二次曲线垂直切线的研究

用解析几何与射影几何的方法讨论二次曲线垂直切线交点的轨迹,重新证明了:椭圆、双曲线垂直切线交点的轨迹是圆;抛物线垂直切线的交点在准线上,且切点的连线过焦点.     

一道习题的探究与拓展

先看一道高三训练题:如图1,过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A、B作圆的切线AC、BD,再过圆上任意一点H作圆的切线,交AC、BD于C、D两点,设AD、BC的交点为R,求动点R的轨迹E的方程.     

蒙日圆的标准方程及正逆应用

<正>画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日研究发现:与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆,我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.我们先来导出一般情形下"蒙日圆"的标准方程.蒙日圆的标准方程     

椭圆和双曲线同交点切线的一个性质及其应用

在解决椭圆和双曲线同一交点处切线斜率的有关问题时,课本与有关参考资料中,往往是先求出这两条曲线交点的坐标,然后再给出同一交点处这两条曲线的切线方程,由此得出每条切线的斜率来进行处理。然而许多问题就其本身来说,仅仅需要知道这两条曲线在同一交点处两条切线斜率的积就可迎刃而解,并不苛求每条切线的斜率,当然更无须求出每个交点的坐标。因此,能否较为简捷地解决这类问题的关键在于能否圆满地解决这两条曲线在同一交点处两条切线斜率的积。为此,笔者给出下面一个命题的证明     

二次曲线切点弦的一个优美性质

文[1]给出了二次曲线定点弦的一个优美性质，引起了笔者的注意，文[1]证明了过二次曲线定点弦端点的两切线交点轨迹为一定直线，那么过定直线上的点向二次曲线所引切线的切点弦所在直线是否也过定点呢？经证明，答案是肯定的。     

圆锥曲线准圆的一个性质及推广

准圆是圆锥曲线的两条互相垂直的切线交点的轨迹,由于是法国数学家Gaspard Monge首先发现的,所以又叫"蒙日圆".笔者研究发现,圆锥曲线的准圆有一个非常美妙的性质.     

圆锥曲线切线与过焦点直线夹定角的一个结论

过有心圆锥曲线的焦点的直线到动切线的角一定时,两条直线的交点的轨迹会是怎样的呢?这个轨迹与有心圆锥曲线有怎样的位置关系呢?本文探究以上问题,得到了一般结论.     

函数图像交点问题的几种类型

分析近年高考试题不难发现,函数图像交点问题是高考中的一大热点问题.一般地,此类问题可以分为:f(x)与直线的交点问题、f(x)与g(x)(非直线)的交点问题、曲线的切线条数问题和方程根的问题,本文中对这四种类型加以解析,希望对同学们有所帮助!     

一个数学命题的简证、拓展与应用

《数学通报》2012年10月号问题2087(本文称命题1)为:命题1椭圆的焦点在椭圆切线上的射影的轨迹是以椭圆中心为圆心且过长轴顶点的圆.问题提供者在2012年11期给出的解法思路是:先解方程组求出焦点在椭圆切线上的射影的坐标,再求出射影的轨迹方程,解答比较繁琐.本文抓住问题的本质,利用椭圆切线的性质从几何角度给出问题的简证,并将结论拓展到双曲线和抛物线,最     

过圆锥曲线上任意一点作切线的方法

笔者在研读贵刊2010号问题时,发现其作图方法虽然巧妙,但前提是要知道抛物线的对称轴和焦点.本文改进其方法,在仅知道其对称轴的情况下,得到过抛物线上任意一点作切线的方法,并予以证明.其原理是:先求出过抛物线上任意一点的切线与对称轴的交点,然后再作出这个交点.连接这两点,就作出了过抛物线上任意一点的切线.沿着这条思路,也找到了过椭圆和双曲线上任意一点作切线的方法,现和大家一起分享.     

从一道高三模拟题谈函数曲线与切线的交点个数

<正>初中平面几何中用交点个数定义圆的切线,但直线与曲线交点的个数不是切线的本质,不适用于一般曲线.我们熟知圆锥曲线的切线与曲线只有一个交点,但切线与曲线不一定只有一个交点,如函数y=x³-3x与切线y=2有两个交点,函数y=sinx与切线y=1有无数个交点.     

