1983年第九届全俄数学竞赛试题

一年一度的全俄中学生数学、物理、化学竞赛始于1975年。竞赛共分四轮,逐级选拔,前三轮分别在学校、区、省进行,第四轮为决赛。其中三、四两轮的竞赛仅限于八至十年级学生参加。每一年级的数学竞赛有五个题目,限四小时完成,这里刊登的是1983年举办的第九届数学竞赛(三轮与四轮)的试题,这些试题的解答或提示,以后将在本刊陆续发表。     

第九届全俄数学竞赛第四轮试题解答

八年级 1.100个实数的和等于0,证明:能够将它们编号后,满足下面不等式组: a_1≥0,a_1+a_2≥0,…,a_1+a_2+…+a_(99)≥0。解我们可以证明更一般的问题:若n个实数c_1,c_2,…,c_n的和为非负,则能够将其重新编号,满足不等式组: c_1≥0.c_1+c_2≥0,…,c_1+c_2+…+c_(n-1)≥0。为此先来证明:若实数x_1,x_2,…,x_m的和为非负(S=x_1+x_2+…+x_m≥0),则总能从中划去一个数,使得余下的(m-1)个数的和为非负。反之,若对所有的i=1.2.…,m,都有S-x_i<0,于是(s-x_1)+(s-x_2)+…+(s-x_m)<0,也就是(m-1)s<0,矛盾。这就是说,对于c_1+c_2+…+c_n≥0,总可从中划     

第十六届全俄中学生第三轮数学竞赛试题解答(十一年级)

1.求常数c的值,使函数在区间(-1/4,1/4)上为奇函数。(5点) 解假设所求常数C是存在的,函数f(x)为奇,于是f(0)=arctg2 c=O。由此知c的唯一可能值为-arctg2。我们将证明在区间(-1/4,1/4)上,函数是奇函数,即满足关系式f(x)=-f(-x)。     

第19届全俄中学生数学奥林匹克试题及解答

9年级第一试1 如果自然数n使得2n+1和3n+1都恰好是平方数,试问5n+3能否是一个素数? 2 AB和CD是两条长度为1的线段,它们在O点相交,而且∠AOC=60°,试证:     

第53届数学竞赛试题及解答

第５３届数学竞赛试题及解答王莲芬（中国人民大学１００８７２）问题Ａ—１证明定义域是整数且满足条件（ⅰ）ｆ（ｆ（ｎ）＝ｎ（对一切整数ｎ）；（ⅱ）ｆ（ｆ（ｎ＋２）＋２）＝ｎ（对一切整数ｎ）；（ⅲ）ｆ（０）＝１的整值函数的唯一解是ｆ（ｎ）＝１—ｎ．Ａ—２定...     

第三十届国际数学奥林匹克竞赛试题与解答

地点:联邦德国,不伦瑞克第一试(1989年7月18日) 1.求证:集合{1,2,…,1989}可以分为117个互不相交的子集A_i(i=1,1,…,117),使得(1) 每个A_i含有17个元素;     

第五届全俄中学生数理化竞赛数学试题及解答

第五届全俄中学生数理化竞赛于一九七九年举行。竞赛分四轮进行,其中前三轮分别按学校、区、省进行,第四轮(即决赛)于3月24日至28日在俄罗斯联邦共和国的四个地区举行。参加第四轮数学竞赛的八年级到十年级的学生有240名,每一年级的竞赛题有五道,要求在四小时内完成。下面是这届数理化竞赛(决赛)的数学试题及解答。     

第36届国际数学奥林匹克竞赛试题与解答

第３６届国际数学奥林匹克竞赛试题与解答张筑生（北京大学数学系１００８７１）（第３６届ＩＭＯ中国队领队）第一天，１９９５年７月１９日（４小时，每题７分）１设Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ是一条直线上依次排列的四个不同的点．分别以ＡＣ，ＢＤ为直径的两圆相交于Ｘ和Ｙ；直线...     

