二面角教学:困惑、解惑与感悟

1 问题提出 二面角是空间几何中重要的知识之一,是提升学生空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力等最好的几何素材.由于二面角的抽象性、多变性等特点,教科书(人教课标版A)中采用分步编排,螺旋上升的思路,即在必修2中,让学生学习传统几何的做法以外,再在选修2-1模块中提供了用空间向量求二面角大小的方法.为此,在新课标下如何定位、把握二面角的教学,值得教师思考.     

浅谈向量法求二面角

求二面角是立体几何中的重点和难点,也是高考中的热点问题．用以往“从形到形”推理方法,即要求学生根据提设条件,找到二面角的平面角,再由线面、线线等关系计算出结果．但对许多学生来说,掌握这种“从形到形”的推理方法比较困难．若利用向量法求二面角操作起来简单易行,学生容易接受．下面介绍利用向量法求二面角的两种解法．     

缩放法在折迭问题上的应用

折迭问题是立体几何的重要知识点,它能反映学生的理解能力、空间想象能力和实际应用能力,对于这一看似容易的古老问题,学生做起来却感到十分棘手,用图形的缩放法可使折迭问题中求距离和求角的问题思路简单,计算快捷。     

空间向量“通”解立体几何中的“角”

用传统的综合推理法解立体几何问题时技巧性较强,一旦思路受阻就只能放弃．新课程增加的空间向量为解决这些问题提供了通用通法,其显著优点是减弱了推理论证的成份,用计算来代替论证,下面我们介绍用向量坐标运算解决立体几何中角的问题的通法．     

不用平面法向量求二面角的简单方法

立体几何较难的是求二面角的平面角,传统的综合法作二面角较难,空间向量的方法写起来繁,同时,求二面角的大小需要判断是锐二面角还是钝二面角,有时要依赖观察,但在复杂的立体图中,要准确判断有时是困难的．本文结合2013年高考题,给出一种不依赖于求两个半平面法向量的求二面角的方法,且计算量相对于求法向量来说也不大．     

常规的考题两难的选择——基底法求解立体几何高考题的尝试

一、常规的考题 立体几何高考,强调考查线线、线面、面面平行及垂直的判断与证明,注重表面积与体积、距离与角的计算,关注空间想象、推理论证、运算求解能力．分析2011年各地高考理科立体几何试题,可以用一句话来概括：以空间几何体为载体,证明三种平行、三种垂直,计算三种距离、三类角,这些题在解答题中的位置相对靠前,都可以称之为常规题,甚至可以看作是注重基础的形似题．     

利用模型学好立体几何

高考对立体几何考查的重点是空间想象能力、看图、画图、理解图的能力.在高考出现了很多与典型空间模型相关的,甚至很难的大型立体几何题时,考生做得并不顺利,感觉到     

巧构空间模型解题三例

高考中立体几何主要考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的计算,并考查画图、识图、用图的能力,一般综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．近几年高考试卷涉及动点和动直线的试题较多,此类试题比较抽象,难以捉摸,是考生难以突破的问题之一．本文尝试构建空间模型,以“静”制“动”来解决这类问题．     

立体几何解答题处理策略

本文下面介绍解答立体几何问题的几个切入点,虽然这些方法对于老师并不陌生,但对学生而言,能够较快地找到解题的入口,则对教学有借鉴.立体几何的解答题是高考的必考题型,这类问题以空间的线、面关系为载体,主要考查学生的空间想象能力、推理论证能力等.但学生在解答这类题时,往往有畏惧感,盲目探索,浅尝辄止,甚至感到无从下笔.因此有必要对这类问题的解题策略作一些探讨.     

理清二面角定义,用定义法求解二面角

立体几何中一类重要的问题就是角度大小问题,其中包括异面直线所成角、直线与平面所成角和二面角.引入向量之后使得求这些角变得相对容易很多,但是在二面角的求解过程中还是遇到了不少麻烦,法向量所成角不一定为所要求的二面角,可能会是其补角,那么怎么解决这个问题呢?遇到困难我们常常会回到定义,有名人说过暂时离开是为了更好地回来.     

由一道高考立体几何题想开去

立体几何主要研究空间的直线、平面和简单几何体及它们的几何性质、位置关系的判定、画法、度量计算以及相关的应用,以培养学生的空间想象能力和推理论证能力.立体几何是高考必考的内容,试题一般以"两小题一大题或一大题一小题"的形式出现,分值在17-23分左右.笔者选取2008年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科卷的第19题进行例述.     

谈空间想象能力的培养

空间想象能力是教学大纲中确定的三大基础能力之一,这种能力的培养应有一个渐进的过程.下面结合自己的心得体会,谈谈如何培养空间想象力.1形成阶段,借助直观立体几何入门阶段,教师运用教具助教,学生制作模型助学,可促使图形在学生头脑中“竖”起来.     

法向量求二面角大小的又一个简单判定方法

立体几何中的求二面角大小问题,是高考重点考查内容,法向量法是求二面角大小的一种主要方法.我们知道:二面角大小与其两个平面的法向量的夹角相等或互补.但到底是相等还是互补,教学中很多师生采用直观判断,参考资料涉及此问题也回避不谈.文[1]给出了一种很好的判定方法,本文给出     

高等解析几何视野下几类特殊平面法向量的求解技巧

一、问题提出在高中数学教学中,常常用向量法解决立体几何问题,比如用平面的法向量去求二面角的大小、线面角、空间距离,去证明线线关系、线面关系等.但是,大部分学生在计算法向量时常常算错,导致立体几何题严重失分.本文试图用高等解析几何中的平面方程及法向量知识来总结几类特殊的平面的法向量的求法,从而使学生少犯计算错误,大大提高计算的正确率.     

立体几何中简化问题的几个视角

在高中阶段，立体几何承担着学生空间想象能力培养的主要任务，研究立体图形的结构成为学生主要的学习要点和难点．几何的特点使得学生不仅要掌握各种几何问题的处理方法，往往还要进行大量的计算，使得解题过程困难重重，要简化问题，在立体几何中还要进行思维灵活性的训练，以使题目有效地向简单方面转化，这里谈几个视角。     

巧求平面的法向量

利用法向量解决立体几何问题是高考考查的一种重要方法,也是立体几何中求"夹角与距离"的一个通法,尤其是利用平面的法向量求二面角的大小,更是学生"最爱的选择",但是,求二面角的两个面的法向量是一个计算难点,也是一个易错点.下面介绍一种简便、易行的好方法给大家,请关注.     

例谈立体几何中不等式问题的证明方法

立体几何中的不等式问题具有很强的综合性,解决这类问题既要有较强的空间想象能力,又要有严密的逻辑思维能力,因此有一定的难度.下面我们介绍几种有关的解题方法.     

起点低 入口宽 有梯度——2012年福建高考数学文科第19题评析

试题:2012年福建高考文科数学第19题（本小题满分12分）如图1,在长方体ABCDA₁B₁C₁D₁中,AB=AD=1,AA₁=2,M为棱DD₁上的一点.（Ⅰ）求三棱锥A-MCC₁的体积;（Ⅱ）当A₁M+MC取得最小值时,求证:B₁M⊥平面MAC.一、试题评析