选择题和填空题中圆锥曲线的离心率问题

<正>离心率是描述圆锥曲线形状特征重要的量,椭圆的离心率描述椭圆"扁平"程度,双曲线的离心率描述双曲线的开口大小,在高考中高频考查求椭圆、双曲线的离心率问题.圆锥曲线离心率问题涉及定义、标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系以及向量、三角函     

关于椭圆,双曲线及抛物线离心率的几何性质

平面解析几何中关于椭圆、双曲线及抛物线的离心率的定义分别是这样给出的：椭圆的焦距与长轴长的比ｅ＝ｃａ,叫做椭圆的离心率．双曲线的焦距与实轴长的比ｅ＝ｃａ,叫做双曲线的离心率,抛物线上的点与焦点的距离和准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用ｅ表示,按抛...     

求圆锥曲线离心率的常用方法探究

离心率是圆锥曲线重要的几何性质,是描述曲线形状的重要参数.椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要参数,双曲线的离心率是描述双曲线"张口"大小的一个重要参数,而抛物线的离心率是特征值1,圆锥曲线的统一定义是按离心率范围不同,确定圆锥曲线中的椭圆、双曲线和抛物线的类型.离心率问题已成为各类测试的考查热点,备受高考命题者的青睐,考查的题型主要以离心率的大小和范围问题为主.求离心率的关键是找出一个与参数a、b、c、e有关的等式或不等式.如何根据题中的条件,选择恰当的方法呢?现举几例.     

例谈椭圆的离心率问题的解法

<正>1.求椭圆离心率的方法(1)利用椭圆的定义求解椭圆的定义中已经包含了基本量a、c,a的几何意义是半长轴或者是特征三角形(即顺次连接坐标原点、焦点、短轴顶点的三角形)的斜边,c的几何意义是半焦距.利用椭圆的定义往往可以很容易求椭圆的离心率.例1如图1所示,设F1、F2分别是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P     

例析圆锥曲线离心率范围问题的求解

离心率是圆锥曲线的一个重要性质 .椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据 ,双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据 ,而抛物线离心率为特殊值 .圆锥曲线的统一定义是按离心率范围不同 ,而确定圆锥曲线中的椭圆、双曲线、抛物线的类型 .高考试题对离心率的求值多次相继出现 ,受其启发 ,本文现对圆锥曲线离心率变化范围进行探究 ,对常见相关习题进行归纳 .1　由曲线图形的性质求离心率的范围从曲线的方程和性质 ,结合图形特定形状 ,求解离心率的范围 .例 1　过双曲线x2a2 - y2b2 =1　 (a >0 ,b>0 )的右焦点 F作双曲…     

例说求圆锥曲线离心率范围的思考方法

圆锥曲线的离心率是描述曲线形状的一个很重要的量，它在有关的圆锥曲线问题中以参变量的形式出现，确定它的取值范围，就是根据问题给出的条件，建立起几个有关字母的不等式，通过解不等式达到解决问题的目的，下面介绍确定曲线离心率的几种思考方法．1利用圆锥曲线的定义例1设P是椭圆头十头一1（a＞b＞0）上一点，且LFIPFZ—90“，其中FI，FZ是椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率的范围解由椭圆的定义得IPF；l＋IPF。l—Za，MF．PF、＝QO”IPFI，IPFZI是方程uC勺一0的两个根，因此有故所求离心率范围是。gIJ2已知双曲线焦点为…     

椭圆和双曲线中有关离心率的若干结论及应用

离心率是圆锥曲线中的一个重要几何指标,经常渗透在各类题型中.作为描述圆锥曲线的“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据,它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起,有很强的可考性.其中,考查离心率的取值范围的试题综合性强,是解析几何的重点和难点.本文将对椭圆和双曲线离心率的相关问题加以归纳和证明.     

探求椭圆、双曲线离心率的若干途径

求椭圆、双曲线的离心率的问题非常多见,解题方法也有很多种.对于难题的出现,解题技巧不能忽视,本文通过列举几个典型题,介绍求椭圆、双曲线离心率的基本解题方法.     

评“关于椭圆扁平程度的探究”

<正>在离心率教学中一种常见现象是按照书上定义进行讲授,然后总结离心率的各种求法．离心率的几何意义是表示椭圆的扁平程度,但椭圆方程中只出现a,b,从图形上看用它们之间的比值表示椭圆的扁平程度不是很自然吗,为何要用焦距与长轴长的比?当然也有不少学生根本提不出问题,按照书上写的和老师讲的,做对题就可以了,何必管那么多．多数教师认为,     

如何确定离心率的范围

圆锥曲线的第二定义是:平面内动点M到定点F的距离和到一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹是圆锥曲线．当01时,动点M的轨迹是双曲线,当e=1时,动点M的轨迹是抛物线．求椭圆与双曲线离心率的范围是高考的一类题型．下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围．     

对一类求离心率e的范围问题的探究

圆锥曲线的离心率是描述曲线形状的一个很重要的量．椭圆的离心率能刻画其扁平程度,而双曲线的离心率反映的是其张口大小的量．由于离心率P分别与椭圆及双曲线的特征量a、b、c有量的直接联系,所以对离心率e的考察在每一次检测中几乎都会出现．     

例谈离心率范围

离心率作为描述圆锥曲线的重要参量,在解析几何中尤显重要,在历年的高考中几乎每年都出现.求离心率的范围必须结合圆锥曲线的性质、不等式、函数等知识,要求离心率范围就必须建立不等关系,通过什么途径呢?本文就几种常规求法通过例题展现给读者. 例1 已知F1,F2是椭圆的两个焦点,点P在椭圆上,且∠F1PF2=60°,求椭圆离心率的取值范围.     

