利用原函数关键点巧解函数与导数综合问题

<正>在高中数学中,利用关键点处的函数值常常能巧解函数与导数综合问题,常见的关键点有最值点和函数值较为特殊的点．利用关键点解题必须找到“关键点”,本文总结了两种方法:(1)最值点法:研究函数的单调性得到关键点,即最值点;(2)特殊点法:观察原函数解析式的特点猜想关键点．例如函数f(x)=e^x在x=0处有f(0)=1,函数f(x)=lnx在x=1处有f(1)=0等．例1 ^{2021年新高考·全国甲卷文科20题}设函数f(x)=a²x²+ax-3lnx+1,其中a>0.     

回归工具本性 优化导数学法

<正>导函数做为研究函数性质的有利工具,历来是高考的重点考查内容.下面结合常见函数的组合函数,利用图像与导函数,探索原函数的单调性与极值等性质,体会利用导数研究函数的基本方法.一、源于幂函数(1)含分式的函数例1 f(x)=x²-(1/x).性质探究(1)从宏观上看,定义域(-∞,0)∪(0,+∞),x→-∞时,y→+∞;x→+∞时,y→+∞;x→02-(1/x).性质探究(1)从宏观上看,定义域(-∞,0)∪(0,+∞),x→-∞时,y→+∞;x→+∞时,y→+∞;x→0^-(从0的左侧趋向     

一道调研试题解法的思考

(2011年1月襄阳市高中调研考试理科第21题)已知函数f(x)=px-p/x-2lnx.(1)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求     

一个值得商榷的问题

复合函数是中学数学教学中最常见的一种初等函数 ,对已知复合函数求原函数的定义域问题 ,在书刊中写法不一 ,给中学数学教学带来困惑 ,是一个值得商榷的问题 .1　问题提出若 f [φ(x) ]=g(x) ,那么习惯上称 f (x)为外层函数 (或原函数 ) ,φ(x)为内层函数 (或中间函数 ) ,而 f[     

一道导数“压轴题”的解法探究

<正>导数问题经常出现在压轴题,它在各种考试中的地位不可小觑.本文通过一道"压轴题"解法探究,浅谈一下导数之"不等式证明"的方法运用.题目已知函数f(x)=(x+1)lnx/x-1(x>0且x≠1),(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)证明:f(x)>2.一、结论探求初拿到本题,乍一看觉得不难,因为所考查的函数不含参数,避免了分类讨论的繁琐,可是又觉得不会这么简单,因为毕竟处于22     

关于抽象函数题的练评课

抽象函数题在高中数学教材中找不到单独章节 ,然而在近年各地模拟试题中却出现许多抽象函数问题 .笔者有意收集这些问题并分类介绍如下 ,供读者在高三练评课时选用 .1　求定义域求抽象函数的定义域要注意中间变量的值域等同性 ,如在 f(g1(x) ) ,f(g2 (x) )中 ,g1(x)与 g2 (x)的值域应相同 .1函数 f(1x2 )的定义域为 [1 ,2 ],则f (1 - x)的定义域是 .2已知函数 f(3 - 2 x)的定义域为[- 1 ,2 ],则 f (x)的定义域是 .3函数 f (x)的定义域为 [0 ,1 0 ],求函数f (x2 - x - 2 )的定义域 .　　简答　 1 [0 ,34 ];2 [- 1 ,5];3 [- 3 ,- 1 ]∪ [2 ,4]…     

求曲线切线方程的两个易错点解析

<正>一、求曲线在某点处的切线函数y=f(x)在定义域的子区间[a,b]上的每一点处都有导数,则曲线y=f(x)在定义域的子区间[a,b]上的每一点处都有切线.若函数y=f(x)在定义域的子区间[a,b]上的某点x_0处导数不存在,那么,曲线y=f(x)在该处切线是否存在?如果存在,该如何来求?下面举例来说明.     