1957年北京市数学竞赛试题解答

4一 引峰l’-二 厂口.,、、r...L 一 臼1︸ P一高中二年极题解十/,t。ll(.“十户十.l]~1十1.若。、‘之,、、1,化筒(1一叮、2‘一一兰亘二三一一、杯1一卜x一1/1一:l一‘r十,--一一, 厂l一沈召十‘r火(;/井二一}).本题,)K10分、、了〔一、菩力卜。]一、’平分 _I召3投了召CD为圆内接四边形,、牙角拢BD于刀,拭征解]原式飞/丁干、十、./1一二几i刃:巧耳下-一/1不一沦-}BCZ十CDZ十D厂~么了‘夕. (本题竺O分’)了压不论三一1(./’L十、r)“一交杯丁二份)“ (:厂i两二万一T/1二一_:)2加一沪画1/丁万1尽一l1一xZ匕i三二 一l __一~一1. 2.…     

第九届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题参考解答

1·解(1)设车主每月平均用车30天.则每月平均行驶40×30=1200公里.由题设知,每月平均用油120升.所需油费4.26×120=511.20元.加上养路费110元后,每月平均花销为511.20 110=621.20元.若改为燃油税,为使车主支出不增加,设每升油至多增加x元,则x应满足(4.26 x)×120≤621.20即120x≤110.解得x≤0.91.此时93号汽油零售价为(4.26 0.91)=5.17元/升.车主每月平均支出为5.17×120=620.40元.不超过原来的平均支出621.20元.[当汽油价格为5.18元/升时,每月平均支出为5.18×120=622.20元,超过原来的621.20元.](2)由题设知,出租车司机每月平均行驶300×28…     

第十九届全俄中学生数学奥林匹克(第二试)试题与解答

(9年级第二试) 5 设x、y、z都是整数,满足条件(x-y)(y-z)(z-x)=x y z. 试证:x y z可以被27整除。     

第五届全国中学生数学冬令营竞赛试题及解答

第一天 (1990年l月12日8:30一13:30) 一、如图,在凸四i互形月刀CD中,.4刀与CD不平行,圆O、过,4声目.与边CD相切于P,圆O:过C、D且与边月刀相切于Q,圆O:与圆O:相交于刀、厂。求证:石尸平分线段尸口的充分<令(附一刀d)(,Ic一耐)二0、艺一:(显然了、·“,·必要条件是刀C犷通D. 证:如图,设尸Q与石F相交于K,延长PQ交圆O孟于P,,延长口p交圆口2于口,,则刃K·K尸二尸人{.K尸, 二口K·K口,(1) <卜今,.J.O沙刀C 二、设二是一个白然数,若一串自然数厂。=l,x:、二2、…,二,一,,、‘二x,亨两足:‘一,<:‘,二‘一:J:‘,i=l,2,…,l,则称{二。…     

第十四届全俄中学生数学奥林匹克第三阶段试题及解答(一九八八年一月举行)

J、 1.能不能把8个数1个正八边形的各顶点上,年级,2,…,8这样地排列在一使得对于任意位干三个连续硕点男盯各赞兰,:(a)大于,,,(b)大于,“ a气a、尸氏a尸、到 击日a甲1娜.(o)能.各数的排列门j翔卜{l所示.,(b)叔们柬证明.不能用所要求的方式来排厕各..数、暇设相反:存在数1,2,3,…,8这样的排列,介核得对于八边形任意三个连续顶点_l二的各数之和伏于 .,因而不小于14.以a:,a,,…,a:表示写在八边,’形顶点上的数(图2),’以S表示它们的和.根据假设,心下列各个不等式成立.口一+a:+a:方,少今水“‘ 口3十口一十a吕4,4,丈a‘十a。+q。。。+a。+a:>14…     

