一道高考试题的推广和应用

题如果棱台的两底面面积分别是S、S’，中截面的面积是S0，那么（）．此为1998年高考数学试题中的第（9）题．此题可作如下推广：推广1如果棱台的两底面积分别为S1、S2，一平行于底面的截面将棱台的高自上而下分成的高的比为λ，则截面面积满足推广2如果核台的两底面面积分别为S1、S2，一平行于店面的截面将棱台分成自上而下两部分体积的比为λ，则截面面积满足证明（1）如图1，设截面面积为S，截面到上底面距离为λh，到下底面距离为h，将台体补成锥体后，设锥顶P到上底面距离为x，由截锥体性质定理得当λ＝1时为中截面面积公式．（2）…     

对台体截面性质的再认识

有这样一个已被大家所了解的台体截面性质——如果台体 (棱台、圆台 )上、下底面积分别为 S上 、S下 ( S上 相似文献   

台体体积公式V=1／6h（S上＋4S中＋S下）的应用

台体体积公式 :V =16 h(S上 + 4S中 +S下) ,其中S上 为上底面的面积 ,S下 为图形的下底面的面积 ,S中 为图形平行于上、下底面且到上、下底面的距离相等的截面的面积 .这个公式有很多应用 ,它不仅可以用于计算我们熟悉的图形的体积 ,也可以用于计算一些条件特殊的立体图形的体积 .1　常见几何体中公式的应用1)棱 (圆 )柱 (已知底面积和高 ) :因为S上 =S中=S下 =S ,所以V =16 h(S上 + 4S中 +S下) =Sh .2 )棱 (圆 )锥 (已知底面积和高 ) :根据中截面和底面相似 ,且相似比为 1∶4 ,易知 :S上 =0 ,S中 =14S ,S下 =S ,代入V =16 h(S上 …     

关于圆锥体积的一个结论及应用

《数学通报》2 0 0 1年第 1期刊登了李正君、谭瑞红两老师的文章《公式 2Ｓ0 =Ｓ+ Ｓ′的推广与应用》 ,文中的定理 1主要是 :若台体的上、下底面的面积分别是Ｓ′,Ｓ ,则过它的高的ｎ等分点且平行于底面的截面的面积Ｓ1 ,Ｓ2 ,… ,Ｓｎ- 1 的算术平方根 ,分别为Ｓｋ=1ｎ ｋＳ+ (ｎ-ｋ) Ｓ′(ｋ =1 ,2 ,… ,ｎ- 1 ) .笔者阅后 ,很受启发 ,通过推导 ,得到如下定理 :定理　已知锥体的体积为Ｖ ,过它的高的ｎ等分点作平行于底面的截面将锥体分成 1个小锥体 ,ｎ- 1个台体 ,设它们的体积分别为Ｖｋ(ｋ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,则Ｖｋ =Ｖｎ3 ｋ3- (ｋ- 1 …     

公式2(S_0)1/2=S1/2 (S′)1/2的推广与应用

在高一《立体几何》中 ,关于台体 (棱台、圆台 )的中截面有这样的一个性质 :2Ｓ0 =Ｓ Ｓ′(《立体几何》Ｐ64 例 2及Ｐ80 习题十第 1 1题 ) .换句话说 ,台体 (棱台、圆台 )的上底面面积Ｓ′、中截面面积Ｓ0 、下底面面积Ｓ的算术平方根Ｓ′、Ｓ0 、Ｓ组成了一个等差数列 ,公差ｄ =12 Ｓ -Ｓ′ .是不是只有中截面与上、下底面的面积具有这种性质 ?其它截面与上、下底面的面积是否具有类似的性质 ?我们不仿看一下 .设台体 (棱台、圆台 )的上、下底面面积分别是Ｓ′、Ｓ ,台体 (棱台、圆台 )的高为ｎｈ ,设Ｓ1 、Ｓ2 …Ｓｎ- 1 分别是过台体 (…     

锥(台)体中平行于底面的截面性质

新教材(实验必修)对台体已不作要求,但是,一方面锥体是台体的一种特例,台体可由锥体截得,另一方面,教师所具备的知识与能力应远高于教材要求,所以下面所阐述的锥(台)体中平行于底面的截面性质,仍具有一定的应用价值.     

