällen eine auf den Arbeiten vonTownsend basierenden Finite-Differenzen-Methode angewendet. Bei der Analyse des vibrierenden Rohrs wird geschlossen, daß die Strömung maßgeblich durch die Axialbewegung des Rohrs bestimmt sein muß, wenn die interessanten Experimente vonManero undMena angemessen interpretiert werden sollen.Zur Zeit ist noch nicht eine solche Stufe des theoretischen Verständnisses erreicht, von wo aus einequantitative Voraussage der bekannten experimentellen Ergebnisse bei pulsierenden Strömungen bzw. einem vibrierenden Rohr geleistet werden könnte.

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With 14 figures     

Entry flow in weakly curved ducts

Summary The properties of steady incompressible flow in the entry region of curved ducts are studied theoretically for large Reynolds numbers. Under the assumption that the inviscid core flow may be approximated sufficiently well by a potential vortex the boundary layer equations are solved by means of integral methods. In order to improve the accuracy momentum as well as energy relationships are used.

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Einlaufströmung in schwach gekrümmten Rohren

Übersicht Die Eigenschaften einer stationären, inkompressiblen Strömung im Einlaufbereich gekrümmter Rohre werden für große Reynoldszahlen theoretisch untersucht. Unter der Voraussetzung, daß die reibungsfreie Kernströmung hinreichend genau durch einen Potentialwirbel angenähert werden kann, werden die Grenzschichtgleichungen mit Integralmethoden gelöst. Um die Genauigkeit zu erhöhen, werden sowohl Impuls- als auch Energiebeziehungen verwendet.