美国AP微积分AB/BC课程体系研究

1美国AP课程简介美国大学先修课程(Advanced Placement,AP)始于1955年,AP课程项目管理机构(美国大学理事会(Collegeboard))与学院(College)、大学(University)、高中(High School)联合向学生提供高中阶段参加大学课程的学习和考试.AP共34个科目,这些科目使得中学生在申请大学的过     

三角形的一条性质及其应用

在三角形中,有如下一条常用的性质:图1如图1,P为△ABC内任一点,射线AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于点D、E、F,EF交AP于点G.则AP·DG AG·DP=AP·DG AD·PG=2.证明如图1所示,由面积关系可得AG PG=S△AEF S△PEF=S△AEF S△PAF·S△PAF S△PEF=EB PB·AC EC=S△EBC S△PBC·S△ABC S△EBC=S△ABC S△PBC=AD PD.于是AG·PD=AD·PG=(AP+PD)(AP-AG)=AP2+AP·PD-AP·AG-AG·PD=AP(AP+PD-AG)-AG·PD=AP·DG-AG·PD,即AP·DG=2·AG·PD.所以AP·DG AG·PD=2.同理AP·DG AD·PG=2.故AP·DG AG·PD=AP·DG AD·PG=2.注(1)此处的证明是联想到“A、G、P、D P交点为     

对一道"圆"题的探究和拓广

题目 已知圆O:x2+y2=1,直线l1过定点Q(3,0)且与圆O相切. (Ⅰ)求直线l1的方程; (Ⅱ)设圆O与x轴相交于A,B两点,P是圆O上异于A,B的任意一点,过点Q且与x轴垂直的直线为l2,若直线AP交直线l2于点M,直线BP交直线l2于点N,求证:以MN为直径的圆C经过定点,并求出定点坐标.     

高中"课程"与"大纲"中微积分课程比较研究及启示

1 中学开设微积分课程的必要性和可行性 随着教育改革的不断深化,课程改革问题摆到了教育理论界的面前.在我国中学是否开微积分初步一直是人们讨论的热点问题,在新一轮的课程改革当中,也再一次将微积分规定为选学内容.[第一段]     

三角形内点的一个性质及应用

命题设P为△ABC内任意一点,直线AP、BP、CP交BC、CA、AB于点D、E、F则(1)而PD/AD PE/BE PF/CF=1; (2)AP/AD BP/BE CP/CF =2．证明(1)如图1,分别过P、A作BC的     

借助辅助问题解题

1　 问题的提出引例　如图 1 ,甲、乙两船分别从 A、B点处出发 ,各船以匀速沿 AP—— 、BQ—— 方向进行直线航道行驶 ,求两船相距最近时 ,彼此之间的距离 .图 1　　　　图 2　　　　图 3分析　图 1中由于 A、B、P、Q是变化的 ,解题关键在于能不能想出一个更好着手解决的有关问题 ?考虑极端情况 (图 2中 ) ,当乙船在 B处抛锚 ,乙船速度为 0时 ,最短距离是BS.这种极端情况看似简单 ,但的确是个好念头 .只要考虑运动的相对性 ,给乙船加上一个运动 ,使乙船看作是停在 B处不动 ,这时甲船沿着图 3中 AP AP′=AP BQ′=AP- BQ =AT…     

应用向量共线性求解一类向量问题

<正>近年高考中,经常出现含有形如AP=xAB+yAC的一类向量等式.而将向量AP进一步转化,即设AP=tAD(其中B,C,D共线),是求解这类问题的有效办法.下面以高考试题进行举例说明,供大家参考.例1(2017年高考全国3卷理科第12题)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=     

圆的直径式方程

<正>若圆的直径的两个端点为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则此圆的方程可这样求:设圆上任一点为P(x,y),我们有AP⊥BP,即AP·BP=0.而AP=(x-x_1,y-y_1),BP=(x-x_2,y-y_2).∴圆方程为(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0,即x²+y2+y²-(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+(x_1x_2+y_1y_2)=0.     

"长作业"引发探究性学习的一个案例

在传统教学中,学生完成老师布置的作业,只需模仿课堂上学过的方法就能解决.这种布置作业的方式,对巩固基础知识、基本技能、基本方法所起的作用不可低估,但长此以往也会带来弊端:学生沉湎于题海,提出问题能力逐渐减弱,呈现的学习方式是被动地接受.为了改变这种状况,笔者坚持在周末布置长作业,下面是一个案例.在学完圆锥曲线后的一个周末,我布置了如下的长作业:1提供原问题(2004年全国高考天津卷压轴题最后一问)如图1,椭圆x62 y22=1的右准线l与x轴交于点A,右焦点为F,过点A的直线与椭圆相交于P,Q两点,作P关于x轴的对称点M,AP=λAQ(λ>1),…     

求几何最值几例

<正>几何图形中的最值问题,考查学生应用知识的灵活性.现举例加以说明,供参考.例1如图1,已知点P是半径为1的⊙A上一点,延长AP到C,使PC=AP,以AC为对角线作平行四边形ABCD.若AB=3^(1/2),则平行四边形ABCD面积的最大值为____.     

