Problems with one quarter

In this paper two sequences of oscillation criteria for the self-adjoint second order differential equation (r(t)u(t)) + p(t)u(t) = 0 are derived. One of them deals with the case dt/r(t) = , and the other with the case dt/r(t) < .This work was supported by the grant VGA of Slovak Republic No. 1/7466/20.     

Some remarks on the modulus of continuity of a conformal mapping of the disk onto a Jordan domain

Letd(;z, t) be the smallest diameter of the arcs of a Jordan curve with endsz andt. Consider the rapidity of decreasing ofd(;)=sup{d(;z, t):z, t , ¦z–t¦} (as 0,0) as a measure of nicety of . Letg(x) (x0) be a continuous and nondecreasing function such thatg(x)x,g(0)=0. Put¯g(x)=g(x)+x, h(x)=(¯g(x))². LetH(x) be an arbitrary primitive of 1/h ^–1(x). Note that the functionH ^–1 x is positive and increasing on (–, +),H ^–1 0 asx– andH ^–1+ asx +. The following statement is proved in the paper.Translated fromMatematicheskie Zametki, Vol. 60, No. 2, pp. 176–184, August, 1996.This research was supported by the Russian Foundation for Basic Research under grant No. 93-01-00236 and by the International Science Foundation under grant No. NCF000.     

A Measure of Simultaneous Approximation for Quasi-Modular Functions

We improve on a recent result of Saradha giving a transcendence measure for the quotient of a period of an elliptic curve defined over by its associated quasi-period. In an (almost successful) attempt to include in a single measure both this result and that obtained by Reyssat in 1980, we blend into the modular method ideas related to modular but also hypergeometric functions, as appearing e.g. in André's work, as well as some Galois considerations.     

über straffe Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Raum der Schwartzschen Distributionen

Zusammenfassung In den letzten Jahren erschien eine Reihe von Arbeiten, die sich systematisch mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf topologischen Gruppen, Halbgruppen, topologischen RÄumen und topologischen linearen RÄumen beschÄftigten. Als besonders geeignet für eine topologische Wahrscheinlichkeitstheorie erwiesen sich hierbei die sogenannten straffen (tight) Wahrscheinlichkeitsverteilungen (vgl. Le Cam [3], Hildenbrand [11], Prochoeov [20], Varadarajan [25]).Die vorliegende Arbeit befa\t sich mit straffen Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Raum D, dem topologischen Dualraum des Raumes D der auf der reellen Zahlengeraden definierten beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit kompaktem TrÄger Tr .Der Ausgangspunkt für die Untersuchung von Zufallselementen mit Werten in linearen RÄumen, die nicht notwendig BanachrÄume sind, war wohl der von GELFAND [8] eingeführte Begriff des verallgemeinerten stochastischen Prozesses (VSP). Solange man bei einem solchen Proze\ Eigenschaften untersucht, die sich mit Hilfe seiner endlichdimensionalen Randverteilungen Q_{1,...,n}, _i D, beschreiben lassen, wird man sich wie im Fall eines gewöhnlichen stochastischen Prozesses natürlich die Frage stellen, ob ein geeigneter Standard-stichprobenraum existiert, etwa der Raum D, so da\ sich jeder VSP auffassen lÄ\t als Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einem geeigneten hinreichend umfangreichen -Ring von Teilmengen des Raumes D. Die fundamentale Arbeit von MINLOS [18] gab hierzu die Lösung: Durch ein vertrÄgliches System endlichdimensionaler Wahrscheinlichkeitsverteilungen Q_{1,...,n}, _i D, mit gewissen Eigenschaften, die denen der Randverteilungen eines VSP entsprechen, lÄ\t sich auf dem SystemB der Zylindermengen des Raumes D eine sogenannte schwache Verteilung definieren, von der gezeigt wird, da\ sie -additiv ist. Durch EinschrÄnkung des Raumes der sogenannten Testfunktionen auf den metrisierbaren Teilraum D _K{ D:Tr K, K kompakt in } von D lÄ\t sich dieses Ergebnis wie folgt verschÄrfen: Die durch ein vertrÄgliches System endlichdimensionaler Randverteilungen Q_{1,...,n}, _i D, mit entsprechenden Eigenschaften, auf dem System B _K der Zylindermengen des Raumes D_K definierte schwache Verteilung K ist straff bezüglich der schwachen Topologie (D_K, D_K) in D_K.Die Frage nach der Gültigkeit einer entsprechenden VerschÄrfung für das Dualsystem >DD<, bzw. allgemeiner für ein Dualsystem E, F mit nicht notwendig metrisierbarem F, bildete den Gegenstand neuerer Untersuchungen, über deren Ergebnisse auf dem letzten Berkeley Symposium E. Mourier berichtete (vgl. [19]).Im ersten Kapitel der vorliegenden Arbeit des Verfassers wird demgegenüber eine Methode aufgezeigt, mit deren Hilfe, unter Verwendung des Minlosschen Satzes in seiner ursprünglichen Form, auf direktem Wege für das Dualsystem >D, D< der Nachweis gelingt, da\ eine schwache Verteilung auf B nicht nur -additiv, sondern automatisch straff ist (bzgl. der schwachen Topologie (D, D) in D) und sich somit eindeutig fortsetzen lÄ\t zu einer straffen Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem System 83 der Boreischen Mengen in D, welches den von den Zylindermengen erzeugten -Ring (B) umfa\t. Mit anderen Worten wird damit gezeigt, da\ man jeden VSP auffassen kann als straffe Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Boreischen Mengen in D. Wir sprechen dann auch von einer zufÄlligen Distribution.Im zweiten Kapitel betrachten wir spezielle zufÄllige Distributionen, nÄmlich Normal-verteilungen v, die aus Randverteilungen hervorgehen, welche n-dimensionale Normal-verteilungen sind, und beschÄftigen uns mit dem Problem der Äquivalenz und SingularitÄtzweier Normalverteilungen v₁ und v₂ in D. Für den Fall v₁ = v, v₂= v_{f 0}, wo v_{f 0}(Z) =v(Z – f₀), ZB fD, zeigte DUDLEY [6], da\ entweder Äquivalenz oder SingularitÄt vorliegt, wobei er ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für den Fall der Äquivalenz angibt. Aus der Theorie der gewöhnlichen stochastischen Prozesse ist nun bekannt, da\ die beiden Wahrschein-lichkeitsma\e, die zwei beliebigen Gau\schen Prozessen auf dem Raum ihrer Realisierungen entsprechen, entweder Äquivalent oder singular sind. Es lag deshalb nahe, nach einem Kriterium zu suchen, welches es einerseits gestattet, im Fall zweier beliebiger Normalverteilungen v₁ und v₂ in D zu entscheiden, wann Äquivalenz vorliegt, und welches andererseits die naheliegende Vermutung bestÄtigt, da\ für zwei Normalverteilungen in D dieselbe Alternative wie im eben zitierten klassischen Fall vorliegt. Dieses Problem wird gelöst, indem wir zeigen, da\ sich ein von Kallianfur-Oodaira [13] aufgestelltes Kriterium für die Äquivalenz zweier Normalverteilungen auf den Boreischen Mengen eines separablen Hilbertraumes auf den Distributionsraum D übertragen lÄ\t.Im dritten Kapitel beschÄftigen wir uns mit der Frage der Äquivalenz zweier beliebiger (nicht notwendig normaler) Wahrscheinlichkeitsverteilungen in D.Abschlie\end möchte der Autor Herrn Professor Dr. K. Krickeberg (Heidelberg) für die Anregung zu dieser Arbeit sowie für die Unterstützung wÄhrend ihrer Durchführung herzlich danken.     

