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题目(2008年重庆理科4)已知函数y=√(1-x)+√(x+3)的最大值为M,最小值为m,则m/M的值为A.1/48.1/2c.√2/2D.√3/2
分析此题属于容易题,常规方法是两边平方,然后用不等式或者二次函数的相关性质容易求得最大值M=2√2,最小值m=2,所以m/M=√2/2.
但是如果继续探讨此题,我们会发现两边平方并不是一种通解通法,比如把上题函数改为Y=√(1-x)+2√(x+3),那么两边平方就不能很好解决此函数的值域.所以本文就从向量的角度谈谈这类无理函数的值域的处理,期望得到一个统一的方法. 相似文献
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定义域是函数的一个基本要素 ,研究函数的有关问题时 ,如果忽略定义域 ,往往会导致解题失误 .因此 ,必须优先考虑函数的定义域 .下面结合数例加以说明 .1 求函数的值域 (最值 )例 1 已知 3x2 +2 y2 =9x ,求u =x2 +y2 的最大值 .错解 :∵ 3x2 +2 y2 =9x ,∴ y2 =12 (9x - 3x2 ) ,∴u =x2 +y2 =x2 +12 (9x - 3x2 )=- 12 x - 922 +818,所以当x =92 时 ,u有最大值为818.剖析 由制约条件 3x2 +2 y2 =9x知y2 =12 (9x - 3x2 )≥ 0 ,解得 0≤x≤ 3,即u =- 12 x - 922 +818的定义域为 [0 ,3],而x =92 [0 ,3],所以u不可能取得818,故上述解法有误 … 相似文献
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一个分式不等式的解题功效 总被引:1,自引:0,他引:1
本刊刊出了《构造不等式,巧解最值题》[1],该文介绍了分式不等式: 定理设x1,x2∈R,r1,r2,∈R+, 则x12/y1+x22/y2≥(x1+x2)2/(y1+y2) (当且仅当x1:y1=x2:y2时,等号成立) 本文将进一步介绍定理的解题功效. 相似文献
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例求曲线C:槡x+槡y=1上的点到原点的距离的最小值.分析一在使用基本不等式求最值时,凑定值是解题的重要一环.本题中虽然有定值"1",但与曲线上的点P(x,y)到原点的距离x2槡+y2所要求的定值无直接的关系.可以考虑用"中间量"x+y来联系槡x+槡y与x2+y2.解法一设点P(x,y)是曲线C上的任意一点,则1=(槡x+槡y)2=x+y+2槡xy,结合基本 相似文献
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不等约束条件下二元函数最值问题的解法 总被引:1,自引:0,他引:1
在高中新教材中多次出现不等约束条件下的二元函数最值问题 ,在多种学习资料和各类考试中 ,这类问题也屡见不鲜 .该类问题一般来说难度较大 ,解法灵活 ,是学习上的难点 .本文介绍几种常用的求解方法 ,供参考 .1 利用基本不等式基本不等式是求最值问题的重要工具 ,灵活运用基本不等式 ,能有效地解决一些不等约束条件下的二元函数最值问题 .例 1 已知x ,y∈R+,且满足xy≥x + y + 3,求u =x + y的最小值 .解 ∵xy≥x + y + 3,∴xy -x - y - 1≥ 4 ,(x - 1) (y - 1)≥ 4 .∴x + y =(x - 1) + (y - 1) + 2≥ 2 (x - 1) (y - 1) + 2≥ 6 .故当… 相似文献
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构造圆锥曲线求最值 总被引:1,自引:1,他引:0
本文举例谈谈如何构造圆锥曲线求一类无理函数的最大值和最小值问题.一、构造圆求最值例 1 已知x2 +y2 =169,求 24y-10x+38+ 24y+10x+338的最大值和最小值. 解:由x2 +y2 =169,把所求式子变形M = 24y-10x+169+25+144 + 24y+10x+169+25+144= 24y-10x+x2 +y2 +25+144 + 24y+10x+x2 +y2 +25+144= (x2 -10x+25)+(y2 +24y+144) + (x2 +10x+25)+(y2 +24y+144)= (x-5)2 +(y+12)2 + (x+5)3 +(y+12)2.设P(x,y),A(5, -12),B(-5, -12),则所求式子M为圆x2 +y2 =169上一点到两定点A、B的距离的之和,即M= |PA|+ |PB|,如图.又∵|… 相似文献
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一次数奥课上 ,我与同学们一道解方程组x1 +x2 x3=2 ,x2 +x1 x3=2 ,x3+x1 x2 =2 ,利用常规解法及整体代换x1 x2 x3=p两种解法 ,获解 (1,1,1)、(-2 ,-2 ,-2 ) .继而有一同学类比此题提出在R内解以下方程组x1 +x2 x3x4 =2 ,x2 +x1 x3x4 =2 ,x3+x1 x2 x4 =2 ,x4 +x1 x2 x3=2 ,我们利用整体代换x1 x2 x3x4 =p ,也求出了它的全部解 (1,1,1,1)、(3 ,-1,-1,-1)、(-1,3 ,-1,-1)、(-1,-1,3 ,-1)、(-1,-1,-1,3 ) ,共五组 .立即 ,又有同学提出在R内解类似方程组x1 +x2 x3x4 x5=2 ,x2 +x1 x3x4 x5=2 ,x3+x1 x2 x4 x5=2 ,x4 +x1 x2 x3x5=2 ,x5+x1 x2 x3x… 相似文献
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正2009年上海高考理科数学试卷14题:将函数y=4+6x-x2-2(x∈[0,6])的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0≤θ≤α),得到曲线C.若对于每一个旋转角θ,曲线C都是一个 相似文献
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问题已知x,y∈R,x~2+y~2-3xy=2,求x~2+y~2的最值.文[1]从多种角度出发,给出该题四种各具特色的不同解法,读来使人受益匪浅.经进一步探索发现,该题还有几种不错的解法,现作为文[1]的补充介绍如下,供参考. 相似文献
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关于一个不等式的初等证明及其推广 总被引:3,自引:1,他引:2
文[1]提出了一个对称不等式: 命题1 已知x,y∈R+,且x+y=1,则 2<(1/x-x)(1/y-y)≤9/4. (1) 文[2]用微分法证明了不等式(1)的三元推广: 命题2 已知x,y,z∈R+,且 x+y+z=1,则(1/x-x)(1/y-y)(1/z-z)≥(8/3)3.(2) 文[2]在文末问道:不等式(2)是否存在初等证明? 相似文献
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第20届伊朗数学竞赛中有如下一道三元不等式题:已知a,b,c为正实数,a2+b2+c2+abc=4,求证:a+b+c≤3.如果退化为二元情况,不妨令c=b,则题设条件变为a2+2b2+ab2=4(*),整理得a+b2=2,在此式中再分别令a=x+y/2,b=xy(1/2)或者a=2x+y/3,b=xy(1/2)等,并代入后进行整理,就得到下列几道最值题:问题1已知x, 相似文献