具有二次代数极限环线的方程——(dy)/(dx)=(a_(10)x+a_(01)y+a_(30)x~3+a_(31)x~2y+a_(12)xy~2+a_(03)y~3)/(b_(10)x+a_(01)y+b_(30)x~3+b_(31)x~2y+b_(12)xy~2+b_(03)y~3)

自从秦元勋始出了二次代数方程,具有二次代数极限环线一文后,作者考虑了(E)_3这个三次方程,具有二次代数极限环线的情形。本文中首先给出了此方程在全平面上奇点的分布,进而解决了只有一个奇点时,二次代数极限环线存在的充分及必要条件,周期解的唯一性(在较特殊的情形下)及其稳定性。 (作者对秦元勋老师热情的鼓励和帮助,表示衷心感谢。)     

关于不定方程5x(x+1)(x+2)(x+3)=9y(y+1)(y+2)(y+3)

运用pell方程、递归序列、二次平方剩余的方法,并使用数学软件Mathematica的计算,求出了丢番图方程5x(x+1)(x+2)(x+3)=9y(y+1)(y+2)(y+3)的所有20组整数解,其中只有一组正整数解为(x,y)=(6,5).     

例析y＜kx+b在平面区域中的应用

人教社高中数学试验修订本"7.4简单的线性规划"一节中介绍应用二元一次不等式表示平面区域的判断方法是这样介绍的:一般地,二元一次不等式Ax By C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax By C=0某一侧所有点组成的平面区域.     

方程(()=-y+σx+mxy-y~2 ()=x(1+ax))的极限环集中分布问题

的极限环集中分布问题,我在“二次系统Ⅱ类方程极限环的分布”(本刊,1983年第4期)一文中得到的结果实际上已经解决了这一问题,由于当时判断有误,没有发现这一点,认为“还不能把[4]中得到的两个区间连接起来”。 将文中(7)式的(i)应用于(8′),得     

活的“ax~2+bx+c”—“双基”教学点滴

ax~2+bx+c是一个x的二次三项式(a、b、c为常数,且a≠0)。若ax~2+bx+c=0(a≠0)则表示一个x的二次方程。本人在数学复习的教学实践中,把二次三项式、二次方程的一些常用结论与因式分解,不等式的证明,解三角问题以及处理一些解几问题结合起来,引导学生学活ax~2+bx+c,启发学生注重“双基”训练,收到了较好的效果。一因式分解对于含几个字母的多项式的因式分解,往往需要通过恰当的分组。而如何分得恰当又无一般规律,因而学生较难把握。我选了以下三个例题     

二次矩阵方程AX~2+BX+C=0的可对角化解

给出了二次矩阵方程AX2+BX+C=0的特征值和特征子空间的定义,然后运用其特征子空间的维数或特征向量刻画了该二次矩阵方程存在可对角化解的充要条件.     

关于丟番图方程x(x+1)(x+2)(x+3)=27y(y+1)(y+2)(y+3)

先后运用了pell方程、勒让德符号,同余关系,递归序列、二次平方剩余,分类讨论的有关方法,并通过使用数学软件Mathematica进行计算,证明了以下结论:不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=27y(y+1)(y+2)(y+3)没有正整数解,并找出了该方程的全部16组整数解.     

关于 x~2+y~2=n 的有理解

文〔l]中求出厂二儿二次不定方程 厂+丫二1和丫十犷二2的全部有理解,同时还证明厂不定方程 丫+丫=3没有有理解,本文将这个有趣的问题推广到一般的二元一几次不定方程 丫+犷“n(r,为自然数)(l)求出它的有理解的表达式,并指出对于怎样的自然数,l’方程(l)有有理解。 定理1若不定方程川有整数解,则它有无穷多组有理解。当方程(l)的组整数解为x二a,g=b时,它的全部有理解可表为 m:’tZ一2脚b一ab一Zma一m,bX一一,.一,,U一—、‘) l十”未一~1十”之其中。为有理数。 证明方程(l)在直角坐标系中表示圆心在坐标原点,‘卜径为训丁的圆。山于 y一b…     

(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+e型多项式的因式分解

<正>四次多项式(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)+e型的因式分解是因式分解问题中一类重要情形,对于比较一般的常数a,b,c,d,e情形,也并没有什么通用的办法,但当a,b,c,d依次间隔相同的值时,对某些相应特定的常数e(从因式分解的角度来说,e≠0,否则题目本身就已满足要求,无需再做变化),还是有一般性的处理思路的,具体办法是:先将前面四项相乘部分局部展开,展开手法是两两相乘,即将最     

