圆幂定理在圆锥曲线中的推广和应用

圆幂定理能否在圆锥曲线中得到推广呢?现作如下初步的探讨。定理过平面内一定点的两条直线与圆锥曲线都相交,若两条直线交角的平分线与圆锥曲线     

圆幂定理及其应用

圆幂定理,实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理,共包含如正三个定理(1)相交弦定理;(2)割线定理;(3)切割线定理.如果把以上三定理按交点在圆内和圆外进行讨论,则交点在圆内:相交弦定理;交点在圆外;割线定理、切割线定理、切线长定理.     

圆幂定理(上)

<正>在圆的知识中,以下几个定理都与线段的乘积式有关,它们是:相交弦定理圆的弦相交于圆内的一点,各弦被这点分成的两条线段的乘积相等.图1(1)PA·PB=PC·PD.切割线定理由圆外一点向圆引两条割线.则在每条割线上,由该点到割线与圆的两个交点所成的两个线段的乘积相等,都等于切线的平方.图1(2)PA·PB=PC·PD=PE2.     

圆幂定理与运动不变量

圆幂定理与运动不变量１０００２０北京市朝阳区中学教研室郭璋在中学平面几何课本中，把圆幂定理分为相交弦定理与切割线定理叙述．相交弦定理：圆的弦相交于圆内一点，各弦被这点内分（分点在线段内）成的两线段的乘积相等．切割线定理：圆的弦相交于圆外一点，各弦被这...     

圆幂定理在解析几何中的巧用

<正>解析几何题目的一大特点就是计算量较大,本文通过两道例题对比传统解法和运用圆幂定理转化后的解法,发现有些题目巧妙运用圆幂定理进行转化后,计算量明显减小.例1在极坐标系中,曲线C的极坐标方     

圆幂定理图形中的优美性质

<正>相交弦定理、割线定理、切割线定理统称为圆幂定理;它反映两条相交直线与圆的位置关系,其本质是与比例线段有关.本文给出圆幂定理图形中的其他性质,与读者共同分享.1相交弦定理图形中的性质性质1如图1,⊙O的两条弦AB、CD相交圆内一点P,PE、PF、PG、PH分别是⊙PAC、⊙PBD、⊙PAD、⊙PBC的直径,则PE⊥BD、     

从两圆的交点弦到等幂线

这是教材上的一道习题: 求经过两条曲线x~2 y~2 3x-y=0①和3x~2 3y~2 2x y=0②交点的直线方程。启蒙阶段,可先解交点,后求直线方程: 由①×3-②,可得7x-4y=0③又由①、②联立解之得:x_1=0,y_1=0;x_2=-4/13,y=-7/13。由此得所求的直线方程:7x-4y=0 ④比较③、④,发现由③到④是条回路,于是回头研究式③为所求的道理;若(x_1、y_1)、(x_2、y_2)是两曲线的交点,则应同时满足①、②两式,从而满足③式。即方程③表示的直线过两曲线的交点,又因这样的直线只有一条,故直线③为所求。     

圆锥曲线的阿基米德定理

圆锥曲线的阿基米德定理叶挺彪（浙江瑞安任岩松中学３２５２０２）把过圆锥曲线的弦（在曲线内部的有限部分的线段［２］）的两端的切线与弦围成的三角形称为阿基米德三角形．其中，弦称为这三角形的底边．文［１］给出了抛物线的阿基米德定理，即定理１阿基米德三角形底...     

由圆生成圆锥曲线

众所周知,圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)可以看成是平面内到定点和到定直线的距离之比为正常数e的动点轨迹:当01时为双曲线.有趣的是,在圆中,我们也可以通过适合某种条件的动点的轨迹来生成这三种圆锥曲线,有如     

一个幂和定理摘译

一个幂和定理摘译褚学璞译（山东省文登市广播电视大学２６４４００）求幂和是一个古老、魔力无尽的数学研究专题，至今，笔者所见诸多求幂和的命题或公式，计算过程均很繁杂，从应用的视点看，均不甚理想，本文给出一个俄文译定理，与之相比实用价值较好，请见译文。定理...     

绕来绕去的向量法之圆幂定理及其应用

近来读张景中先生、彭翕成老师的大作<绕来绕去的向量法>,颇有醍醐灌顶之感,真是相见恨晚!书中用大量实例说明,如果掌握了向量解题的要领,在许多情形下,向量法比纯几何方法或者坐标法干得更漂亮.这要领,除了向量的基本性质,关键就是"绕来绕去",即"回路法".     

