统计学入门(Ⅲ)

五、随机变量及其分布5-1随机变量 在实际中我们经常会遇到一些变量,它们在每次观测(或试验)中的取值是随着某些随机因素而变化的。例如在自动车床上加工的一些零件,每个零件的实际尺寸是不同的。因为它受到许多因素(例如材料的不均匀性,机床的振动,气温及电压的变化以及操作方     

统计学入门(Ⅶ)

十二、参数的点估计 在许多实际问题中,对总体的分布类型有所了解,例如根据过去的经验知道产品的某种性能服从正态分布.此时我们需要知道的是对于特定的一批产品,这个性能达到什么样的水平?这就需要对该正态分布的两个。参数:均值μ及方差σ2中的一个或两个进行估计.根据样本数值对总体的未知参数进行估计的问题称为参数估计,这是统计推断中的第一大类问题. 有两种参数估计的方法.第一种方法是通过样本计算一个统计量(样本的函数),将它作为未知参数的估计.由于这是用一个量也即一个点值来对一个参数进行估计,故称为点估计. 如果未知参数在总…     

统计学入门(Ⅻ)

二十四、其它常用的非参数检验方法 §24-1非参数检验的特点 我们已经讨论过许多检验方法。这些方法可以分成两类;一类是已知总体的分布类型(例如正态分布或二项分布等),检验的原假设是关于总体分布参数的,这种检验通常称为参数检验;另一类是不对总体分布作任何事先的假定,而检验的原假设是关于总体分布类型本身(例如x2拟合优度检验)或其它我们感兴趣的形式(例如列联表中的变量独立性检验),这些假设都不是表示成分布参数形式的,因此称为非参数检验。 对总体分布不需要加以限制,其方法可适用于任何分布,是非参数检验的最突出的优点。非参数检…     

统计学入门(Ⅺ)

二十一、x2拟合优度检验22-1用于二项或多项总体参数的假 设检验 在上一讲中,我们讨论过对二项总体参数P的假设检验问题.在一个总体情形,当原假设是时,若n比较大,可以根据二项分布的正态近似,用U检验对H0作检验.对这个问题我们还可以从另一角度考虑,从而引出一种方法不同但结果等价的x2检验法。 设在n次独立试验中,“成功”七次,“失败”n-K次,以下称为观测频数,并分别记为O1与O2(O1+O2=n)。如果H0成立,则、“成功”的概率为p0,“失败”的概率为1-p0,那么 O1与 O2与按概率计算的“期望”频数E1=np0与E2=n(1-p0)就不会相差很多.如果实…     

统计学入门(Ⅳ)

七、泊松分布 7-1定义与特性 在二项分布(n,p)中,若p很小(小于0.1),n很大(大于50),则可以证明二项概率其中μ=np,而e是自然对数的底。根据eμ的级数展开公式: 即有 因此是一个离散型的概率分布,称为油松分布,其中μ是它的分布参数。　　在实际中,遵从泊松分布的例子不少。“大体上说,一个小概率事件(相当于上述的 p)在一定时间或一定范围内发生的次数X 即遵从泊松分布。例如单位面积的布上的疵点数,一个城市每天因交通事故死亡的人数,一台很少发生故障的设备在一段时期(一个月或一年)内发生的故障次数等都遵从泊松分布。 泊松分布的形状见…     

统计学入门(Ⅱ)

三、概率的乘法公式3-1事件的乘积 设有两个事件A和B,考虑这两个事件都发生或同时发生的情况。注意到A、B都发生实际上也是一个事件,记这个事件为AB,我们称它为事件A与B的乘积。我们可用图形直观地表示事件A,B与AB的关系(图1),即AB表示既属于A也属于B的公共部分。3-2相互独立的事件乘积的概率 现在我们考虑两个事件乘积的发生概率。先考虑一种简单情形,即A,B中任一事件的发生与否都不影响另一事件的发生机会,我们称这样两个事件是相互独立的。当A,B相互独立时,我们有公式 P(AB)=P(A)P(B)( 3-1)即两个相互独立事件都发生的概率等…     