一元三次方程x~3+px+q=0的一个解法

对于一元三次方程x~3+px+q=0,(q(?)0)的求解,只引入一个参数y,令x=y-q~(1/3)+-y~(1/3)代入方程消掉常数项q,利用因式分解就可达到降次求解的目的。这种解法是从待定方法的角度来考虑的。令x=k+l,代入x~3+px+q=0,得 (1) k~3+l~3+3kl(k+l)+p(k+1)+q=0应当注意到k、l是可以按需要加以适当选取的。如果存在关于k、l的这样一对选择,使在(1)中的入k~3+l~3+q为零,那么,(1) 最终可以通过提取公因式k+l的方法而降次求解。可以看出,满足这种要求的k、l的选择有很多种,但为了方便,我们在这里只选择这样的一对k、l,使其满足     

CreditRisk+模型下商业银行经济资本配置研究

对金融资产风险的度量与经济资本的分配应该体现分散化效应,传统的V aR方式不能保证分散化效应的次可加性.本文讨论了基于T a ilV aR这一新的风险度量与经济资本分配标准,并在违约率均值不变情况下,对C red itR isk+模型下的商业银行经济资本分配进行了实证分析.     

y=A sin(ωx+φ)+k——研究三角函数性质的法宝

三角函数是高中数学的重点内容之一,高中学生在分析三角函数问题时,往往因对三角变换的目标不明确、找不到解题方向而丢分.实际上,三角变换包括三个方面:①变换角,即化异角为同角;②变换函数名,也就是化异名函数为同名函数;③变换结构,主要是将高次式降幂为一次式,将低次式升幂为一次式.即将目标三角函数化为y=A sin(ωx+φ)+k的形式.     

系数用偶阶导数表示的(2n+1)次样条函数

本文论述(2n+1)次样条函数的一种构造方法。此法规律简单,计算方便。每当次数增高两次时,只需在原来的样条函数上增加两项就能得到,并且由这种样条本身的性质得到了一个简单的判断曲线凹凸性的充分条件。     

2+1维Ginzburg-Landau方程的精确波解

分析研究了一个具有三次增益效应和五次耗散项的2+1维Ginzburg-Landau方程.利用同解变型法并结合一个高阶辅助方程的解,成功地取得了该方程的一些新的精确行波解.     

三项式xn-bx+a的二次不可约因式

本文研究了三项式f(x)=xn-bx a的二次不可约因式,利用Lucas数本原素因数的存在性的结果,对于n≥max(30,(|b| 1)/2)的情况,得到了所有含有首项系数等于1的二次整系数不可约因式的f(x).     

tgA+tgB+tgC=tgAtgAtgC又一证法

本刊八五年第十期发表的《一常见三角公式的另一证法》,构思新颖,读后深受启发,本文再提供一种新的证法。题:△ASC中,有tgA十tgb+tgC==tgAtgBtgC。证;作△ABC的外接圆。     

方程 arcsinx+arccosy=π的曲线

一次习题课上我出了这样一道选择题让同学们做: 方程arcsinx+arccosy=π所代表的曲线是下面四个图形中的( ) 显然上述四个结论中正确的结论有且只有一个。然而令人吃惊的是,同学们的答案中,四个结论竟无一不被选中。为查明错因所在,我分别抽出选中(A)、(B)、(C)、(D)的各一人,让他们将自己的判断过程写在黑板上。学生甲:将方程arcsimx+arccosy=π两边取正弦得xy+1-x~2(1/2)·1-y~2(1/2)=0,移项得1-x~2(1/2)·1-y~2(1/2)=-xy (1)平方化简:x~2+y~2=1 (2) 由(2)知原方程所代表的曲线为 (A) 学生乙:将方程arcsinx+arccosy=π     

一类平面n+2次系统的定性分析

本文对一类具有实际意义的平面ｎ＋２次系统进行定性分析,得到了其极限环存在性、唯一性的较完整的大范围分析结果。     

动态二次图数y=ax2+bx+c顶点运动规律

在研究二次函数y=ax2+bx+c图象时,我们往往强调二次项系数a确定抛物线的开口大小和方向,-b/2a的值确定抛物线的对称轴x=-b/2a的位置,常数项c确定抛物线与y轴的交点(0,c)的位置,而抛物线的顶点(-b/2a,4ac-b2/4a)位置由a,b,c共同确定.     

从1/2+1/3=2/5引发的思考

我国的一位学者有一次到国外去考察,听了一堂洋教师的分数加法课.在课堂上,老师首先提问学生21 13等于多少?不一会儿,许多学生纷纷站起来回答:12 31=25.然后,老师又问其余的学生,你们有不同意见吗?其余学生都说没有.这时老师便说:“那好!就让21 13等于52吧!这就是分数的加法,…