Simpson公式的联想

文 [1 ]、[2 ]所介绍的 Simpson公式是指如下的定理　夹在两平行平面之间的几何体 ,如果被平行于这两个平面的任何平面所截 ,截得的截面面积是截面距底平面高度的不超过三次的多项式函数 ,则此几何体的体积为V=h6( S上 +4 S中 +S下 ) , ( 1 )其中 h是几何体的高 ,S上 、S下 和 S中 分别表示几何体的上、下底面和中截面面积 .( 1 )式很容易利用平行截面面积为已知 ,立体体积的定积分方法得到 .设此立体的底面垂直于 x轴 ,下底面过坐标原点、立体的高为 h,平行于底面的截面面积 S( x)=ax3 +bx2 +cx+d,其中 a,b,c,d为常数 ,则此立体体积V=…     

用祖暅原理求椭球体积

文 [1 ]给出了证明球体积公式的又一参照体 ,读后很受启发 .笔者尝试构造椭球的两个参照体 ,分别利用祖日恒原理求椭球的体积 .预备知识1　若椭圆的长、短半轴长分别为a ,b ,则有 :S椭圆 =πab .下面利用面积射影公式S =S射影cosθ作简要证明 :图 1　圆柱如图 1 ,在底面半径为b的圆柱体中 ,作一倾斜角为arccos ba 的截面 ,那么 ,该截面是分别以a ,b为长、短半轴长的椭圆面 .它在圆柱底面上的射影恰好是底面 .由面积射影公式 ,可得 :S椭圆 =S底面cosθ=πb2ba=πab .2　从椭圆上任一点 (非短轴顶点 )引短轴的垂线段 .若垂足到中心的距离为l…     

双曲锥（台）体的体积推导

文 [1]推导了椭球体、抛物锥体的体积公式 ,作为对文 [1]的补充 ,也为同学们提供“研究性学习”的素材 ,本文推导双曲锥 (台 )体的体积 .1　双曲锥体的体积双曲锥体是指双曲线的一段 (其中一个端点为实顶点 )及其两端点向实轴所引垂线段绕实轴旋转一周所得几何体 .图 1如图 1,双曲锥体的底面圆心为D ,半径是R ,BAC是双曲锥体一个轴截面的曲边界 ,记BAC所在双曲线的实半轴长为a ,虚半轴长为b ,A是实顶点 ,OP ,OQ是相应渐近线 .作AE⊥OA并交OQ于E ,则OA =a ,AE =b .作EF⊥底面于F ,用平行于底面的平面截台体 ,与OD ,EF ,AC ,OQ…     

楔形体积公式

底面是矩形,顶部为平行底面的一条线段,四个侧面中两个是梯形,两个是三角形,这样的多面体好像木工用的楔,故称此种几何体为楔形.对于任一楔形,有如下命题:若楔形的底面矩形的边长分别为a,b,顶部棱长为l,顶棱到底面的距离为h,则楔形的体积为V=16hb(2a+l).图1楔形证如图1,在楔形EF—ABCD中,底面边长AB=a,AD=b,顶棱EF=l,顶棱到底面ABCD的距离为h,通过割补法易得棱柱PDA-FCB,棱柱PDA-EMN.因为V棱柱PDA-FCB=12S矩形ABCD·h=12abh;而VE-PDA=13VPDA-EMN=13·12SAMND·h=16bh·(l-a),所以V楔形EF-ABCD=VPDA-FCB+VE-P…     

公式2(√S0)=(√S)+(√S')的推广与应用

在高一<立体几何>中,关于台体(棱台、圆台)的中截面有这样的一个性质:2(√S0)=(√S)+(√S')(<立体几何>P64例2及P80习题十第11题).换句话说,台体(棱台、圆台)的上底面面积S'、中截面面积S0、下底面面积S的算术平方根(√S')、(√S0)、(√S)组成了一个等差数列,公差d=12((√S)-(√S')).     