Bounding the diameter of a distance regular graph by a function ofk d

Let be a distance regular graph with diameterd, and _d () the set of vertices at distanced from. is said to be thin if the induced subgraph on _d () is a union of cliques for every vertex. We show that the diameterd is bounded above by a function depending only onk _d, which is the cardinality of _d (), if is not thin. We also investigate thin distance regular graphs witha _d 0.     

Relèvement selon une isogénie de systèmes ℓ-adiques de représentations galoisiennes associés aux motifs

Résumé Soit :G _E H(Q ) un système de représentations galoisiennes -adiques associées à un motif sur un corps de nombresE et à valeurs dans un groupe algébriqueH. SoitHH une isogénie centrale telle que la structure de Hodge complexe se relève àH. Nous prouvons, au moins dans certains cas, que, après restriction à une extension finieE deE, le système de représentations galoisiennes se relève àH.

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Let :G _E H(Q ) be a system of -adic Galois representations associated to a motive over a number fieldE with values in the algebraic groupH. LetHH be a central isogeny such that the complex Hodge structure lifts toH. The main result is that, under some convenient hypothesis, and after restriction to a finite extension, the system of Galois representations lifts toH.

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Oblatum 1-VIII-1993 @ 10-X-1994     

Multiple wiener integrals and nonlinear functionals of a nuclear space valued Wiener process

In this work we develop techniques for the study of nonlinear functionals of a -valued Wiener processW _t, where is the dual of a countably Hilbert nuclear space. We construct stochastic integrals and multiple Wiener integrals of operator-valued processes with respect toW _t. The Wiener decomposition of the space of -valued nonlinear functionals ofW _t is established. We also obtain multiple stochastic integral expansions and representations of -valued nonlinear functionals ofW _t as operator-valued stochastic integrals of Itô type.This research was partially supported by CONACYT grants 22537 and PCEXCNA-040651, and Air Force Office of Scientific Research No. F49620 85 C 0144.Presently at CIMAT, A.P. 402 Guanajuato 36000, GTO, México.     