旧问新思考

<正>在初中数学教学中有这样一道经典的题目:[1]如图1,在正方形ABCD中,P是BC边上的任意一点,连接AP,过P作AP的垂线交正方形外角平分线CF于点E,求证:AP=EP.解决这个问题的方法中,大多数采用构造含AP和PE的两个三角形,证明它们全等的方法,得到AP=PE.和这个问题类似的还有这样一个问题:     

有关三角形外心的一个定理的再推广

文[1]对有关三角形外心的一个命题进行了推广,得到了 定理若P是△ABC的外接圆内的点,AP、BP、CP与外接圆交于D、E、F,O是外心,G是重心,使AP/PD BP/PE CP/PF=3成立的充要条件是P点落在以线段OG的中点为圆心,以1/2OG为半径的圆上.     

平面向量数量积问题解法剖析

<正>在三角形、四边形等平面几何图形中,给定一定关系,求两个向量的数量积在近几年高考中经常出现,本文通过两个高考题,总结解决此类问题的常用方法.例1(2012年湖南文数15)在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP     

解题"四部曲"——读、想、用、思

著名数学家玻利亚曾经对数学解题的步骤有这样的描述: (1)弄清这是一道什么样的题目; (2)制定解题计划; (3)实施计划,解决问题; (4)对题目进行反思.玻利亚解题观点是对"通法"的一个典型的、精辟的总结,几乎达到了"放之四海而皆准"的境界.在教学实践中,笔者把数学家抽象的解题理论阐释为解题四部曲--读、想、用、思.     

数学教学与现代信息技术的整合课例--动点间距离最小值的探索

课堂实录 :画面 :海洋、小岛、海岸线 .画外音 :这是一座美丽的小岛 ,岛上各种资源非常丰富 ,为了开发利用 ,在海岸线上需要建造码头 ,如果不考虑其它因素 ,为确保小岛与码头的距离最短 ,那么码头应选在何处 ?(画面 :从小岛指向码头缓慢划出一道航线 ) .(分组讨论 )生 1 :我们认为 ,这是平面上一点到给定曲线上一动点的距离的最小值问题 ,它一定存在 ,但还看不出点P的特征 (图 1 )生 2 :老师 ,我们能否先考虑海岸线是直线 ,若是直线 ,则当AP垂直直线a时 ,AP最短 (图 2 ) ;再考虑海岸线是圆弧 ,则当AP延长线过圆心O图 3时 ,AP最短 (图 3)…     

我国微积分教学改革方向的思考--兼论美国AP微积分计划给我们的启示

我国微积分教学在整个高等教育中有着十分重要的地位,经过多年的改革虽然取得了一些成绩,但如何进一步地改革值得思考.美国AP微积分计划在指导思想、课程目标和命题思路对微积分教学的进一步改革有很好的借鉴作用.     

"竞争式"数学教学方法

由于高等学校的扩招、中专学生就业的困难等 ,我校近年来的入学学生水平逐年下降 ,再加上不断的降分录取 ,学生之间的水平也是参差不齐、相差甚远 ,对教师的教学影响非常大 .如果仍采取过去的教学方法 ,容易形成“好学生”的课堂、“坏学生”的地狱 ,显然不可能达到数学教学的目的 .因此 ,为了适应这一变化 ,我们改变了过去的教学方法 ,试用了一种具有激励的“竞争式”的数学教学方法 .1　教学过程的准备1 1　教学内容的计划要能进行“竞争式”的教学 ,首先要计划好课堂讲解的内容 ,要有一个比较详细的教学步骤和过程 ;其次 ,应对要讲解的…     

三角形界心的一组性质

文［1」证明了sit设AD、AM、AP分别是bAfN的角平分线、中线和周界中线，则（1）IM／／AP，（2）J．G、I共线且JG＝ZGI．定同1三角形内心即为其中位三角形的界心．江阴设A尸为西川究周界中线，西人MN为中位三角形，J为bABC内心（如图），由引理知，U斤AP，延长LI交NM于L’，WIJ。。。。。＋。＝t。，。。。。bLMN的周界中线；连NI延长交LM于N，同理可证NN是bLMN的周界中线，即I是bLMN的界心．定理1可视为“三角形外心是中位三角形的垂心”的对偶定理．又由于“三角形垂心是它垂足三角形的内心”，于是有定理2设bADC…     

关于矩阵特征多项式的一个性质

大家都知道,如果两个矩阵A和B相似,那么它们有相同的特征多项式。 即:A,B为n阶矩阵,若存在n阶可逆矩阵P,使得P~(-1)AP=B。 那么它们的特征多项式f_A(λ)和f_B(λ)相同:对于等式P~(-1)AP=B进行变形     

一道高考试题的再推广

文[1]给出了2006年湖北省高考数学第20题的一个推广.命题1若A,B分别为椭圆xa22 by22=1(a>b>0)的左、右顶点,设P为右准线上不同于点(ac2,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M,N.则点B在以MN为直径的圆内.并由此还发现了椭圆一个和谐而优美的性质.命题2若A,B分别为椭圆xa22 by22=1(a>b>0)的左、右顶点.1)设P为右准线上不同于点(ac2,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M,N.则直线MN经过椭圆的右焦点F(c,0).2)设P为左准线上不同于点(-ac2,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的…