统计学入门(Ⅸ)

十八、对正态总体均值和方差的检验 在这一节中我们将具体列出关于一个正态总体的均值μ或方差σ2的假设检验.根据上节的讨论,这些检验与μ或σ2的置信区间的构造有关.因此我们不准备详细地给出这些检验的推导过程,仅将结果以表格形式列出,并给出若干说明性的例子.18-1关于均值u的假设检验 需要检验的假设H0:μ=μ0(双侧检验);μ≥μ0或μ≤μ0(单侧检验),其中μ0是已知的常数.检验统计量当σ已知时用当σ未知时用 例18-1炼钢厂为测定温铁炉铁水温度,用测温枪(主要装置为一种热电偶)测温6次,记录如下(单位℃): 1318, 1315, 1308, 1316, 131…     

统计学入门(V)

九、总体、样本及统计量　　9-1名词解释 前几讲我们介绍了概率论的若干基础知识,从这一讲起我们介绍有关统计的基本概念和常用的统计方法。 在引言中我们讲过统计学的核心内容是统计推断,即通过反映事物局部信息的一组数据对所研究的对象的性质进行推断。为了将问题阐述得更为清楚和精确,有必要引进一些基本概念,解释几个以后经常使用的名词术语。 每个问题都有我们所关心的进行研究的对象。研究对象的全体称为总体。这里所说的对象可以是一个个具体的物体(例如某工厂生产的某种型号的电子管),也可以是物体的某个或某些特性(例如电子管的寿…     

统计学入门(X)

二十、两个正态总体方差的比较20-1.两个正态总体样本方差比的分布,F分布 为对两个正态总体的方差进行比较和检验,我们首先讨论来自两个正态分布的独立样本的样本方差比的分布。这个分布称为F分布。 设 , 是相互独立的两个随机变量,的分布称为自由度为f1,f2的 F分布,记为F(f1,f2).其中f1和f2分别称为第一(分子)自由度与第二(分母)自由度,其顺序不能颠倒。显然F只能取正值,它的分布曲线的形状见图20—1. 与x2分布类似,我们可以定义F分布的上侧分位数。对任意概率p,可确定一个正数Fp(f1,f2),使得则Fp(f1,f2)称为自由度为f1,f2的F分布的上…     

多元统计分析(Ⅷ)

ξ7.多因变量逐步回归 多元回归分析是多元统计中应用最广的方法.“多元”可以理解为多个自变元(只有一个因变元),也可以理解为自变量和因变量都是多个的情形.鉴于只有一个因变量的多元回归己众所周知,因此本节的重点是讨论含有多个因变量的回归及其逐步算法 7.1多因变量回归分析 1.模型 设x1,…,xp是p是自变量,y1,…,yq是q个因变量,并有如下的线性关系:其中εj是随机误差,βij是回归系数.回归分析问题是根据变量x与y的n次已知观测数据去估计回归系数,并对回归系数作统计检验等等. 在回归模型中,随机误差总假设没有系统偏差,即均值为零,所以…     

方向数据的统计分析(Ⅷ)

§7三维球面上的统计 前面我们讨论了二维情形的园上方向数据的统计分析,但实用中有许多观察值是三线的方向数据。例如,在古地磁学中,人们根据剩磁的方向判断化石的年代和大地漂移,在地质学中,人们根据损坏岩石的断裂面和组构元素的方向来分析大地构造力,且根据交错层的方向和其它结构来分析风和水的侵蚀;在医学上,人们根据方向心电图的磁场方向来研究心脏的电感性等问题。这些问题的研究对象,都是三维情形的方向数数,因此,本节对于球面上方向数据的统计分析作一些简略介绍。 自了.1数据的表示和分布的形状 一、球面上数据的表示法 我们知道…     

一些集的基数(Ⅷ)

Let X be an infinite set, C={B:B is a Boolean algebra defined on the X},Define B={D:D is isomorphie to B}, C={C & B is atomic},C_2= {C & B is not atomic},then |C_1|=|C_2|=2~(|x|). The power set of X is denoted by P(X), P(X) is a field of sets (Under Union and Intersection of sets, and Complement of set), Suppose K={F:F js a field of sets & FP(X)}, K_1={K},K_2{K & F is not atomie} then |K_1|=|K_2|=2~(2~(|x|)).     

