一个数学问题的再探讨

命题若复数z_1,z_2,z_3满足z_1+z_2+z_3=0,|z_1|=|z_2|=|z_3|=1,则复平面内以z_1,z_2,z_3所对应的点为顶点的三角形是内接于单位圆的正三角形。文[1]的作者给出了该命题的一种证法。并探讨了该命题的逆命题。若复平面内以模为1的复数z_1,z_2,z_3所对应的点为顶点的三角形是正三角形,则z_1+z_2+z_3=0。容易证明此命题也正确(略)。作者还对该命题进行了推广,笔者读后受益非浅。本文将进一步探讨以上两个命题在解题中的应用。下面以例示明。例1 (1986年苏州市数学竞赛题) 已知复数z满足|z|=1,z~(11)+z=1,求z。解∵ |z|=1, ∴|z~(11)|=|z|=|-1|=1 又z~(11)+z+(-1)=0 ∴z~(11),z,-1所对应的三点构成一个正三角形。故z=(-1)(cos120°±sin120°)=(1/2)±3~(1/2)/2i 例2 (1987年第二届全国高中数学冬令营赛题)     

复数几何意义中一个有趣的问题

关于复数几何意义的有关伺题的研究,从各种书刊资料的情况综合起来看,可以说已经够全面和完善了.但有一个似乎不是问题的问题却至今未引起注意:一个复数或复数式到底有几种几何意义?这个问题的提出好象有点扯谈,因为教材已明确指出:很明显,向量OZ是由点Z唯一确定;反过来,点Z也可由向量OZ唯一确定的”(见高中《代数;甲种本》第二册 P.197)。据此,便断言复数或复数式的几何意义应该是唯一的.如果我们仔细研究一下教材中的这段阐述,不难发现,这里要求的向量是以点O为起点。有时我们又可视其为自由向量,则这时对同一个复数,就可作出几种不同的几何解释。如复数z_1+z_2,它就可解释为由z_1、z_2和x_1+z_2所对应的向量构成的     

一道复数题的解法及反思

复数问题的求解。首先要掌握好复数的各种表示形式及运算法则.其次对复数模、共轭、幅角的性质及几何意义也要正确把握.综合利用复数的性质及几何意义求解,常常能简捷、巧妙地解答问题.其中,转化的等价性要特别注意,我们从一道复数题的解法及反思来说明它. 问题1 已知复数z,满足|z|=1,且z1997     

一类含绝对值方程的几何解法

含绝对值的方程,一般解法是分区间讨论,但计算量较大.如果渗透数形结合的思想,运用复数与解几知识求解,可收到事半功倍之效。例1 求方程|x 5] |x-1|=8的实数解. 解:若把x看成复数,则此方程是以z_0=-2为中心,长半轴a=4,半焦距c=3的椭圆方程.此方程的实数解就是椭圆与实轴交点对应的复数:x=-2±4即-2或-6. 一般地,形如|x-c_1| |x-c_2|=2a(a>0,c_1相似文献   

利用|z_1 z_2|~2 |z_1-z_2|~2=2|z_1|~2 2|z_2|~2解题

关于复数模的有关性质之一有公式|z_1 z_2|~2 |z_1-z_2|~2=2|z_1|~2 2|z_2|~2其几何意义是:平行四边形两对角线的平方和等于四边平方和,利用它解决一类有关复数模的问题不但有效,而且解题过程简单,方法新颖。例1 已知|z 3 4i|~2 |z-3-4i|~2=80求|z|:并说明z点的轨迹表示的图形。分析若设z=x yi代入已知整理,则会步骤冗长,利用     

证明·猜想·反驳——对一个数学问题的探索

在文献[1]中第100页有这样一个问题: 若复数z_1,z_2,z_3满足z_1 z_2 z-3=0,|z_1|=|z_2|=|z_3|=1,则复平面内以z_1,z_2,z_3所对应的点为顶点的三角形是内接于单位圆的正三角形。作者给出了一种证法。我们学习数学,在解决了一个数学问题之后,如果我们能继续对该问题的方方面面作进一步的探索,那么,我们就有可能得出更多、更漂亮的结果。从复数的三角表示着手,我们可得证法:依题意可     

z_1 z_2与z_1-z_2的辩证处理

复数集中,从形式上看,z_1 z_2与z_1-z_2是不同的运算,但由于负数概念的引入,“加”与“减”可以互相转化。这样z_1 z_2与z_1-Z_2实际上可以统一起来。它们的这种辩证统一,给复数运算带来极大方便。相比之下,在几何意义应用方面,z_1-z_2比z_1 z_2更优。这一方面由于|z_1-Z_2|表示了复平面内z_1、z_2两个复数对应点间的距离,另一方面复数z_1、z_2所对应的点与差z_1-Z_2所对     