函数图像交点问题的几种类型

分析近年高考试题不难发现,函数图像交点问题是高考中的一大热点问题．一般地,此类问题可以分为：f（x）与直线的交点问题、f（x）与g（x）（非直线）的交点问题、曲线的切线条数问题和方程根的问题,本文中对这四种类型加以解析,希望对同学们有所帮助!     

作圆锥曲线的切线使平行于已知直线

近年来(数学通报)多次发表文章论圆锥曲线切线的几何作图法,但都是过已知点作其切线,本文拟谈一下如何作抛物线、椭圆及双曲线的切线使平行于已知直线的问题.先看以下定理.定理1　抛物线的焦点在其切线上的射影的轨迹是过抛物线的顶点而垂直于抛物线的对称轴的直线.(证略)定理2　椭圆的焦点在其切线上的射影的轨迹是以椭圆的长轴为直径的圆.(证略)定理3　双曲线的焦点在其切线上的射影的轨迹是以双曲线的实轴为直径的圆.(证略)由定理1、2、3可知,为了要作抛物线、椭圆及双曲线的切线,只要先确定一焦点F在所求切线上的射影N,然后过N作FN的…     

不求交点的技巧

《解析几何(平面)》课本P.116页,例3.“求证:椭圆x~2/25+y~2/9=1和双曲线x~2-15y~2=15在交点的切线互相垂直。”课本中通过解方程组求出椭圆与双曲线的交点坐标,然后再分别求出椭圆、双曲线在交点处的切线方程,进而由两切线斜率的乘积为-1,得到切线互相垂直的结论。思路自然,但解题过程却比较烦琐。其实本题有如下简捷的解法。证明:设两曲线交点为(x_o,y_o),则过交点的两曲线的切线方程分别为:     

二次曲线与其任意两条切线所围面积为定常值的问题研究

本文得到了二次曲线的任意两条相交切线与曲线本身围成的面积如果为定常值，则切线交点的轨迹仍为同类型二次曲线．又若给定两条同类的二次曲线，由其中一条上的每一点向另一条引出两条切线，则这两条切线与另一条曲线围成的面积为定常值．     

圆锥曲线阿基米德焦点三角形的一个性质

圆锥曲线弦的两个端点和在这两端点处的切线的交点所构成的三角形叫做阿基米德三角形,这条弦叫做阿基米德三角形的底,两切线的交点叫做阿基米德三角形的顶点.特别地,我们把底边过焦点的阿基米德三角形称之为阿基米德焦点三角形.笔者借用几何画板研究发现圆锥曲线阿基米德焦点三角     

椭圆、双曲线与相关圆生成的轨迹方程

笔者最近对椭圆、双曲线及其相关圆的切线和切点弦作了些研究,得到了一组新颖靓丽的轨迹方程,现论述如下,和读者共享.     

抛物线切线的一个性质

<正>性质已知抛物线C:y2=2px(p>0),斜率为k的动直线l与抛物线C交于不同两点M、N,过M、N做抛物线的切线,则切线交点的轨迹为一条平行于x轴的射线.(特别地:当直线斜率不存在时,轨迹为x轴的负半轴).证明设M(x1,y1),N(x2,y2),     

一道2005年全国高中数学联赛试题的根源探析

1问题的提出过抛物线y=x2上一点A(1,1)作抛物线的切线,分别交x轴于D,交y轴于B.点C在抛物线上,点E在线段AC上,满足EAEC=λ1;点F在线段BC上,满足FBCF=λ2,且λ1 λ2=1,线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时,求点P的轨迹方程.2问题的解决解抛物线在点A处的切线斜率为y′=2x|x=     

二次曲线切点弦的一个优美性质

文[1]给出了二次曲线定点弦的一个优美性质,引起了笔者的注意.文[1]证明了过二次曲线定点弦端点的两切线交点轨迹为一定直线,那么过定直线上的点向二次曲线所引切线的切点弦所在直线是否也过定点呢?经证明,答案是肯定的.定理1椭圆x2a2 2yb2=1(a>b>0),过直线mx ny=1上在椭圆外的