Galerkin methods for parabolic equations with nonlinear boundary conditions

A variety of Galerkin methods are studied for the parabolic equationu _t =(a(x) u),x ⁿ ,t (O,T], subject to the nonlinear boundary conditionu _v =g(x,t,u),x,t (O,T] and the usual initial condition. Optimal order error estimates are derived both inL ² () andH ¹ () norms for all methods treated, including several that produce linear computational procedures.The authors were partially supported by The National Science Foundation during the preparation of this paper.     

Présentations des groupes de Fischer (II)

In this paper we give Coxeter presentation (X, ) for the three Fischer groupsG=Fi₂₂, Fi₂₃, Fi₂₄; we apply methods exposed in the first part. Each of these groups is generated by a class of 3-transpositions (named here a Fischer class) in which elements ofX are chosen. A subset of is the set of all the relations (xy) ^m(x,y)=1, wherex andy are inX and wherem(x,y) means the order ofxy inG. We obtainG as a specified quotient of the Coxeter group (X, ) with the appropriate diagram .     

On the Continuity of Pathwise Solutions to Langevin Equations in Infinite Dimensions

We fix a rich probability space (,F,P). Let (H,) be a separable Hilbert space and let be the canonical cylindrical Gaussian measure on H. Given any abstract Wiener space (H,B,) over H, and for every Hilbert–Schmidt operator T: HBH which is (|{}|,)-continuous, where |{}| stands for the (Gross-measurable) norm on B, we construct an Ornstein–Uhlenbeck process : (,F,P)×[0,1](B,|{}|) as a pathwise solution of the following infinite-dimensional Langevin equation d _t =db _t +T( _t )dt with the initial data ₀=0, where b is a B-valued Brownian motion based on the abstract Wiener space (H,B,). The richness of the probability space (,F,P) then implies the following consequences: the probability space is independent of the abstract Wiener space (H,B,) (in the sense that (,F,P) does not depend on the choice of the Gross-measurable norm |{}|) and the space C _B consisting of all continuous B-valued functions on [0,1] is identical with the set of all paths of . Finally, we present a way to obtain pathwise continuous solutions :d _t =

On the newly generalized absolute Riesz summability of orthogonal series

[3] , [1], ¦C,,(t)¦ _k - . , , ¦R, , (t)¦ _k - ¦R, , (t)¦ _k - . (t)=1,k=1 [7], [9].

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This research was partially supported by the Hungarian National Foundation for Scientific Research under Grant#T 016 393.     

Combined free and forced laminar convection in internally finned square ducts

Analysis is presented for the heat transfer performance of square ducts with internal fins from each wall in the case of combined free and forced convection by fully developed laminar flow. Numerical results are obtained for the Nusselt number and the pressure drop parameter for various values of finlengths and heat source parameter. For various values of Rayleigh numbers, the Nusselt number increases with the increase in finlength and decreases with the increase in heat source parameter.

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Zusammenfassung Es wird eine Analyse für den Wärmeaustausch von quadratischen Rohren mit inneren Rippen an jeder Wand im Falle einer Kombination von freier und erzwungener Konvektion bei voll entwickelter laminarer Strömung gegeben. Numerische Resultate für die Nusselt-Zahl und den Druckabfall-Koeffizienten für verschiedene Rippenbreiten und Parameter der Wärmequelle werden erhalten. Für einige Werte der Rayleighzahl wächst die Nusselt-Zahl mit der Rippenbreite und fällt mit wachsendem Parameter der Wärmequelle.

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Nomenclature A cross sectional area of the duct - B _2k Bernoulli numbers - c _p specific heat at constant pressure - D _h hydraulic diameter of finless duct - E _n complex constants (20) - F heat source parameter,Q/c _p - F _n () defined by Equation (14) - G(, , , ) Green's function (15, 16) - g gravitational acceleration - H() Heaviside function - h() defined by Equation (22) - i imaginary unit,i ²=–1 - ImW imaginary part ofW - K(,t) kernel of the integral equation, defined by (25) - k thermal conductivity - L pressure drop parameter, –D _h ² (p/x+ _w )/ - l fin length of each fin, Figure (1) - N _u Nusselt number, Equation (32) - p pressure - Q heat generation rate - R() defined by Equation (26) - R _A Rayleigh number, _w gc _p D _h ⁴ /k - ReW real part ofW - T dimensionless temperature, (t–t _w )/(c _p D _h ² /k) - T _mx dimensionless mixed mean temperature, Equation (33) - t fluid temperature - t ₀ reference temperature atx=0 - u local axial velocity - mean axial velocity - V u/ - W complex function defined by Equation (6) - w suffix denoting wall conditions - W ₀ defined by Equation (9) - W ₁ W–W ₀, Equation (18) - x axial coordinate along the length of the duct - y, z cross-sectional coordinates - constant temperature gradient, t/x - coefficient of thermal expansion of the fluid - fluid density - _n - dynamic viscosity - () Dirac delta function - ² Laplacian operator, ²/y ²/²/z ² - , y/D _h ,z/D _h      