第九届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答

试题 1．(满分14分)从1994年1月1日起,海南省取消了向汽车使用者直接征收公路养护费、道路通行费、过桥费和运输管理费,改成向汽车使用者征收燃油税,将此税加入到油价中．当前,90 号、93号、97号汽油的售价分别为5．45元／升,5．8元／升和6．11元／升．现在,北京的93号汽油零售价为4．26元／升．如果北京也取消养路费(一般的5座小轿车的收费标     

第25届全俄罗斯中学生数学奥林匹克决赛试题解答

第一天1　是否存在 19个具有相同数字之和的不同自然数 ,使这些自然数之和等于 1999?2　将一些整数排在数轴的一切有理点上 .求证 :可找到这样一个区间 ,使这区间两个端点上的数之和不大于区间中点上的数的 2倍 .3　四边形ＡＢＣＤ的内切圆与各边ＤＡ ,ＡＢ ,ＢＣ ,ＣＤ分别相切于点Ｋ ,Ｌ ,Ｍ ,Ｎ .令Ｓ1 ,Ｓ2 ,Ｓ3,Ｓ4分别是△ＡＫＬ ,△ＢＬＭ ,△ＣＭＮ ,△ＤＮＫ的内切圆 .向圆Ｓ1 与Ｓ2 ,Ｓ2 与Ｓ3,Ｓ3与Ｓ4,Ｓ4与Ｓ5 作外公切线 (不同于四边形的各边 ) .求证 :这 4条切线组成的四边形是菱形 .4　ｎ2 个筹码放在一个无限棋盘的含ｎ×…     

第22届全苏中学生数学奥林匹克试题及解答

(第一天) 八年级 1.一本书包含30篇故,各篇故事的篇幅依次为1,2,…,30页这些故事从第一页开始印刷,每篇都从新的一页开始能从奇数页开始的故事最多有多少篇? 答:23。 2.设ABCD是凸四边形。考虑两个新的凸四边形F_1和F_2,其中每个的两个相对顶点是ABCD角线的中点,另相对顶点是ABCD对边的中点。已知     

1989年澳大利亚数学竞赛试题及解答

随着经济实力的增长,澳大利亚在各个领域里都崭露头角。它主办了第二十九届国际数学奥林匹克,又发起了亚洲太平洋地区数学竞赛。堪培拉高等教育学院的P.J.o’Halloran教授尤为活跃,担任了世界各国数学竞赛联合会的主席与亚太地区数学竞赛委员会的主席,出版了一本杂志《数学竞赛》,专门报道各国数学竞赛的动态。     

第二十二届国际数学竞赛试题及解答

第二十二届国际中学生数学竞赛于1980年7月在卢森堡举行。我们拟了一份解答,不妥之处期望读者批评指正。 1.设Q是全体有理数的集合,求所有适合下列条件的从Q到Q的函数f:     

第二十二届国际数学竞赛试题及解答

1981年7月13日至14日,来自27个国家的代表队,共192名选手在美国首都华盛顿的乔治亚大学举行了第22届国际中学生数学竞赛。比赛分两天进行,每天用四个半小时来解答三个试题。 第22届国际数学竞赛的试題,一般认为并不算容易。但这次竞赛的结果却异常的好?有36名选手获得了一等奖(21届获一等奖的仅有8名),其中26名选     

31届西班牙数学奥林匹克竞赛试题及解答

1 设a,b,c为互异的实数,P(x)为实系数多项式.如果 P(x)除以x-a余式为a,P(x)除以x-b余式为b,P(x)除以x-c余式为c.求P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式.解 众所周知,P(x)除以x-a余式为P(a),依题意有P(a)=a,P(b)=b及P(c)=c.R(x)为P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式,则R(x)的次数≤2且P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x) R(x),这里Q(x)为多项式.我们注意到R(a)=P(a)=a,类似地有R(b)=b和R(c)=c. 这样多项式R(x)-x的次数≤2且有三个互不相同的零点a,b,c.因此R(x)-x是一个零多项式,所以R(x)=x.注 此题也可用待定系数法或用拉格朗日插值公式求R(x)…