导数问题中的错例剖析

导数给高中数学增添了新的活力,也是高考的热点内容.由于有些同学对导数的几何意义或本质理解不深,因而常常出现这样和那样的错误,现列举其中的几种供参考.例1判断函数f(x)=x-cosx在定义域区间(-∞, ∞)上的单调性.错解f′(x)=1 sinx,当x=2kπ 32π(k∈Z)时,f′(x)=0,不满足f′     

综合题新编选登

题 6 7　 已知函数 f(x) =x2 - 2tx + 1,其定义域为 {x| 0≤x≤ 1或 7≤x≤ 8} .1)f(x)在定义域内是否一定有反函数 ?2 )当 f(x)在定义域内有反函数 ,求t的范围 .3)在 2 )的条件下 ,求反函数 f- 1(x) .解　 1)取t =12 ,有 f(0 ) =f(1) =1.∴f(x)在其定义域内不一定有反函数 .2 )∵f(x)在x∈R时其对称轴为x =t.当t≤ 0时 ,f(x)在其定义域内为增函数 ,∴此时 f(x)有反函数 ;同理 ,当t≥ 8时 ,f(x)在其定义域内也有反函数 .图 1　题 6 7图当 1≤t≤ 4时 ,f(x)图象在x∈ [0 ,1]的一段比在x∈ [7,8]的一段更靠近对称轴 .那么要使 f(x)有反函数 ,…     

新题征展(27)

A　题组新编1 .( 1 )若函数 f ( x)的定义域为 [- 1 ,4 ],则 f ( x )的定义域为 ;( 2 )若函数 f ( x 1 )的定义域为[- 2 ,3) ,则 f ( 1x 2 )的定义域为 ;( 3)设 f ( 2 x - 1 ) =2 x - 1 ,则函数 f ( x)的定义域为 .2 .( 1 )已知 f ( x) =x2 2 x - 4,x∈[t,t 1 ],求 f ( x)的最小值 ;( 2 )已知 f( x) =( 4 - 3a) x2 - 2 x a,x∈ [0 ,1 ],求 f( x)的最小值 .(第 1～ 2题由陈廷茂供题 )3.( 1 )不等式 ( x - 3) x 3≥ 0的解集是 ;( 2 )不等式 | x2 - 9|≤ | x 3|的解集是;( 3)若 loga 16 x≤ loga 1( x2 9)对任意x∈ R恒成立 ,…     

反函数学习中应注意的几点

一、反函数的存在性在定义域上单调的函数一定有反函数,但在定义域上非单调函数未必没有反函数,或者说有反函数的原函数不一定是单调函数．如函数y=1/x(x≠0)有反函数,但其在定义域上不是单调函数．二、互为反函数的函数的图像交点情况     

一道习题的互动教学及反思

正已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对于任意的正实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y),又当x1时,f(x)0,f(4)=1,(1)求证f(1)=0;(2)求f(1/16);(3)解不等式f(x)+     

对三个指数方程求解的质疑

求解底数与指数均有未知数的方程是有较大难度的,笔者发现一些文献求解这类方程时仅限于猜出答案,也没有注意定义域问题,所以解答不严谨.本文将分析这样的三道题目.题1(见专著[1]第66页的第2题)(指数方程)试解方程:x(x2-1)=3.(提出人:广东大埔高陂方丁)解 设x=√y(x可为有理数或无理数),x2=y,故原方程变为(√y)y-1=3,即y(y-1)=3(3-)以,因此y=3,即x2=3,所以x=±√3.以√3或-√3代入原方程均符合,故本题的解答有两个,即x=√3及x=-√3.笔者先给出该题的完整解答:显然解x≠0.我们先看x＞0的情形.设f(x)=x(x2-1)(x＞0),得f′(x)=[e(x2-1)lnx]′=x(x2-1)(2xlnx-1/x)(x＞0)又设g(x)=2xlnx+x-1/x(x＞0),得g'(x)=2lnx+x-2+3(x＞0),gn(x)=2/x3(x+1)(x-1)(x＞0).     

