两圆相切的一个有趣性质

性质 如图1，若圆O1与圆O2外切于点G．四边形ABCD内接于圆O1，AD、BC分别与圆O2切于点E、F．     

圆内接四边形的两个性质

文[1]给出了圆内接四边形的一个性质:设ABCD为圆内接四边形,连对角线AC和BD,设△ABC的内心为E,△BCD的内心为F,△CDA的内心为H,则四边形EFGH是一个矩形.本文给出它的另外两个性质:     

S_(ABCD)=(abcd-(pk-ad)~2)～(1/2)——圆外切四边形面积公式

著名的布拉麦高塔(Brahmaguta)定理已给出圆内接四边形面积公式,书中可常见,而圆外切四边形面积公式却鲜为人知.问边长为a,b,c,d的圆外切四边形的面积S是多少?答曰:S≤abcd.这是因为仅知边长为a,b,c,d的圆外切四边形,其形状无法确定(或者说它可以外切于无数个半径相异的圆),所以,其面积无法确定———有无穷多个值,其中有一个最大值为abcd.然而,边长一定的圆内接四边形却又有确定的面积值.这是因为它不仅边长一定,并且还隐含着一个制约条件:“圆内接四边形的对角和等于180°”.从而固定了四边形的形状,所以,面积唯一.同理,给边长一定的圆…     

圆内接五边形的一个性质

我们知道,圆内接四边形有一个性质即:两条对角线的乘积等于该四边形两对对边乘积的和(托勒迷定理).近日笔者对圆内接五边形进行了类比研究,得到了圆内接五边形的一个优美性质,现归纳出来以飨读者.     

圆内接四边形的一条性质及应用

圆内接四边形有如下一条有趣的结论，我们作为其性质，介绍如下：     

对一道几何题解题方法的研究

一、问题的提出 如图1,设四边形ABCD是圆内接四边形,I和J分别是△ABD和△BCD的内心,证明:四边形ABCD为外切四边形,当且仅当A,I,J和C共线或者共圆. 二、问题的分析 1.四边形ABCD既是圆内接四边形,又是外切四边形,即四边形ABCD是双心四边形,可以考虑利用双心四边形的一些性质.     

一个四边形定理在三维空间的推广

美国数学家R．A．约翰逊在其名著[1]中，介绍了圆内接四边形的一个美妙性质，即     

对边等比的圆内接四边形的两个性质简证

《中学生数学》(初中)2011年第4期吴远宏先生的"对边等比的圆内接四边形的若干性质"一文,介绍了对边等比的圆内接四边形的几个耐人寻味的有趣性质,其中性质1、2的证明分别运用了互补两角的正弦相等及余弦定理,明显地超出了初中生现有知识水平.笔者经思考、探究,得到了易为初中生理解、接受的简洁证法,现介绍如下,供参考.     

对一道竞赛题的探究

第31届美国大学生数学竞赛B卷第6题是一道很有趣的题目,本文用命题的形式表述如下: 命题1 边长依次为a,b,c,d的圆外切四边形的面积S=√abcd,则它可内接于某圆.     

对边等比的圆内接四边形的若干性质

两组对边的比值相等的圆内接四边形,有一系列有趣的结论,本文介绍其中一、二,以飨读者.性质1如图1,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,且ABCD=ADBC,     

也谈几个有趣的三角不等式

文[1]介绍了三角形中几个有趣的三角不等式．笔者发现，在圆内接四边形中也有如下类似结论．     

配极四边形面积研究

<正>配极四边形定义四边形ABCD内接于圆,以该四边形的顶点为切点,作外接圆的四条切线,四条切线构成的封闭图形为圆外切四边形EFGH,此圆外切四边形与原内接四边形互为配极四边形.定理1内外配极四边形面积的关系式为     

两圆相切的一个有趣性质

<正>性质如图1,若圆O1与圆O2外切于点G.四边形ABCD内接于圆O1,AD、BC分别与圆O2切于点E、F.∠DCF的平分线CK交EF于点K,∠CDE的平分线DL交EF于点L,则(1)点L、K分别是△ADC、△BDC的旁心;(2)AL、BK的交点T在圆O1上,并且L、K、G、T四点共圆;(3)L、K、D、C四点共圆,并且AL、BK的交点T是四边形LKDC的外接圆的圆心.     

圆的有关性质

中考要求 1.理解圆及其有关概念,了解弧、弦及圆心角之间的关系,探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系. 2.探索圆的性质,了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征. 考点1 轴对称(垂径定理及推论) 考点2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 考点3圆周角的定理及推论 考点4圆内接四边形的性质     

外切于圆的凸四边形的两条性质及推论

外切于圆的凸四边形有如下的两个结论,我们以定理的形式介绍. 定理1 外切于圆的凸四边形中,若一双对边的延长线相交,则另一双对边中的一条边的一端点处的内角平分线与另一端点的切点弦直线相交,所得两交点的连线平行于这一条边.     

基于深度学习理念的初中数学教学设计课例研究——以“圆的内接四边形的判定”为例

为了让学生形成主动、积极的深度学习,笔者通过“圆的内接四边形的判定”新授课教学设计的分析,提出指向深度学习的教学设计的三个立足点：基于单元整体理解及设计、基于数学内容的变式和整合、基于学生对问题的多角度体验.     

婆氏定理与四边形的九点圆

印度数学家婆罗摩及多(Brahmegpta,598 年～660年)发现了下面的著名定理[1]: 婆氏定理　设圆内接四边形ABCD的对角 线互相垂直相交于E,则过点E平分一边BC的 直线必垂直于对边AD.反之,过点E垂直于一 边AD的直线必平分对边BC. 本文将对角线互相垂直的圆内接四边形简 称为“婆氏四边形”. 下面的著名定理提出了四边形的九点圆概 念[2]: 库得奇———大上定理　以圆内接四边形任 意三个顶点作三角形,则这四个三角形的九点 圆心共圆. 上述定理中的四个圆心所在的圆被称为四 边形的九点圆.它的半径等于四边形外接圆半 径的一…     

牛顿定理的两种新证法

<正>牛顿定理[1]圆外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形的对角线的交点重合.此定理是说,若凸四边形ABDF外切于圆,AB,BD,DF,FA边上的切点分别为P、Q、R、S.则四条直线AD、BF、PR、QS交于形内一点.文献[1]给出了8种证法.经笔者探究,给出如下两种新的证法,供鉴析.     

正n边形中四边形计数问题

文[1]探究了正n边形中三角形计数问题，受其启发笔者探究了正n边形中四边形计数问题． 引理1圆内接四边形为平行四边形（矩形），当且仅当该四边形的两条对角线为该外接圆的两条直径．     

从三角形的垂心谈起--向量方法的一个应用

本文将三角形的垂心概念推广到圆内接四边形和圆内接五边形当中去 ,并且同时给出关于垂心的一条重要性质 .本文主要应用向量方法 .首先给出两条简易的引理 ,本文不加证明 .引理 1　设M是线段AB的中点 ,O为任意一点 ,则有OM =12 (OA+ OB) .引理 2　设G是△ABC的重心 ,O为任意一点 (在或不在△ABC所决定的平面上 ) ,则有OG=13(OA+ OB+ OC) .现在从三角形的垂心谈起 .图 1设O是△ABC的外心 ,OP⊥BC ,P是BC的中点 ,AQ是BC边上的高 (图 1 ) .在高AQ所在直线上取一点H ,使AH =2 OP ,则有OH =OA +AH=OA + 2OP=OA+ OB+ OC…