D λ -cycles in 3-cyclable graphs

Letk and be positive integers, andG a 2-connected graph of ordern with minimum degree and independence number. A cycleC ofG is called aD -cycle if every component ofG – V(C) has order smaller than. The graphG isk-cyclable if anyk vertices ofG lie on a common cycle. A previous result of the author is that if k 2, G isk-connected and every connected subgraphH ofG of order has at leastn +k ² + 1/k + 1 – vertices outsideH adjacent to at least one vertex ofH, thenG contains aD -cycle. Here it is conjectured that k-connected can be replaced by k-cyclable, and this is proved fork = 3. As a consequence it is shown that ifn 4 – 6, or ifG is triangle-free andn 8 – 10, thenG contains aD ₃-cycle orG , where denotes a well-known class of nonhamiltonian graphs of connectivity 2. As an analogue of a result of Nash-Williams it follows that ifn 4 – 6 and – 1, thenG is hamiltonian orG . The results are all best possible and compare favorably with recent results on hamiltonicity of graphs which are close to claw-free.     

Staircase kernels for orthogonald-polytopes

LetS be a finite union of boxes inR ^d . Forx inS, defineA _x ={yx is clearly visible fromy via staircase paths inS}, and let KerS denote the staircase kernel ofS. Then KerS={A _x x is a point of local nonconvexity ofS}. A similar result holds with clearly visible replaced by visible and points of local nonconvexity ofS replaced by boundary points ofS.Supported in part by NSF grant DMS-9207019.     

Exact Values of Widths of Classes of Analytic Functions on the Disk and Best Linear Approximation Methods

In the Hardy space H _p, (p1, 0< 1, H _p,1 H _p) we develop best linear approximation methods (previously studied by Taikov and Ainulloev) for the classes W(r,,) of analytic functions on the unit disk and calculate the exact values of linear, Gelfand, and informational n-widths of these classes.     

Necessary and sufficient condition of the existence of global Hopf bifurcation for Hamiltonian systems

ForH C ² (,R) where 0 R ²ⁿ ,H (0)=0 and detH(0)0, the paper proves that there is a global Hopf bifurcation fromx=0 for Hamiltonian systemx=JH(x) iffJH(0)possesses purely imaginary eigenvalues. The work improves the corresponding result of J.C.Alexander and J. Yorke (Amer. J. Math., 100 (1978), 263–292).     

The complexity of a class of infinite graphs

IfG _k is the family of countable graphs with nok vertex (or edge) disjoint circuits (1<k<) then there is a countableG _k G _k such that every member ofG _k is an (induced) subgraph of some member ofG _k , but no finiteG _k suffices.     

Bijectivity of -endomorphisms of ℬ(H) and the unilateral shift

LetH be a separable infinite-dimensional complex Hilbert space. We prove that if : (H)(H) is a^*-preserving ring homomorphism whose range contains a rank-one operator and an operator with dense range, then is an isometric linear or conjugate-linear algebra automorphism of (H). In particular, if the unilateral shift is contained in the range of a^*-endomorphism of (H), then is bijective.Research partially supported by the Hungarian National Research Science Foundation, Operating Grant Number OTKA 1652 and K&H Bank Ltd., Universitas Foundation.     

The trace to subsets ofR n of Besov spaces in the general case

R ⁿ. , , , F R ⁿ, F , R ⁿ R ⁿ . ^p,q (Rⁿ), >0, 1, q, — ( ) Rⁿ. , ^p,q (Rⁿ) ^F Rⁿ. , q B ^p,q (F), = – (n–)/, >0, — « », ad — F, . , . : , F=R ^d,F— « » F— R ⁿ, « », F. .

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This work has been supported in part by the Swedish Natural Science Research Council.     

An infinite dimensional analogue of the Albeverio-Röckner's theorem on Fukushima's conjecture

LetX be the solution of the SDE:dX _t = (X _t)dB _t +b(X _t)dt, with andb C _b (R) such that >0 for some constant , andB a real Brownian motion. Let be the law ofX onE=C([0, 1],R) andk E* – {0}, whereE* is the topological dual space ofE. Consider the classical form: _k (u, v)=u / kv / kd, whereu andv are smooth functions onE. We prove that, if _k is closable for anyk in a dense subset ofE* and if the smooth functions are contained in the domain of the generator of the closure of _k , must be a constant function.