数学问题解答

１９９９年１０月号数学问题解答（解答由问题提供人给出）１２１６．设复数α１、α２、…、αｎ,ｎ≥３,有｜α１｜＝｜α２｜＝…＝｜αｎ｜＝１;试证：ｚ＝（α１＋α２）（α２＋α３）…（αｎ＋α１）α１α２…αｎ是实数;证明　因为ｚ＝〔（α１＋α２）（α２＋α３）…（αｎ＋α１）α１α２…αｎ〕＝（α１＋α２）（α２＋α３）…（αｎ＋α１）α１α２…αｎ＝〔（α１＋α２）α１α２〕〔（α２＋α３）α２α３〕…〔（αｎ＋α１）αｎα１〕α１α２α３…αｎ·α１α２·α２α３·…·αｎα１＝（α１＋α…     

“1／a_1＋1／a_2＋…＋1／a_n≥n~2／（a_1＋a_2＋…＋a_n）”的灵活运用

“１／ａ_１＋１／ａ_２＋…＋１／ａ_ｎ≥ｎ~２／（ａ_１＋ａ_２＋…＋ａ_ｎ）”的灵活运用５５０００３贵州教育学院数学系李长明对应用极为广泛的三个平均值之间的不等式在现行高中代数课本下册上，只就ｎ＝２，３论证了算术平均不小于几何平均，而ｎ＞３时，因证明较?..     

数学归纳法证明中的项数问题

数学归纳法证明中的项数问题５５０００４贵阳市第六中学邢益民在中学数学中，用数学归纳法证明一类恒等式时，如下两个问题常常使学生的解题思路受阻．１当ｎ＝１时的项数例１　　用教学归纳法证明（ｎ＋１）十（ｎ＋２）＋（ｎ十３）＋…＋３ｎ＝ｎ（４ｎ＋１）（ｎ∈Ｎ...     

1999年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

一、选择题１．给定公比为ｑ（ｑ≠１）的等比数列｛ａｎ｝,设ｂ１＝ａ１＋ａ２＋ａ３,ｂ２＝ａ４＋ａ５＋ａ６,…,ｂｎ＝ａ３ｎ－２＋ａ３ｎ－１＋ａ３ｎ,…,则数列｛ｂｎ｝（　　）．　（Ａ）是等差数列　　（Ｂ）是公比为ｑ的等比数列　（Ｃ）是公比为ｑ３的等比数列　（Ｄ）既非等差数列又非等比数列解　由题设,ａｎ＝ａ１ｑｎ－１,则　ｂｎ＋１ｂｎ＝ａ３ｎ＋１＋ａ３ｎ＋２＋ａ３ｎ＋３ａ３ｎ－２＋ａ３ｎ－１＋ａ３ｎ＝ａ１ｑ３ｎ＋ａ１ｑ３ｎ＋１＋ａ１ｑ３ｎ＋２ａ１ｑ３ｎ－３＋ａ１ｑ３ｎ－２＋ａ１ｑ３ｎ－１＝ａ１ｑ３…     

一类三角恒等式的统一推广

《数学通报》１９９７年第９期“一个三角恒等式的推广”一文中给出了如下一类三角恒等式：∑２ｎｋ＝１（ｓｉｎｋπ２ｎ＋１）２ｍ＝（２ｎ＋１）Ｃｍ２ｍ２２ｍ,（１）∑ｎｋ＝１（ｓｉｎｋπ２ｎ＋１）２ｍ＝（２ｎ＋１）Ｃｍ２ｍ２２ｍ＋１,（２）∑２ｎｋ＝１（ｃ...     

一道课本不等式的再推广

文［１］对高中代数下册中的习题：已知ａ，ｂ，ｃ＞０，求证：２（ａ３＋ｂ３＋ｃ３）≥ａ２（ｂ＋ｃ）＋ｂ２（ａ＋ｃ）＋ｃ２（ａ＋ｂ）（１）从变元指数上进行了推广，得到：若ａ，ｂ，ｃ＞０，ｋ，ｍ，ｎ∈Ｎ，ｍ＋ｋ＝ｎ，ｍ≥ｋ，则２（ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ）≥ａｍ（...     

