Automatic integration of a stiff system using ellipsoidal norm of the error-vector for error-control

The truncation error in the One-Step-Predictor-Corrector (OSPC) method of integrating a stiff system of Ordinary Differential Equations (ODE's) has been obtained. A new method of error-control for the purpose of automatic choice of stepsize has been developed. It is shown that if the error criterion is imposed on a suitable ellipsoidal norm of the vector of errors, the growth of global error is linear. Numerical tests show that this method of error-control leads to more accurate solutions than the conventional method which uses only a scalar error for controlling the time-step.

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Résumé On a déterminé l'erreur de troncature de la méthode basée sur la prédiction et la correction à un pas (OSPC) qui intègre un système rigide d'équations différentielles ordinaires (ODE's). Une nouvelle méthode de contrôle des erreurs a été établie afin que le choix de grandeur du pas se fasse automatiquement. On a démontré que la croissance de l'erreur globale est linéaire si le critère d'erreur est appliqué à une norme ellipsoidale appropriée du vecteur des erreurs. Des essais numériques démontrent que cette méthode de contrôle de l'erreur rend les solutions plus précises que la méthode conventionelle qui ne fait appel qu'à l'erreur scalaire afin de contrôler le pas d'intégration.

     

Temperature coefficients for global stability in a reactor with two-temperature feedback

The non-linear stability of a nuclear reactor system with two-temperature feedback has been analysed. Using Welton's criterion as well as Liapounov's second method, it has been shown that if the delayed temperature coefficient lies between certain limits of opposite signs, the system will be globally and asymptotically stable. It has also been proved that the region of global stability in the parametric plane of temperature coefficient of reactivity, obtained from Welton's criterion, contains that obtained from Liapounov's second method with a Liapounov function used in this work.

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Résumé On a analysé la stabilité non-linéaire d'un système de réacteur nucléaire avec contre-réaction à deux températures. En employant le critère de Welton aussi bien que la deuxième méthode de Liapounov, on a montré que le système est stable globalement et asymptotiquement, si le coefficient retardé de la température se trouve entre certaines limites des signes opposés; on a aussi constaté que la région de la stabilité globale en régime paramétrique des coefficients de réactivité des températures, obtenue du critère de Welton, contient celle obtenue de la deuxième méthode de Liapounov avec une fonction Liapounov employée dans cet article.

     

Propagation of moments and regularity for the 3-dimensional Vlasov-Poisson system

Summary We prove that, if the initial data has moments inv higher than three, then the solution of Vlasov-Poisson has also moments inv higher than three. We deduce from this different regularity results on the local density, the force field or the solution itself. Also we give a new uniqueness result, and new regularity results for solutions satisfying only the energy andL bounds. Our proofs are based on a new representation formula and logarithmic estimates for the force field.

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Résumé Nous montrons que, si la donnée initiale possède des moments env plus élevés que trois, alors la solution de l'Equation de Vlasov-Poisson a aussi des moments plus élevés que trois. Nous en déduisons différents résultats de régularité sur la densité locale, le champ de force ou la solution elle-même. Nous donnons également un nouveau résultat d'unicité et de nouveaux résultats de régularité pour les solutions vérifiant uniquement les estimations d'énergie et les bornesL . Nos démonstrations sont fondés sur une nouvelle formule de représentation et des estimées logarithmiques sur le champ de force.

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Oblatum 14-I-1991     

The inverse scattering problem for semi-infinite crystals

The inverse problem for the scattering by semi-infinite crystals, is studied in the one- and three-dimensional cases. The three-dimensional problem is reduced to a system of one-dimensional coupled ones. The inversion procedure is applied to one-dimensional differential equations to obtain the Fourier components of the potential describing the crystal, in terms of the scattering amplitudes and surface states information. The analytic properties of the scattering amplitudes are analyzed by using matching conditions.

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Sommaire Le problème inverse de la diffusion par cristaux semi-infinis est étudié dans les cas à une et trois dimensions. Le problème à trois dimensions est réduit à celui de systèmes couplés à une dimension. Le procédé d'inversion est appliqué aux équations différentialles à une dimension pour obtenir les composés de Fourier du potentiel décrivant le crystal, en fonctión des amplitudes de diffusion et des états de surface donnés. Les propriétés analytiques des amplitudes de diffusión sont analysées en utilisant des conditions de continuité.

