等顶角、共顶角顶点的等腰三角形

<正>三角形是平面几何中的基本图形之一,等腰三角形又是特殊的三角形,如果两个等腰三角形顶角相等且共顶点,又能产生什么样的"火花"呢?问题一已知:C是线段AB所在平面内任意一点,分别以AC、BC为边,在AB同侧作等边三角形ACE,等边三角形BCD.如图1,当点C在线段AB上移动时,AD=BE是否总成立?证明你的结论.证明∵△ACE是等边三角形,∴AC=CE,∠ACE=60°.∵△BCD是等边三角形,∴BC=CD,∠BCD=60°.∴∠ACE=∠BCD.     

涉及周界中点三角形的两个有趣的性质

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分,人们则称这一点为三角形的周界中点,并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形. 本文在文[1]、[2]的基础上,进一步研究周界中点三角形并得到了两个有趣的性质. 引理 设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点,且BC=a,CA=b,AB=c,s=1/2(a+b+c),则 AE=BD     

正三角形综合练习(上)

<正>三条边长相等的三角形叫做等边三角形,也叫做正三角形.正三角形每个内角都等于60°.正三角形是特殊的等腰三角形,它有三条对称轴.它的内心、外心、重心、垂心是同一点,叫做正三角形的中心.正三角形的性质极为丰富,因此在几何练习题中经常出现.注意:等腰三角形中有一个内角为60°,这个三角形是正三角形.例1 P为正三角形ABC内任一点,则P点到正三角形三边距离的和等于定值     

一个几何“定值”结论在解题中的应用

“正三角形内任一点到三边的距离之和为定值”,这是一个为大家熟知的结论.它的证明不难且有多种方法.下面用面积法来证: 如图1,点P是边长为a 的正△ABC内任意一点,记P到BC、CA、AB 边的距离分别为h1,h2,h3,则h1 h2 h2=_.(三角形高为h). 证连结PA、PB、PC有 即,     

从厄尔多斯不等式的研究谈起

1 厄尔多斯不等式 1935年,保尔·厄尔多斯(Paul Erdos)提出了一个猜想[1]: P是△ABC的内部或边界上任一点,又PD、PE、PF分别是P到△ABC三边BC、AC和AB的距离,则PA+PB+PC≥2.(PD+PE+PF)①,当且仅当△ABC是等边三角形,而且P为△ABC中心时①的等号成立.     

正三角形的几个性质

如图1,P为正三角形ABC内任意一点,过P作三角形三边的垂线,垂足为D,E,F,则大家所熟悉的一个结论是:PD+PE+PF=定值.本文给出并证明它的另外几条性质.     

三角形的一个几何不等式链

几何不等式是当前初等数学研究的主要课题之一。本文给出三角形内部任一点至三顶点和三边的距离与三角形有关的几何元素之间的一个不等式链。定理设P为△ABC内部任一点,D,E,F,分别为P到BC,CA,AB各边所引垂线的垂足,记BC=a,CA=b,AB=c,△ABC的半周、面积与内切圆半径分别为s,△,r则     

欧拉线的一个性质

我们知道 ,在所有非等边三角形中 ,外心、重心、垂心在同一直线——欧拉线上 .本文给出欧拉线的一个性质 .图 1首先 ,设△ ABC为任一个不等边三角形 ,在直角坐标系中 ,将它的任意一边 (比如 AB边 )放置在 x轴上 ,AB边的中垂线与 y轴重合 ,如图 1 ,又设 AB边长为2 a,则有定理　△ ABC的欧拉线平行于 AB边的充要条件是第三个顶点C落在椭圆 x2a2 y23a2 =1上 (除去椭圆长、短轴两端的四个顶点 ) .证明　设△ ABC的 BC边中点为 M,外心为 U,重心为 S.则经过 U、S两点的直线为欧拉线 .如图 1 ,容易求得 M点坐标 ,从而求得U点、S点坐…     

对“到三角形各边距离相等的点”探究——一道课本例题的五个追问

<正>引例(课本例题)如图1,△ABC的角平分线BM、CN交于点P,求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,垂足分别为点D、E、F.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.追问1在三角形内部到三边距离相等的点有一个,在三角形外部有到三边(所在直线)距离相等的点吗?     

一道经典习题的其他结论

等边三角形是最特殊、最具有美感的三角形,具有很多特殊的性质,值得探究的地方很多,为各类练习、考试命题提供了丰富的素材.本文从一道经典的习题人手,探究两个有公共顶点的等边三角形的一些结论.如图1,C是线段AB上一点,以分别AC,BC为边在线段AB的同侧作等边△ACD,等边△BCE,连接AE,BD.     

再谈一个定值命题的推广

本刊文[1]证明了命题: 命题1 设P1、P2、P3分别是正△ABC三边AB、BC、CA上的点,且AP1=BP2=CP3,直线l为过正△ABC外接圆上任一点P的切线,则P1、P2、P3三点到直线l的距离之和为定值.     