两个不等式的简捷证法

下面给出的两类不等式问题,一般是通过代换的方法证明．本文给出直接简捷的证明．命题１　设ｘｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１,２,…,ｎ）且ｘ２１１＋ｘ２１＋ｘ２２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ１＋ｘ２ｎ＝ａ（０＜ａ＜ｎ）,求证：ｘ１１＋ｘ２＋ｘ２２１＋ｘ２２＋…＋ｘ２ｎ１＋ｘ２ｎ≤ａ（ｎ－ａ）①证　由题设易知：１１＋ｘ２１＋１１＋ｘ２２＋…＋１１＋ｘ２ｎ＝ｎ－ａ．由于　１１＋ｘ２ｋ＋ｎ－ａａ·ｘ２ｋ１＋ｘ２ｋ　　≥２１１＋ｘ２ｋ·ｎ－ａａ·ｘ２ｋ１＋ｋ２ｋ　　＝２ｎ－ａａ·ｘｋ１＋ｘ２ｋ）（ｋ＝１,２,…,ｎ）,此ｎ式相…     

单元目标检测、试题交流、寒假生活 参考解答

［单元目标检测］代数初步知识目标检测１．∨∨∨∨∨;∨∨∨．二、１．６ａ２ｃｍ２,ａ３ｃｍ３;２．８ｃｍ;３．ｘ（２０－ｘ）ｃｍ２;４．ｙ与ｘ的平方差与ｘ、ｙ的积．的商５．０;６．１,（可根据条件求得ｘ＝１,ｙ＝２）;７．ａ＝１;８．４８ｘ＝１２００．三、１．５（ａ３－ｂ３）－９,２．１２（２ｘ－ｙ２）３．３ｎ＋１和３ｎ＋２,４．（１＋４．１×１２‰）ａ,５．１（１ａ＋１ｂ）;６．２Ｓ（Ｓｘ＋Ｓｙ）千米时,７．（１＋１０％）（１－５％）ａ吨,８．ｎ－ｎ４－（ｎ４－５）四、１．…     

关于两类分式不等式问题

文［１］例６试图将一道ＩＭＯ试题推广为“若ｎ（ｎ≥３）个非负实数ａ１,ａ２,…,ａｎ满足ａ１ａ２＋ａ２ａ３＋…＋ａｎａ１＝１,及ｎｉ＝１ａｉ＝ｓ,且ｍ≥１,则ｎｉ＝１ａｍｉｓ－ａｉ≥ｎ（３－ｍ）／２ｎ－１①当且仅当ａ１＝ａ２＝…＝ａｎ＝１ｎ时取等...     

数学问题解答

数学问题解答１９９７年３月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０６１已知ｆ（ｎ）是定义在整数集上的一个函数，并且满足下述条件：（１）ｆ（ｆ（ｎ））＝ｎ；（２）ｆ（ｆ（ｎ＋２）＋２）＝ｎ；（３）ｆ（０）＝１．试求函数ｆ（ｎ）的表达式．解由（２）得：ｆ（...     

n次多项式系统不变直线条数的两个估计

该文将ｎ次多项式系统简称为Ｅｎ系统。该文证明了Ｅｎ系统当ｎ≥３时可存在Ｒｎ＝２ｎ＋１＋（－１）＾ｎ２条方向各异的不变直线及当ｎ≥２时至多存在ｎ组平行的不变直线；本文举例说明，当ｎ≥２时，Ｅｎ系统可以存在Ｓｎ＝２ｎ＋３＋（－１）＾ｎ＋１２条不变直线。提出了二个估计：（１）当ｎ≥２时，Ｅｎ系统至多存在Ｓｎ条不变直线，证明了ｎ＝２，３，４时这一估计是对的；（２）当ｎ≥３３时，Ｅｎ系统至多存在Ｒｎ条方向各     

自然数的一个性质

我班某学生发现了一个自然数的性质,举例如下：９２－３２＝２（４＋５＋６＋７＋８＋９）－（９－３）;１３２－７２＝２（８＋９＋１０＋１１＋１２＋１３）－（１３－７）;１００２－５７２＝２（５８＋５９＋…＋１００）－（１００－５７）．上面各等式中,前一个小括号内是连续自然数之和且这些自然数正好是等式左边被减数与减数之间的数．很明显有：对于ｎ,ｍ∈Ｎ,且ｎ＞ｍ,则有ｎ２－ｍ２＝２［（ｍ＋１）＋（ｍ＋２）＋…＋ｎ）］－（ｎ－ｍ）．对这一问题笔者作进一步探讨,得到如下结论．性质１　ｎ３－ｍ３＝３∑ｎｉ＝ｍ…     

一类与多项式相关的组合恒等式

一类与多项式相关的组合恒等式王良成（四川省达县师专６３５０００）本文给出一类与多项式相关的组合恒等式，由此可以产生许多有用的组合恒等式．定理设是１＋１次多项式，则证明１°当ｎ－１，即ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ０时，则即（１）式成立．２°假设ｎ＝ｋ，即...     