复数在几何中的应用

复数可以用点和向量表示,复数集与复平面上的点集及复平面上从坐标原点发出的向量集具有一一对应关系,复数的加减法运算可以按照向量的加减法进行,若设z=r(cosθ isinθ)复数z_1与向量OZ_1对应,那么Z·z_1的几何意义是把向量OZ_1绕o点按逆时针方向旋转θ角,再把|OZ_1|变为原来的r倍,而z-1/z(z≠0)的几何意义则是把向量OZ_1绕o点按顺时针方向转θ角,再把|OZ_1|变为原来的1/r倍,根据复数及其运算的几何意义,平面上某些图形的几何关系可以通过复数关系来刻划,从而一些几何问题就可以通过一系列的复数运算,巧妙地导出所需的结果。     

复数取模

复数等式两边取模是一种运算 ,它可以把复数问题变为实数问题求解 ,运用复数取模 ,可以达到顺利求解之目的 .例 1(课本Ｐ195第 16题 )已知ｚ1 ,ｚ2 ∈Ｃ ,ｚ1 ·ｚ2 =0 .求证 :ｚ1 ,ｚ2 中至少有一个是 0 .证　由ｚ1 ·ｚ2 =0两边取模有 :|ｚ1 ·ｚ2 |= 0 ,则 |ｚ1 ||ｚ2 |=0 ,∴ |ｚ1 |,|ｚ2 |中至少有一个为 0 ,从而ｚ1 ,ｚ2 中至少有一个是 0 .例 2　试求与自身平方共轭的复数 .解　设所求复数为ｚ ,由题意有 : ｚ =ｚ2 ,两边取模有 :| ｚ|=|ｚ2 |,则 |ｚ|=|ｚ|2 ,∴ |ｚ|=0或 1.由 |ｚ|=0得ｚ =0 ;由 |ｚ|=1, ｚ =1ｚ,方程变为ｚ2 =1ｚ,…     

三复数组成正三角形的充要条件教学探讨

统编高中课本第三册复数复习题第18题“求证z_1、z_2、z_3组成一等边三角形的三个顶点的充要条件是它们适合等式z_(1~2) z_(2~2) z_(3~2)=z_2z_3 z_3z_1 z_1z_2”是一道涉及知识面较广的综合题,教学中有一定的困难。为了克服这个难点,在复习课中,除了让学生掌握复数的基本概念和基本运算法则外,还应把向量的有关概念及表示法,尤其是两个自由向量间的夹角及其计算向学生作必要的补充,以便充实学生的学习内容。求两个自由向量的夹角,既是解决第18题的关键,也是难点。关于复平面内两个自由向量的夹角可分以下三种情况来讨论: (1)有公共起点的两个向量的夹角,     

复数的运算

复数是多种知识的汇合点,集代数、三角、几何于一身,从中可生出诸般变化,在数学竞赛中占有独特的地位。复数的表现形式有代数形式、三角形式、点、向量等等,复数的运算既包含实数运算,又有别于它而有自身的特色,要处理好有关复数的运算首先要注意选用合适的形式、全面考虑问题。先看一个较为简单的例子。例1 设两复数a、β满足a~2 β~2=aβ,|a-β|=2,试求 (1)β/a的辐角主值;(2)|a|, (3)在复平面上以复数O,a,β所对应的点。O,A,B为顶点的三角形的面积。     

一个复数命题的应用

本文给出复平面上两个三角形相似的充要条件:(Ⅰ),然后讨论它的应用。命题(Ⅰ):△z_1z_2z_3和△z1′z2′z3′同向相似的充要条件是此处z_1,z_2,z_3表示△z_1z_2z_3的三顶点相应的复数     

运用替换证一高考复数题

八七年高考数学复数题: 设复数z_1和z_2满足z_1■+■z_1+A(?)=0①,其中A为不等于0的复数,证明: (1)|z_1+A||z_2+A|=|A|~2; (2)(z_1+A)/(z_2+A)=|(z_1+A)/(z_2+A)| 观察到欲证式中反复出现z_1+A和z_2+A,     