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The financial support has been provided by Junta de Energia Nuclear (Madrid).     

An algorithm for computing a Padé approximant with minimal degree denominator

In this paper, a new definition of a reduced Padé approximant and an algorithm for its computation are proposed. Our approach is based on the investigation of the kernel structure of the Toeplitz matrix. It is shown that the reduced Padé approximant always has nice properties which the classical Padé approximant possesses only in the normal case. The new algorithm allows us to avoid the appearance of Froissart doublets induced by computer roundoff in the non-normal Padé table.     

A hyperchaotic system from the Rabinovich system

This paper presents a new 4D hyperchaotic system which is constructed by a linear controller to the 3D Rabinovich chaotic system. Some complex dynamical behaviors such as boundedness, chaos and hyperchaos of the 4D autonomous system are investigated and analyzed. A theoretical and numerical study indicates that chaos and hyperchaos are produced with the help of a Liénard-like oscillatory motion around a hypersaddle stationary point at the origin. The corresponding bounded hyperchaotic and chaotic attractors are first numerically verified through investigating phase trajectories, Lyapunov exponents, bifurcation path and Poincaré projections. Finally, two complete mathematical characterizations for 4D Hopf bifurcation are rigorously derived and studied.     

Effect of a radial temperature gradient on the stability of the flow of a second-order fluid between two co-axial cylinders

Summary It has been found that the effect of a radial temperature gradient on the Taylor stability problem for a viscoelastic fluid and for a Newtonian fluid is the same.

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Résumé On montre que l'effet d'un gradient de la température radial sur le problème de stabilité de Taylor pour un fluide viscoélastique est semblable à celui d'un fluide Newtonien.

     

On the equations of fully fluidized granular materials

Equations for fully fluidized granular materials are proposed and are solved in a simple case. In fully fluidized granular materials, the granular particles slip or collide with each other and energy is dissipated. In describing the energy dissipation process characteristic to granular materials, a measure of random motion of granular particles is introduced as a new internal variable. We derive the constitutive equations by using a simple kinematical model of the collision of particles. The set of equations for fully fluidized granular materials obtained has properties similar to the equations that describe turbulence. For reasonable assumptions, these equations predict the results of Bagnold, namely that the shear and normal stress depend upon the square of the velocity gradient. In case of steady one-dimensional gravity flow the calculated flow profiles resemble experimental ones.

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Résumé Des équations pour des matériaux granulés entièrement fluides sont proposées et résolues dans un cas simple. Par le frottement et les collisions des particules entre elles, de l'énergie est dissipée. Pour décrire l'énergie de dissipation, on introduit une mesure du mouvement aléatoire des particules comme nouvelle variable intense. Un module cinématique simple de la collision des particules permet d'établir les équations. Ces équations ont des propriétés semblables aux équations de la turbulence. Sous des hypothèses raisonnables, elles prédisent les résultats de Bagnold, à savoir que l'abrasion et la tension normale dépendent du gradient de la vitesse. Pour un flux de granité stable, les profils de flux calculés ressemblent à ceux obtenus expérimentalement.

     

An extension of the Bézier model

In this paper, we first construct a new kind of basis functions by a recursive approach. Based on these basis functions, we define the Bézier-like curve and rectangular Bézier-like surface. Then we extend the new basis functions to the triangular domain, and define the Bernstein-Bézier-like surface over the triangular domain. The new curve and surfaces have most properties of the corresponding classical Bézier curve and surfaces. Moreover, the shape parameter can adjust the shape of the new curve and surfaces without changing the control points. Along with the increase of the shape parameter, the new curve and surfaces approach the control polygon or control net. In addition, the evaluation algorithm for the new curve and triangular surface are provided.     

Neutral curve behaviour in Taylor-Dean flow

Summary Numerical investigations reveal a class of neutral curve in infinite Taylor-Dean flow not previously observed. Based on the work of Hall, asymptotic expansions at the high-wavenumber end of the neutral curves are given.Previously, an interpretation had been given by Raney and Chang for the curves observed by Hughes and Reid. Using the above expansions and Rayleigh's criterion, an alternate explanation is proposed in this paper which takes into account the new phenomena.