一组互相关联的不等式命题

大家知道，由ｎ元均值不等式可方便地得到如下一个不等式：设ａｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１，２，…，ｎ，ｎ≥２），则∑ｎｉ＝１ａｉ∑ｎｉ＝１１ａｉ≥ｎ２；（１）不等式（１）相当有用，对它作适当代换，可引出一组互相关联的不等式命题；首先，对（１）作代换（Ｓ－ａ１，Ｓ－ａ２，…，Ｓ－ａｎ）→（ａ１，ａ２，…，ａｎ），其中Ｓ＝∑ｎｉ＝１ａｉ，得命题１　设ａｉ∈Ｒ＋（ｉ＝１，２，…，ｎ，ｎ≥２），∑ｎｉ＝１ａｉ＝Ｓ，则∑ｎｉ＝１１Ｓ－ａｉ≥ｎ２（ｎ－１）Ｓ　；（２）证明　由（１），∑ｎｉ＝１（Ｓ－ａｉ）∑ｎｉ＝１１Ｓ－…     

关于丢番图方程x^2±2^m=y^n

本文证明了：方程ｘ２＋２ｍ＝ｙｎ，ｘ，ｙ，ｍ，ｎ∈Ｎ，ｇｃｄ（ｘ，ｙ）＝１，ｎ＞２仅有有限多组解（ｘ，ｙ，ｍ，ｎ），而且当（ｘ，ｙ，ｍ，ｎ）≠（５，３，１，３），（１１，５，２，３），（７，３，５，４）时，ｎ是适合ｎ≡７（ｍｏｄ８）以及２３≤ｎ＜８．５·１０６的奇素数，ｍａｘ（ｘ，ｙ，ｍ）＜Ｃ１；方程ｘ２－２ｍ＝ｙｎ，ｘ，ｙ，ｍ，ｎ∈Ｎ，ｇｃｄ（ｘ，ｙ）＝１，ｙ＞１；ｎ＞２仅有有限多组解（ｘ，ｙ，ｍ，ｎ），而且这些解都满足ｎ＜２·１０９炉以及ｍａｘ（ｘ，ｙ，ｍ）＜Ｃ２，这里Ｃ１，Ｃ２是可有效计算的绝对常数．     

目标检测参考答案

代数初步知识一、１、１２ａ－１２；２、（ｍ＋５）（ｍ－５）；３、９５８ａ；４、ｘ·１ｘ＝１二、１、２；２、０。三、ｚ＝５ｘ＋４ｙ，当ｘ＝１．２５，ｙ＝２．５时，ｚ＝１６．２５（元）。四、１、ｘ＝１８，２、ｘ＝１２。五、乙队每天挖９０米，设乙队每天挖ｘ...     

一个使用公式a_n=S_n-S_(n-1)应注意的条件

一个使用公式ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１应注意的条件陆志昌（山西太原幼儿师范学校０３００２７）１问题的提出已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ与ａｎ有下列关系：ａ１＝３，ａｎ＋１＝２Ｓｎ＋２ｎ＋１，求ａｎ．解ａｎ＋１＝２Ｓｎ＋２ｎ＋１（１）ａｎ＝２Ｓｎ－１＋２ｎ－...     

自然数方幂和的一个性质的证明

自然数方幂和的一个性质的证明湖南浏阳十一中刘会成令Ｓｋ（ｎ）＝１ｋ＋２ｋ＋…＋ｎｋ（ｋ≥０，ｋ∈Ｚ）．文［１］，［２］，［３］均提到下面一个性质：Ｓ２ｋ（Ｎ）＝Ｓ２（ｎ）Ｐ２（ｎ）（ｉ）Ｓ２ｋ＋１（ｎ）＝Ｓ２１（ｎ）Ｐ１（ｎ）（ｉｉ）其中ｋ为自然数，...     

第一周初二(上)代数综合练习

一、填空题（１２分）１．如果ｘ２＋ａｘ＋９＝（ｘ－３）２,则ａ＝,５ｘ２－３ｘ＋ｂ＝（５ｘ＋２）（ｘ－１）,则ｂ＝．２．当ｘ时,分式－ｘｘ２＋５的值是正数,当ｘ＝时,１３－ｘ＝３．３．已知方程（ａ＋３）ｘ＝３,当ａ时,方程有唯一解,当ａ时,它无解．４．已知等式２ａ－ｂｎ＋ａ＝ｎ,当ｎ≠２时,ａ＝．５．方程１ｘ＋２－３＋ｘｘ＋２＝０的增根是,化简４ｘ２－１４ｘ２＋４ｘ－３＝．６．计算１ｘ＋２－２ｘ＋５ｘ＋２＝．二、选择题（１５分）１．下列分解因式错误的是（　）．（Ａ）ｘ４－８ｘ２＋１６＝（ｘ＋２）…     

一个代数不等式与一类几何不等式的指数推广

本文介绍一个代数不等式,应用它直接将一类常见的几何不等式进行指数推广．定理若ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ＋,ｎ∈Ｎ且ｎ≥２,则ａｎ＋ｂｎ＋ｃｎ３≥（ａ＋ｂ＋ｃ３）ｎ（＊）当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时等号成立．证当ｎ＝２时,∵ａ２＋ｂ２＋ｃ２３－（ａ＋ｂ＋ｃ３）２＝（ａ－ｂ...