数学奥林匹克讲与练(Ⅷ)

例题讲解57．求正整数k，使其满足（a）、（b）两个条件：（。）对任意正整数n，不存在j，0＜j＜n—kMI，使数列C；，C；”，…，Q”‘－’为等差数列．（b）对某些正整数n，存在j，0＜j＜。一kM2，使数列C：，C：”’，…，C：“‘’为等差数列．解试讨论对于怎样的n及k，C士，C二，Cf”’恰成等差数列．欲CS’、C二、CY‘成等差数yu，应有于是（n＋2）应为完全平方，设为u’（u＞0），则卜一Zki—u，n一u‘一2（2）又由C：随厂变化的规律，可设由上面的结果可知，仅对形如（u’一2）（u＞3）的自然数n，当j一会（u‘一u一2）一1时…     

稳健统计学简介(上)

前言 统计的结果一方面依赖于观测数据,另方面依赖于对所研究总体的某些特性的假设,如分布型式、独立性等等。稳健统计学(Robust Statistics)旨在克服当数据显著偏离假设时传统统计学所面临的一些困难。稳健统计学早在十九世纪初就有萌芽,从二十世纪六十年代起随着电子技术的迅速发展而倍受重视,如今已成为统计学中的一个活跃的研究领域。国际上统计学界的杂志及会议文集上,有关稳健统计学的文章源源不断。第一部关于稳健统计学的专著[9]已于1981年问世。许多传统的统计方法已有了相应的稳健方法。这些方法被逐渐应用到医学、生物学、化学…     

稳健统计学简介(下)

(三)R估计值(Rank Estimates) 　R估计值即秩估计值,它是由双样本秩检验引伸而来的。首先用其它方法(如算术平均值、中位数等)给出Tn的初始值,再由下式构成第二样本可见Y是X的以Tn为中心的镜象。当X是对称分布且Tn是位置的最佳估计时,X与Y应当完全重合。将两样本混合后记x1,…,Xn在混合样本中的序数为R1,…,Rn,定义秩统计量为α(R1)被称为Ri的得分(Score),其选择应当使当Tn是位置的最佳估计时,Sn,n的值为零。例如,或均可满足这一要求。实际计算时,我们逐渐调节Tn的值,以使Sn,n逐渐减小。最小的Sn,n所对应的Tn即所求的R估计值。 对…     

保险统计学的基本原理和方法（Ⅷ）

保险统计学的基本原理和方法（Ⅷ）黄向阳，苏玉田编译（中科院系统所，北京１０００８０）§８．不丧失的受益金与红利８．１投保人在签完保单后，一般以年金形式逐期支付保费，但他可能由于某些原因，在交足保费之前中途退出。这时，保单持有者没有遵从保单上的条款，应...     

多目标最优化方法论入门(一)

近年来,多目标最优化越来越引起人们的注意:从1974到1979年,与这一课题有关的正式发表的文章已超过120篇。已经有许多与多目标决策和多目标最优化有关的途径、算法和工具;但并非所有的途径都是依同样程度发展的,而由于人们在采用所得到的工具时常常是根据某种传统的习惯来做,而不是根据其是否适于用来解决所与的问题。因此,本文就是致力于对各种途径和工具作比较性的评估。但这一评估首先是基于多目标决策及其最优化的问题的一个分类。下面,我们将从对解决各类问题是否适合这一角度简单地来说明和评估已经可资利用的途径、方法、技巧和工具。文章的后一部分是想对于一条相当新的途径作一概括性的叙述。这条途径是基于参考目标水平作出的,它尚未得到充分发展,但在许多类问题中已经可以使用。我们将介绍一个叫做推广临界效用函数的新概念,以及有关这条途径的一些别的基本理论结果、应用例子以及进一步的研究方向。