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Résumé Des investigations numériques ont révélé un genre de courbe de stabilité neutre dans l'écoulement infini de Taylor-Dean non observé auparavant. Basé sur l'oeuvre de Hall, des développments asymptotiques à l'extrémité de ces courbes où le nombre d'ondes est élevé sont soumis. Auparavant, des courbes ont été observées par Hughes et Reid et une interprétation a été donné par Raney et Chang. Dans ce papier, on emploie les développements susmentionés et le criterium de Rayleigh pour proposer une autre explication qui fait état de nouveau phénomène.

     

Multivariate Padé approximants revisited

Several definitions of multivariate Padé approximants have been introduced during the last decade. We will here consider all types of definitions based on the choice that the coefficients in numerator and denominator of the multivariate Padé approximant are defined by means of a linear system of equations. In this case a determinant representation for the multivariate Padé approximant exists. We will show that a general recursive algorithm can be formulated to compute a multivariate Padé approximant given by any definition of this type. Here intermediate results in the recursive computation scheme will also be multivariate Padé approximants. Up to now such a recursive computation of multivariate Padé approximants only seemed possible in some special cases.     

On the convergence of certain sequences of rational approximants to meromorphic functions in several variables

In a previous paper, the author introduced a new class of multivariate rational interpolants, which are called Optimal Padé-type Approximants (OPTA). There, for this class of rational interpolants, which extends classical univariate Padé Approximants, a direct extension of the “de Montessus de Ballore's Theorem” for meromorphic functions in several variables is established. In the univariate case, this theorem ensures uniform convergence of a row of Pade Approximants when the denominator degree equals the number of poles (counting multiplicities) in a certain disc. When one overshoots the number of poles when fixing the denominator degree, convergence in measure or capacity has been proved and, under certain additional restrictions, the uniform convergence of a subsequence of the row. The author tackles the latter case and studies its generalization to functions in several variables by using OPTA.     

Theoretical and numerical aspects of contact problems for shells

The paper deals with the contact problem of a shell with rigid housing enclosing it or with a set of punches. Using Timoshenko's shell theory, a basic regularized functional of total energy without any distributions (Dirac's delta functions) has been considered. Properties of this functional as well as the question of the existence of a solution have been formulated as theorems. Applying the method of variational inequalities, a numerical method has also been developed. Applications of these theorems on the contact of an axially symmetrical cylinder with a rigid housing have been presented.

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Résumé Dans cet article on considère le probleme du contact d'une coque avec le logement rigide ou avec un groupe de poinçons. En profitant des équations du type de Timoshenko pour les coques, on forme la fonctionelle d'énergie totale dans laquelle on élimine les distributions du type de delta de Dirac que l'on trouve dans les formes classiques. Les propriétés de cette fonctionelle ainsi que la question de l'existence d'une solution ont été formulées comme ensemble de théorèmes. L'analyse numérique du problème est effectuée en appliquant la méthode des inéquations variationelles. Ces théorèmes sont appliqués à l'exemple du contact d'un cylindre axisymétrique avec le logement rigide.

     

Asymptotic eigenfunctions of mixed problems of Stekloff's type

Summary The characteristic values and the characteristic asymptotic functions of two problems are established. One of the problems has already been considered by Hersch and Payne [3]; the other is a generalization of [4].

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Résumé Les valeurs caractéristiques et les fonctions caractéristiques asymptotiques de deux problèmes ont été établies. L'un de ces problèmes a été examiné préalablement par Hersch et Payne [3]. L'autre problème est une généralisation de [4].

     

Approximating rational triangular Bézier surfaces by polynomial triangular Bézier surfaces

An attractive method for approximating rational triangular Bézier surfaces by polynomial triangular Bézier surfaces is introduced. The main result is that the arbitrary given order derived vectors of a polynomial triangular surface converge uniformly to those of the approximated rational triangular Bézier surface as the elevated degree tends to infinity. The polynomial triangular surface is constructed as follows. Firstly, we elevate the degree of the approximated rational triangular Bézier surface, then a polynomial triangular Bézier surface is produced, which has the same order and new control points of the degree-elevated rational surface. The approximation method has theoretical significance and application value: it solves two shortcomings-fussy expression and uninsured convergence of the approximation-of Hybrid algorithms for rational polynomial curves and surfaces approximation.     

