妙用“△”法,破解一道中考压轴解析几何题

在中学阶段,判别式“△”是用来判断一元二次力程根的存在情况的必备工具,“△”法是解决相关一元二次方程与二次函数问题的重要方法.此文,笔者妙用此法,破解一道中考压轴解析几何题. 题目: (2011年芜湖市中考压轴题.第24题)在平面直角坐标系中,(◇)ABOC如图1放置,点A,C的坐标分别为(0,3),(-1,0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°,得到(◇)A 'B'OC’. (1)若抛物线过点C,A,A’,求此抛物线的解析式. (2)求(◇)ABOC和(◇)A'B'OC’重叠部分△OC'D的周长.     

几种解法 多种思考

<正>下面是一道题的几种解法,供同学们学习时参考.题目如图1,抛物线y=ax³/2-x-2的2图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0).(1)求抛物线的解析式;(2)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标.解法一构造函数法     

求三角形面积最大值的方法举例

<正>二次函数是初中数学的重要内容,在中考数学压轴题中常常会出现二次函数的图像内接三角形面积最大值的问题,其求解方法常常有如下几类.问题如图1,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0).连结OA,将线段OA绕坐标原点O顺时针旋转120°,得到线段OB.(1)求点B的坐标;(2)求经过点A、O、B三点的抛物线的解析式;(3)如果点P是(2)中抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?     

重分析,求思路的自然呈现

<正>题目(2016年福州市质检第27题)如图1,抛物线y=a(x-2)2-1过的C(4,3),交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧).(1)求抛物线的解析式,并写出顶点M的坐标.(2)连接OC,CM,求tan∠OCM的值.(3)若点P在抛物线的对称轴上,连接BP,CP,BM,当∠CPB=∠PMB时,求点P的坐标.对于这道题,标准答案为:     

椭圆中心三角形面积最大值问题探究——以一道2021年联考题为例

<正>1题目呈现及解法分析题目(广东省2021届高三四校联考,21)已知离心率为12的椭圆■与抛物线C_2:y²=2px(p>0)有相同的焦点F,且抛物线经过点P(1,2),O是坐标原点.(1)求椭圆和抛物线的标准方程;(2)已知直线l:x=ty+m与抛物线交于A、B两点,与椭圆交于C、D两点,若△ABP的内切圆圆心始终在直线PF上,求△OCD面积的最大值.     

利用三角形重心性质巧解一道高考数学难题

<正>2019年浙江高考题如图1,已知点F(1,0)为抛物线y~2=2px(p>0)的焦点,过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S_1,S_2.(1)求p的值及抛物线的标准方程;(2)求S_1/S_2的最小值及此时点G的坐标.     

精想细算 轻松突破

<正>2017年北京高考理科第18题:已知抛物线C:y²=2px过点P(1,1),过点(0,1/2)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B,其中O为原点.(Ⅰ)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(Ⅱ)求证:A为线段BM的中点.     

平移直线解中考压轴题

有些中考压轴题看似很难,用平移直线法可轻松解出. 例1 (安徽)已知A(-4,0),B(0,4),现以A点为位似中心,相似比为9:4,将OB向右侧放大,B点的对应点为C (1)求C点坐标及直线BC的解析式; (2)一抛物线经过B,C两点,且顶点落在x轴正半轴上,求该抛物线的解析式并画出函数图象; (3)现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P,请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为3(2)的点P.     

浅析“动抛物线”问题的转化

<正>1问题提出(2018·北京)在平面直角坐标系x Oy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax²+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.     

活用坐标法巧求斜三角形面积的最大值——从一道中考压轴试题谈起

<正>考题(2013年兰州市第28题)如图1,在平面直角坐标系xOy中,A、B为x轴上两点,C、D为y轴上的两点,经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为"蛋线".已知点C的坐标为(0,-3/2),点M是抛物线C2:y=mx2-2mx-3m(m<0)的顶点.(1)求A、B两点的坐标;     

三角形鞋带定理的证明、改进及应用

<正>1问题的提出在平面直角坐标系内,若△ABC顶点的坐标分别为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),则△ABC的面积是多少?同学们通常采用的方法有以下几种:(1)充分利用坐标的特点,通过割补法求三角形的面积;(2)先计算线段AB的长度和点C到直线AB的距离d,从而S_(△ABC)=1/2·|AB|·d;     