2000年普通高等学校春季招生考试(北京、安徽卷)数学(理工农医类)

本试卷分第 卷 (选择题 )和第 卷 (非选择题 )两部分 .共 15 0分 .考试时间 12 0分钟 .第 卷 (选择题共 60分 )参考公式 :三角函数和差化积公式sinθ sinφ=2 sinθ φ2 cosθ-φ2sinθ-sinφ=2 cosθ φ2 sinθ-φ2cosθ cosφ=2 cosθ φ2 cosθ-φ2cosθ-cosφ=-2 sinθ φ2 sinθ-φ2正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 ( c′ c) l其中 c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长台体的体积公式V台体 =13 ( S′ S′S S) h其中 S′、S分别表示上、下底面积 ,h表示高一、选择题 :本大题共 14小题 ;第 ( 1)— ( 10 )题每小题…     

公式2(S_0)~1/=(S_上)~1/2 (S_下)~1/2的思考

设棱台的两底面积分别为Ｓ上,Ｓ下,棱台中截面面积为Ｓ０,则有２Ｓ０＝Ｓ上＋Ｓ下．此公式的结构使我们易于联想到解析几何的中点坐标公式．下面以三棱台为例探索问题的一般形式．为方便起见,这里约定棱台上、下底面,平行于底面的截面面积分别用Ｓ上,Ｓ下,Ｓ表示．...     

棱台截面的一个性质及其应用

《立体几何》教本中，’‘棱台”这一节里，有一道例题（P64例2）：设棱台的两底面积是S、S．它的中截面面积是S0，求证：本例所给出的结论．显然是有应用价值的．而其证明方法，更有参考意义．下面．笔者执破一般情形，推导平行于梭台底面的技面面和公式．按台的上、下底面面积分别为S。、ST，平行于店面的钱面将按台的高分成上、下两段之比为声：】，记S。为截面面积，求证：汪清1设花得此技台的原校锥的顶点到上庆面的距离为X，高被截面分成的上、下两段的长为p，，。，qm．则据棱雄的重要性质得由（1）、（2）有当P—q时，即得棱台…     

用一个公式来复习立体几何中的体积公式

在复习立体几何的时候,利用公式V=h/6(B_1++4B_2+B_3)(式中B_1表下底的面积;B_2表中截面的面积,即通过高的中点作截面截几何体所得的截面;h表立体的高;B_3表上底的面积)把多面体中的棱柱、棱錐、棱台体积公式和旋轉体中的圓柱、圓錐、圓台以及球体积公式概括起来,对同学掌握知識有很大的帮助,一方面能以动的观点培养同学的辯証唯物主义观点,邏輯推理、綜合、分析和概括問題的能力;另一方面加深同学对公式的理解等。     

特殊四面体的性质

三条棱两两互相垂直的四面体是一种特殊的几何体 ,它具有自己的一些独特性质 .本文介绍该特殊几何体中棱长与高的关系 ;侧面面积与底面面积的关系 ;侧面面积、底面面积以及侧面与底面的夹角之间的关系 ;棱与底面所成三个夹角之间的关系 ;给出该特殊几何体的外接球、内切球的半径公式 .四面体P ABC的三条棱PA ,PB ,PC两两互相垂直 .记PA =a ,PB =b ,PC =c.顶点P到平面ABC的距离为h .△PAB ,△PBC ,△PCA ,△ABC的面积分别为S1,S2 ,S3和S ,该特殊几何体具有如下性质 .性质 1　h- 2 =a- 2 +b- 2 +c- 2 .图 1　性质 1图证　如图 …     