7 直线和圆圆锥曲线

7 1　直线方程和简单的线性规划内容概述1 在平面直角坐标系中 ,常用的直线普通方程形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式Ax+By+C =0五种 ,求直线方程常用待定系数法 .2 过两点 (x1,y1)、(x2 ,y2 ) ,倾斜角为α(α ≠π2 )的直线的斜率可以用斜率公式k =tanα =y2 - y1x2 -x1求得 ,当α=π2 时 ,直线的斜率不存在 .3 若两条直线有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2 :y=k2 x+b2 时 ,则l1∥l2 　 　 k1=k2 ,b1≠b2 ;　l1⊥l2 　 　k1k2 =- 1;若两条直线至少有一条没有斜率时 ,它们的平行、垂直关系都容易根据它们的具体情况进行判断 .4 …     

八圆定理

定理1⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切,⊙O1切⊙O2、⊙O3于A、C,⊙O2与⊙O3切于B,⊙O4与⊙O1、⊙O2、⊙O3分别外切于D、E、F(如图1),则⊙ADE、⊙BEF、⊙CDF两两外切,且与⊙ABC均内切.先证引理1.引理1⊙O1(r1)、⊙O2(r2)、⊙O3(r3)两两外切,⊙O1与⊙O2、⊙O3切于A、C,⊙O2与⊙O3切于B,     

圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用

2003年北京高考数学卷第18(Ⅲ)题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明,本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式,并由它们得到圆锥曲线的若干性质.……     

从课本中的例题到托勒密定理

九年义务教育三年制初级中学几何第三册例2．如图1，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径．求证：AB·AC=AE·AD．连结BE，由△ABE△ADC可证明本题．连结EC，由△ACE△ADB也可以证明本题．由△ABE△ADC，还可以得到由△ACE△ADB，还可以得到由②十①得AB·EC＋AC·BE=AE·BD＋AE·DC=AE（BD＋DC）=AE·BC．对四边形ABEC来说，这正是回内接四边形的托勒囵定理：国内接四边形对角线的积等于两组对边积的和．使我们不能满足的是它是托勒路定理的特殊懂况，一条对两线是圆的直径．对于例2的研究，我们知道，…     

有心相似圆锥曲线中的花蝴蝶定理

文[1]将圆中的蝴蝶定理和坎迪定理统一推广为同心圆中的花蝴蝶定理,受其启发,笔者得到了有心相似圆锥曲线中的花蝴蝶定理.为了证明需要,我们先引入并证明圆锥曲线中的坎迪定理.1 二次曲线中的坎迪定理AB是二次曲线Ω的弦,M是AB上的任一点,过M作Ω的两条弦CD和EF,其中C,E位于AB同一测.     

由圆生成三种圆锥曲线

众所周知 ,三种圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物线 )可以看成是平面内到定点和到定直线的距离之比为正常数e的动点轨迹 :当 0 1时为双曲线 ,有趣的是 ,在圆中 ,我们也可以通过适合某种条件的动点的轨迹来生成这三种圆锥曲线 ,有如下一个结论 .定理　给定圆O :x2 +y2 =r2 (r >0 ) ,A (a ,0 ) ,B (b ,0 ) (b≠0 ,b≠a)是x轴上的两个定点 ,P是圆O上的一个动点 ,Q是P在y轴上的射影 ,直线AP与BQ的交点为M ,则点M的轨迹 :( 1 )当 |a-b| =r时为抛物线 ;( 2 )当 |a -b| >r且b≠a2 -r22a 时为椭圆 ,当b =a…     

有心圆锥曲线与圆的联系

定理1 如图1，设QQ’是圆x^2＋y^2=a^2的异于椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（n〉b〉0）长轴的一条直径，过直径端点Q，Q’分别作椭圆的切线，则切线的交点在椭圆的准线上。     

透过圆“看”圆锥曲线

圆和椭圆具有共性又有差异,挖掘它们的相似点有利于掌握圆锥曲线的相关性质,也有利于记忆这些性质.本文通过圆的性质,进行类比、联想、迁移、推广,得出垂直弦,中点弦及切线方程等.圆锥曲线的性质.