一道调研试题解法的思考

（2011年1月襄阳市高中调研考试理科第21题）已知函数f（x）=px-p/x-2lnx． （1）若p=2,求曲线f（x）在点（1,f（1））处的切线方程; （2）若函数f（x）在其定义域内为增函数,求正数p的取值范围;     

关于复合函数的一个错误命题

文[1]称:若已知f[g(x)]的定义域为A,则f(x)的定义域就是函数g(x)(x∈A)的值域.错误!例1设函数f(x)=2x,函数g(x)=x2,则复合函数f[g(x)]=2x2.显然,复合函数f[g(x)]的定义域是R,函数g(x)(x∈R)的值域[0,+∞),但函数f(x)的定义域是R,而不是函数g(x)(x∈R)的值     

高中代数综合题例解

例1 当实数k取什么值时,函数f(x)=(kx 7/kx~2 4kx 3)-log_(1/3)((1/4)x~2-2~(1/2)-5k 3)的定义域是实数集R。分析:要使f(x)的定义域是R,只需kx~2 4kx 3≠0,且(1/4)x~2-2~(1/2)kx-5k 3>0对任意实数x成立。     

导数的“隐零点问题”

<正>导数题是高考的压轴题之一,本质上是用求导的方法来确定原函数的单调区间,进而解决函数的各种问题.通常的步骤是求原函数f(x)的导函数f′(x),接着令f′(x)=0解出f′(x)的零点,得到零点,单调区间就迎刃而解了.不过,有些函数的导数我们可以通过零点存在定理证明它确实有零点,但因为所求方程并非初等方程,无法算出其零点,即便继续求二次导也无济于事.我们将这种导数确实有零点却不能求出具体值的问题称为导数的"隐零点"问题.下面通过几道真题来介绍一些解决"隐零点"问题的方法.     

例谈应用导数证明不等式的解题策略

<正>函数与不等式结合的问题,通常应用导数对函数单调性进行判断,转化为函数最值问题,进而求解．下面结合一道函数不等式问题,谈谈应用导数证明不等式的解题策略．题目(2018年海淀期中文科20)已知函数f(x)=(x²-x)lnx．(Ⅰ)求证:1是函数f(x)的极值点;(Ⅱ)设g(x)是函数f(x)的导函数,求证:g(x)>-1．解析第(Ⅰ)问比较基础,证明留给读者自行完成．下文使用五种方法就第(Ⅱ)问的解答进行分析．     

无穷积分敛散性的一个新的判别法

华东师大1985年研究生入学试题中有一题[1]:设f(x)在[1,+∞)上连续,对任意 x∈[1,+∞)有f(x)>0,又 limx→+∞lnf(x)lnx=-λ,试证:若λ>1,则∫+∞1f(x)dx收敛.先对该试题作一推广成定理1,再推广成定理2,得到无穷积分敛散性的一个新的判别法.定理1　若f(x)在[1,+∞)上连续,对任意x∈[1,+∞)有f(x)>0,且 limx→+∞lnf(x)lnx=-λ,又(1) 若λ>1 (包括λ为+∞),则∫+∞1f(x)dx收敛;(2) 若λ<1,则∫+∞1f(x)dx发散;(3) 若λ=1,则∫+∞1f(x)dx可能收敛也可能发散.证(用比较判别法)　因 limx→+∞lnf(x)lnx=-λ,所以对 ε>0, X>1,当 x>X时有-λ-ε<…     

新题征展(55)

A　题组新编1 .函数 f ( x) =2 x - ax 的定义域为( 0 ,1 ]( a为实数 ) .( 1 )若 a =- 1时 ,求函数 y =f ( x)的值域 ;( 2 )若函数 y =f ( x)在定义域上是减函数 ,求 a的取值范围 ;( 3)若 a≥ 0时 ,判断函数 y =f ( x)的单调性并证明 ;( 4 )求函数 y =f ( x)在 x∈ ( 0 ,1 ]上的最大值及最小值 ,并求出函数 y =f ( x)取最值时 x的值 ;( 5)若 f ( x) >5在定义域上恒成立 ,求 a的取值范围 .2 .设 f ( x) =ax2 bx c( a >b>c) ,f ( 1 ) =0 ,g( x) =ax b.( 1 )求证 :函数 y =f ( x)与 y =g( x)的图像有两个不同的交点 ;( 2 )设 y =f ( x)…