锥体的两个性质及运用

我们知道锥体被平行于底面的平面所截,那么截面和底面的面积比等于截得的锥体的高和原锥体的高的平方比．这是一个很重要的性质,此外,以下两条锥体的性质也是很有用的．设锥体的高为ｈ,侧面积为Ｓ,体积为Ｖ;该锥体被平行于底面的平面所截,截得的锥图１体的高为ｈ′,侧面积为Ｓ′,体积为Ｖ′．这时有以下两个性质：（ｉ）Ｓ′Ｓ＝ｈ′２ｈ２;（ｉｉ）Ｖ′Ｖ＝ｈ′３ｈ３．下面就性质（ｉ）,当锥体为棱锥时简要证明：如图１,设棱锥Ｐ—ＡＢＣ的高为ｈ,侧面积为Ｓ,截面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥底面ＡＢＣ,截得的棱锥Ｐ—Ａ′Ｂ′Ｃ′的高…     

立体几何中距离问题的统一解法

本文将利用向量法给出求解异面直线间的距离、点面距离、线面距离、面面距离的统一公式d =|AB·n|n ,能起到化隐为显、化难为易之作用 .1　求异面直线间的距离图 1　证明公式用图如图 1,已知a ,b为两异面直线 ,CD为a ,b的公垂线段 ,A ,B分别为a ,b上的任意两点 ,n⊥a ,n⊥b,则n∥CD .又AB =AC +CD +DB ,∴AB·n =(AC +CD +DB)·n =AC·n +CD·n+DB·n =CD·n ,∴ |AB·n|=|CD|·|n|,∴ |CD|=|AB·n||n|,即异面直线a ,b间的距离d =|AB·n||n|,其中n与两异面直线都垂直 ,A ,B分别为两异面直线上任意点 .图 2　例 1图例 1　…     

应用均值不等式求圆锥体积的最大值

求满足一定条件时圆锥体积的最大值 ,通常可采用三角法处理 .能否采用均值不等式来求 ,是很多学生和教师很关心的问题 ,经过仔细深入地探讨 ,笔者发现圆锥全面积一定、或圆锥轴截面三角形周长一定、或圆锥侧面积一定时 ,圆锥体积的最大值可采用均值不等式求解 .例 1　已知圆锥的全面积为πa2 (a >0 ) .求圆锥体积的最大值 .解　设圆锥的高为h ,底面圆的半径为r ,体积为V ,则有πr2 +πrr2 +h2 =πa2 ,∴a2 =r2 +rr2 +h2=r2 +r r2 + 18h2 + 18h2 +… + 18h2≥r2 +r 99r2 188(h2 ) 8=r2 + 3· 1243r109h89=r2 + 1243r109h89+ 1243r109h89+124…     

斜截三棱柱的一个体积公式

用与底面不平行的平面去截三棱柱,截面与底面间的几何体,称之为斜截三棱柱.如图1的斜截三棱柱记作斜截三棱柱ＥＦＡＢＣＤ,并约定平面ＡＢＣＤ为底面,ＥＦ到底面ＡＢＣＤ的距离为高.引理　设三棱柱的一个侧面面积为Ｓ,与相对侧棱之间的距离为ｈ,则三棱柱的体积为Ｖ=12Ｓ·ｈ.该引理的证明见文[1],从略.定理　设斜截三棱柱ＥＦＡＢＣＤ中,ＥＦＡＢ=λ,ＤＣＡＢ=ｍ,底面ＡＢＣＤ的面积为Ｓ,ＥＦ与面ＡＢＣＤ的距离为ｈ(如图2),则斜截三棱柱的体积为Ｖ=图2　定理图ｍ λ 13(ｍ 1)Ｓ·ｈ.证　如图2,过Ｆ作面ＦＭＮ∥面ＡＤＥ,由引理知ＶＡＤＥＭ…