为什么规定复数0的辐角是任意的

规定复数0的辐角是任意的,就是规定模为0的复数可以有任意辐角值但不随辐角的变化而变化,实质上也就是规定复数0是唯一的。为什么如此规定呢? 首先从正面解释。设复数z_1、z_2的模为0,辐角分别为θ_1、θ_2。将z_1、z_2分别写成三角形式: z_1=O(cosθ_1 isinθ_1),z_2=O(cosθ_2 isinθ_2) 因为:可与实效一起按实效的四则运算法则进行四则运算,所以对任意的θ_1,θ_2都有: z_1=O·cosθ_1 i·O·sinθ_1=O Oi z_2=O·cosθ_2 i·O·sinθ_2=O Oi 所以z_1=z_2=O 注意:这里利用了对虚数单位:的规定和复数相     

一个命题的应用

读了贵刊82年第4期中《三复数组成正三角形的充要条件教学探讨》一文很受启发,王先俊同志采用循序渐进的编排方法,对命题“z_1,z_2,z_3组成一等边三角形的三个顶点的充要条件是它们适合等式z_1~2+z_2~2+z_3~2=z_2z_3+z_3z_1+z_1z_2”作了多种证明,考虑到该命题很有实用价值,我想在王文的基础上再补充讲授运用该命题来方便地解决一类涉及正三角形顶点的计算,证明和求轨迹等问题,以提高学生对此命题的认识。例1.已知一个正三角形的两个顶点分别是A=1,B=2十i,求表示第三个顶点C的复数。解:据命题性质有     

若干复数问题的几何直观

学了复数及其运算以后,一般学生都不习惯应用它们的几何意义思考问题,这当然不利于学生对复数的几何意义的掌握,也影响他们解题能力的提高,因此在教学过程中适当地补充一些应用这方面知识的例题,有助于学生逐步地形成应用复数几何意义的意识和提高应用这方面知识的能力,下面的一些例题可供参考。例1、设z是满足|z|=1的复数,求|z-2|的范围。解:设复数z在复平面上对应的点为Z,依题设,Z位于以原点为圆心的单位圆上。从而     

“一题多解”与“一题多变”一例

“一题多解”与“一题多变”,可以培养学生多角度、多层次地去思考问题和解决问题,从而养成积极思维的习惯。同时也是引导学生认真钻研课本、从“题海”中解放出来的有效措施。现举高中代数(甲种本)第二册P.239第18题为例: 已知复平面内一个等边三角形的两个顶点分别表示复数1,2 i,求第三个顶点对应的复数。分析:怎样由向量z_1z_2得到向量z_1z_2? 解一设z_1=1, z_2=2 i, z_3=x_3 y_3i, z_4=x_4 y_4i 依题意: z_1z_3=z_1z_2(cos(π)/3 isin(π)/3),     

拟似共形映照与一阶非线性椭圆型方程组的函数论

<正> 在全文中,我们记 z=x+iy,w=u+iv,采用意义下的广义导数真 w_z,w_(?)[5]和广义解,并且假设 w∈W_p~(1),(?)>2.假设函数 g(z_1,(?)_1,z_2,(?)_2,z_3,(?)_3) 对于平面区域 D 中的点 z_1和任意的复数 z_2 与 z_3 几乎处处都有定义,固定 z_1 与 z_2 时,关于 z_3 适合李普希兹条件     

关于方程 Z~2=■

解:由z~2=z两边求模,得|z|~2=|z|=|z||z|=1(|z|≠0)。再用Z(≠0)乘方程两边得z~3=z·z=1。这是高中代数复数中的一道习题: 已知z是虚数,解方程z~2=z 此题的解法通常利用复数的代数式化为二元方程组分别求z的实部和虚部,也有化为三角式求z的模及其辐角的。但都不如以下解法简便。 32     

复平面上点的轨迹问题

复平面上点的轨迹问题,既是复数四则运算在几何上的应用,又是曲线方程的必要补充,近年来受到人们的普遍重视。笔者在教学中采取了以下两点措施。一复习有关复数的基础知识。要点如下: 1 设复平面上的两点P_1、P_2所对应的复数为z_1、z_2,则向