平面直角坐标系中求三角形面积

<正>在学习函数及其图像时,图像上的点和平面直角坐标系中其它的一些点可构成一些三角形,而求这些三角形的面积是中考中常出现的题型.现在就举例剖析一下这些三角形面积的求法.大背景:已知二次函数y=x2-2x-3的图像(如图1),求(1)对称轴,(2)顶点D的坐标,(3)与y轴交点C的坐标,(4)与x轴的交点A、B的坐标.这是二次函数的基础知识,很容易求得:(1)对称轴x=1,(2)顶点坐标D(1,-4),(3)与y轴交点的坐标C(0,-3),(4)与x轴的交点的坐标A(-1,0)、B(3,0).一、巧用坐标轴解决面积问题1.以x轴上的线段为底图1问题1如图1,在背景问题的基础上求△ABC的面积.解∵点A、B都在x轴上,∴求△ABC的面积要以AB为底,S△ABC=12|AB|·|CO|=12×4×3=6.     

从一道高考极限问题谈起

问题1(2006福建卷16)如图1,连接△ABC各边中点得到一个新的△A1B1C1,又连接△A1B1C1各边中点得到一个新的△A2B2C2,如此继续下去,得到一系列三角形:△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2,…,这一系列的三角形趋向于一个点M,已知A(0,0),B(3,0),C(2,2),则点M的坐标是.对这一问题,如果我们将A,     

一道联赛题的妙解

2008年全国高中数学联赛一试第15题:如图1,P是抛物线y~2=2x上的动点,点B,C在y轴上,圆(x-1)~2+y~2=1内切于△PBC,求△PBC面积的最小值.命题组给出的方法是用点P的横坐标表示△PBC的面积S,然后求S的最小值,这种方法运算量太大,下面我们用算两次的思想来轻松解决这一问题.设点P的坐标是(x_0,y_0),△PBC的面积为S,PB,PC和圆分别切于D,E,则有     

对一道经典折叠压轴题的探析与建议

一、问题呈现题目平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC,O为坐标原点,A点坐标为(10,0),C点坐标为(0,8),D是线段AB上的一点,沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在OA边上的点E处(如图1),有一抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a≠0)经过O、C、D三点.(1)求线段AD的长及抛物线的解析式     

抛物线中三角形面积最大值的探讨

<正>先来看一道小题.如图1,已知直线l:y=2x+3交抛物线y=x²于A、B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△APB面积最大.这种题型是我们学习抛物线时经常遇到的问题,常规的解法是作PD//y轴,把△APB的面积看成△APD的面积、△DPB的面积之     

中考压轴题中的抛物线平移问题

近年来以抛物线的平移为压轴题的题虽不常见,但武汉市连续两年都有这种题.例1(2012年武汉)如图1,点A为抛物线C1:y=1/2x2-2的顶点,点B的坐标为(1,0),直线AB交抛物线C1于另一点C.(1)求点C的坐标;(2)如图1,平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D,交抛物线C1于点E,平行于y     

考点25 抛物线

1.(江苏卷,6)抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是().(A)1176(B)1165(C)78(D)02.(全国卷,6)已知双曲线xa22-y2=1(a>0)的一条准线与抛物线y2=-6x的准线重合,则该双曲线的离心率为().(A)23(B)23(C)26(D)2333.(重庆卷,16)连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是(填写所有正确选项的序号).1菱形2有3条边相等的四边形3梯形4平行四边形5有一组对角相等的四边形第4题图4.(广东卷,17)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图所示).()求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的…     

一道反比例函数试题的变式思考

<正>一、试题及解答试题(2016年宁夏)如图1,Rt△OAB的顶点O在坐标原点,点B在x轴上,∠ABO=90°,∠AOB=30°,OB=3^(1/2).反比例函数y=k/x(x>0)的图像经过OA的中点C,交AB于点D.(1)求反比例函数的关系式;(2)连接CD,求四边形CDBO的面积.解析(1)如图1,过点C作CM⊥OB,垂足为M.因为点C是OA的中点,∠ABO=90°,所     

2010年浙江卷文科压轴题的推广

题已知m是非零实数,抛物线C:y2=2pxx>0的焦点F在直线l:x-my-(m2)/(2)=0上. (Ⅰ)若m=2,求抛物线C的方程; (Ⅱ)设直线l与抛物线C相交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的准线的垂线,垂足为A1,B1,△AA1F,△BB1F的重心分别为G,H.求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.