A generalised cole-hopf transformation for nonlinear parabolic and hyperbolic equations

Summary The Cole-Hopf transformation has been generalized to generate a large class of nonlinear parabolic and hyperbolic equations which are exactly linearizable. These include model equations of exchange processes and turbulence. The methods to solve the corresponding linear equations have also been indicated.

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Sommaire La transformation de Cole et de Hopf a été généralisée en vue d'engendrer une classe d'équations nonlinéaires paraboliques et hyperboliques qui peuvent être rendues linéaires de façon exacte. Elles comprennent des équations modèles de procédés d'échange et de turbulence. Les méthodes pour résoudre les équations linéaires correspondantes ont également été indiquées.

     

Temperature distribution in an extended surface

The temperature distribution in an extended surface geometry, a cylindrical tee plug, has been obtained by transforming the governing Fourier-Bessel-Kernel function into a summable series. This result takes a poorly converging solution and transforms it into one which is more useful for the practical evaluation of temperature in such surfaces.

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Résumé La distribution de température dans une surface géometriquement étendue, une pièce cylindrique enT, a été obtenue par la transformation des fonctions Fourier-Bessel-Kernel en des séries additives. Ce résultat prend une solution lentement convergente et la transforme en une méthode plus utile pour l'évaluation pratique de la température dans des surfaces pareilles.

     

A double discharge high power TEA CO2 laser

A double discharge TEA CO₂ laser of simple design has been tested. The linearly polarized beam delivers a total energy of 14 Joules in 25 ns. The influence of the different gas mixtures on the problem of arcing, delay between pumping and lasing, and evolution of the light pulse, has been investigated. Using 0.1% xylene in the gas mixture, 200 Joules per liter were fed in the glow discharge without arcing. The maximum efficiency is 6.5%.

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Résumé Le comportement d'un laser CO₂TEA à deux décharges est étudié. Il délivre des impulsions de lumière polarisée d'une énergie de 14 Joules et durant 25 ns. L'influence de la composition du mélange gazeux sur des phénomènes tels que l'arcage, le dálai entre le pompage et l'émission lumineuse ainsi que sur la forme de l'impulsion, a été étudiée. L'introduction de 0.1% de xylène dans le mélange gazeux a permis de dissiper une énergie de 200 Joules par litre de décharge sans produire d'arc. Le rendement maximum a été de 6.5%.

     

Conception d'algorithmes parallèlisables et convergents de filtrage récursif non-linéaire

Résumé Dans un précédent rapport [9], les problèmes de convergence théorique et pratique associés à la synthèse de filtres numériques récursifs non-linéaires avaient été étudiés à l'aide de méthodes issues de l'analyse numérique des modèles à paramètres répartis. Le présent travail prolonge cette étude, et l'étend à une classe de schémas numériques parallélisables. Des résultats théoriques portant sur l'évolution de densités de probabilités conditionnelles non-normalisées introduites par Zakai [18], ont été obtenus et une étude numérique permet de préciser le domaine d'application de ce type de solutions à l'aide d'une étude statistique des performances.

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In a preceding report [9], theoretical and numerical convergence of recursive non-linear filters has been proved through methods arising from numerical analysis of partial differential equations. This work extends this study to a class of parallel algorithms. Theoretical results on evolution of unnormalised conditional density of probability introduced firstly by Zakai [18] have been obtained and numerical results precise the domain of application of this type of solution through a statistical analysis of performances.

     

A property of connected subsets of an ordered set

We prove a planarity-independent analogue of a theorem of Nowakowski, Rival and Urrutia concerning lattices contained in orders respresentable as blocking relations.

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Résumé Un théorème de Nowakowski, Rival et Urrutia concernant les treillis contenus dans des ordres planaires admet un analogue indépendant de toute considération de planarité.

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Presented by I. Rival.

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This research has been supported by the NSERC (Canada) and FCAR (Québec).