三角形中线定理的一点应用

平行四边形两对角线(l_1和l_2)的平方和等于各边(邻边为a和b)的平方和,即l_1~2+l_2~2=2(a~2+b~2)。如果令m=l_1/2,c=l_2,代入上式,得m~2=1/2(a~2+b~2)-(1/4)c~2,这就是三角形的中线定理,这里a、b、c为三角形的三边,m为c边上中线。这个定理,不仅可以计算已知三边求它的中线的长,而且对于形如求a~2+b~2的一类问题的最小值颇为简便。例1 已知∠AOB=60°,边OA上有两点P和Q,设OP=a,OQ=b;在边OB上求一点M,使PM~2+OM~2最小,问M点的位置如何?     

四心垂足三角形外接圆半径的一条不等式链北大核心

定义点P为△ABC内一点,过点P分别作PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB,垂足分别为点D,E,F,连接DE,EF,FD,则称△DEF为△ABC的垂足三角形．在本文中,我们约定△ABc的三边分别为BC=a,CA=b,AB=c,外接圆,内切圆的半径分别为R,r,面积为S,R△表示三角形外接圆的半径．     

利用三角形三边关系定理证明线段不等

三角形任意两边的和大于第三边是三角形三边关系定理,也是三角形的一条重要性质,在证明线段不等中起着关键作用.例1如图1,已知AC,BD分别是四边形ABCD的对角线,求证:AB+BC+CD+DA>AC+BD.分析:要证结论,可以根据三角形三边关系定理,证出几个适当的线段不等的式子,然后将它们相加,整理得出所要的不等式.证明:由三角形三边关系定理,得AB+BC>AC,①AD+DC>AC,②AB+AD>BD,③BC+CD>BD,④①+②+③+④得2(AB+BC+CD+DA)>2(AC+BD).即AB+BC+CD+DA>AC+BD.例2已知:如图2,D,E是△ABC内的两点,求证:AB+AC>BD+DE+EC.分析:因为…     

圆内接正三角形的一个结论的推广

问题　如图 1,等边△ ABC内接于⊙ O,劣弧 BC上取一点 P,连结 PA、BP、PC,求证 :PB +PC =PA.1　问题的证明(1)如图 2 ,将△ BCP绕点 B逆时针旋转6 0°,使点 C和点 A重合 ,点 P落在 AP上点 D处 ,则 AD =PC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.图 1　　　图 2　　　图 3　　　图 4(2 )如图 3,将△ ABP绕点 B顺时针旋转6 0°,使点 A和点 C重合 ,点 P落在 CP的延长线上点 D处 ,则 PA =DC,又易证△ BDP是等边三角形 ,故 BP =PD,从而 PB +PC =PA.(3)如图 4 ,过点 A作 AE⊥ PC于点 E,再将 Rt△ …     

三角形中的一个共点性质

本文给出三角形中的一个共点性质,并兼证三角形重心的一个向量性质与三角形内心的一个向量性质． 性质 点M是△ABC内一点,直线BM交边AC于点E,直线CM交边AB于点F,过点M的直线分别交AB、AC于点P、Q,AF^→=mAB,AE^→=nAC^→,AP^→=xAB^→,AQ^→=yAC^→,则1-m/my＋1-n/nx=1-mn/mn.     

利用三角形三边关系巧求最值

<正>基本事实三角形的三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.如图1所示,|a-b|≤c≤a+b,当A、B、C三点共线时,c最小值=|a-b|,c最大值=a+b.利用三角形的三边关系可以巧解几何最值问题.一、求最小值例1如图2,⊙O表示一个圆形水池,某人不慎落入水池中的P处(P与O不重合),问此人应以什么方向才能最短时间游到岸边?     

一道定值问题的拓广

定理:正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。这是同学们早就熟知的,本文先将它在平几中作一系列的推广,再引伸到立几中去。 1.若任意点P在三角形外。如图1,连结PA、PB、PC,则正三角形的面积为;S=S_(△PAC) S_(△ABP-)S_(△PBC) =1/2a(PE PF-PD)。而S=1/2a·h, 故有 PE PF-PD=h_h为定值。     

相似三角形及其应用(中)

<正>例9(1988全国初中数学联赛第二试试题三)如图13,△PQR和△P′Q′R′是两个全等的等边三角形.六边形ABCDEF的边长分别记为:AB=a_1,BC=b_1;CD=a_2,DE=b_2;EF=a_3,FA=b_3.求证:a_1²+a_22+a_2²+a_32+a_3²=b_12=b_1²+b_22+b_2²+b_32+b_3².证明由等边三角形每个内角都为60°及对顶角相等,我们不难发现:△PAB∽△Q′CB∽△QCD∽△R′ED∽△REF∽△P′AF.     

椭圆内接四边形的一个性质及其推广

本文给出椭圆内接四边形的一个定值性质 ,并将性质推广到椭圆内接n边形 .一、定理及其推论定理 1 :自椭圆上任意一点到其内接四边形两双对边距离之积的比为定值 .图 1证明 :如图 1设Ai(acosai,bsinai) (i=1 ,2 ,3 ,4)为椭圆内接四边形的四个顶点 ,P(acosθ,bsinθ)为椭圆上任意一点 ,不妨设上述五点中任意两点的连线均与x轴不垂直 ,则 :KA1 A2 =bsina1 -bsina2acosa1 -acosa2=-bcosa1 +a22asina1 +a22所以 ,直线A1 A2 方程为 :y -bsina1 =-bcosa1 +a22asina1 +a22(x-acosa1 )因此 :xbcos a1 +a22 +yasin a1 +a22-abcosa1 -a22 =0又设P到…