用圆锥曲线的统一定义证题

在平面解析几何中,有些证明题用圆锥曲线的统一定义去证,既简捷又直观。本文以椭圆、双曲线为主选七道 证明题介绍给读者,仅供参考。 例1 设椭圆的焦点为F_i(i=1、2),M(x,y)是椭圆上的任一点,求证:|MF_i|=a±es(e为离心率)。     

圆锥曲线离心率的本源探究

离心率是圆锥曲线最主要的参数之一,用它不仅可以判定圆锥曲线是椭圆、双曲线还是抛物线,还可以大致判定椭圆的扁平程度和双曲线的开口大小,在现行的教材中,我们只知道离心率e是指圆锥曲线上任意一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比。对椭圆和双曲线     

“黄金椭圆”与“黄金双曲线”微探

椭圆的离心率e∈（0，1），当e=0＋√5-1/2=√5-1/2时的椭圆称为黄金椭圆，文[1]中叙述了几个优美的性质，由于双曲线的离心率e∈（1，＋∞）,     

相似椭圆的性质再探

由文[1]的定义,我们把椭圆E1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)和E2:x2/a2+y2/b2=λ(λ>0,λ≠1)称为相似椭圆(可以证明:两相似椭圆有相同的离心率),文[2],[3],[4]给出了相似椭圆的一些性质,本文再给出相似椭圆的若干性质.     

2014年北京理科卷第19题的探究历程

2014年北京理科卷第19题：已知椭圆C：x2＋2y2=4,（1）求椭圆C的离心率.（2）设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x2＋y2=2的位置关系,并证明你的结论.此题是近年解析几何中常考的一种题型──运动中的＂不变＂问题.考查椭圆方程、直线与圆的位置关系,考查运算求解能力、推理论证能力,考查转化化归思想、数形结合思想、特殊与一般等数学思想，是一道精心打磨的好题．     

椭圆与双曲线

1　本单元重、难点分析1)重点 :椭圆与双曲线的定义及相关概念 ;椭圆与双曲线的标准方程及其推导 ;椭圆与双曲线的几何性质及应用 .2 )难点 :利用椭圆与双曲线的第一定义和第二定义解题 ;椭圆与双曲线的几何性质的应用 ;直线与椭圆、双曲线的位置关系及与弦有关的问题 .2　典型例题选讲例 1　已知Ｆ1,Ｆ2 是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )的左、右焦点 ,Ｐ为椭圆上的一点 ,∠Ｆ1ＰＦ2 =π3.1)求椭圆离心率的取值范围 ;2 )求证 :Ｓ△Ｆ1ＰＦ2 =33ｂ2 .图 1　例 1图讲解　由椭圆的第一定义 :|ＰＦ1| + |ＰＦ2 | =2ａ ,而 |ＰＦ1| ,|ＰＦ…     

生活中的椭圆

经过多年的对大量经验数据的研究 ,德国天文学家约翰尼斯·开普勒创立了描述太阳系行星运动规律的三大定律 .其中第一大定律表明太阳系行星的运动轨道是以太阳为一焦点的椭圆 .这些椭圆的离心率与 0很接近 ,因此近似于一个圆 .拿地球来说 ,其离心率ｅ =0 .0 17,火星的离心率ｅ =0 .0 93,天王星的离心率ｅ =0 .0 4 6 .水星与冥王星的轨道相对稍扁一点 ,其离心率分别为 0 .2 0 6和 0 .2 4 9.许多慧星的运行轨道是以太阳为焦点的椭圆 ,不过其离心率趋近于 1,所运行的轨道相当扁平 .如哈雷慧星的离心率ｅ =0 .96 7.图 1　椭圆光学性质示意图　　…     

关于有心圆锥曲线离心率的几何意义

平面解析几何中有心圆锥曲线包括椭圆与双曲线．最近笔者通过对有心圆锥曲线离心率的研究，发现了有心圆锥曲线离心率的几何意义：1椭圆离心率的几何意义设P是椭圆上任一点．F1、F2是椭圆的两个焦点，H是△PF1F2的内心，PH的延长线交F1F2于Q，则椭圆离心率证明如图1．H是△PF1F2的内心，F1H是△PF1F2的∠F1的内角平分线，F2H是△PF1F2的∠F2的内角平分线，2双曲线离心率的几何意义设P是双曲线1上任一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，H是△PF1F2的旁心，PH的延长线交F1F2的延长线于Q．则双证明如图2，H是否PFIF。的旁Itr，…