The effects of random longitudinal vibration on pipe flow of a non-Newtonian fluid

Summary A perturbation solution to a pulsating pipe flow of a non-Newtonian fluid is developed. The pipe is vibrated longitudinally in a random stationary manner and the fluid is driven by a constant pressure drop. Three explicit constitutive equations are studied: the generalized Newtonian, the strain-rate and the strain-dependent constitutive equations. It is found that all three of them are capable of describing the flow enhancement phenomenon observed byMena et al. and that this effect is entirely an inertia effect which is exhibited only by shear-thinning fluids.

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Zusammenfassung Es wird eine Näherungslösung für die pulsierende Rohrströmung einer nicht-newtonschen Flüssigkeit entwickelt. Das Rohr vibriert dabei in Längsrichtung nach Art eines stationären stochastischen Prozesses, und die Flüssigkeit wird durch ein konstantes Druckgefälle angetrieben. Drei Formen rheologischer Stoffgleichungen werden untersucht: die einer verallgemeinerten newtonschen, einer deformationsgeschwindigkeits-und einer deformationsabhängigen Flüssigkeit. Es wird gefunden, daß alle drei Modelle imstande sind, das vonMena und Mitarbeiter beobachtete Phänomen der Durchsatzsteigerung zu beschreiben und daß dieser Effekt ein reiner Trägheitseffekt ist, der nur bei Flüssigkeiten mit Scherentzähung vorkommt.

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With 3 figures     

Traction on a conductor and Helmholtz tensor

Summary A rigorous deduction of the force per unit area which acts on any electric conductor surrounded by a linear dielectric fluid at rest is presented. Moreover, it is proved that the Helmholtz stress tensor is one of the infinitely many second-order tensors which yield the stresses acting on the surface of a conductor immersed in the fluid.

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Die auf einen Leiter wirkenden Kräfte und der Helmholtz-Tensor

Übersicht Eine strenge Herleitung der Kraft pro Einheisfläche, die auf einen elektrischen Leiter wirkt, der von einer linear dielektrischen Flüssigkeit im Ruhezustand umgeben wird, wird gegeben. Überdies wird gezeigt, daß der Helmholtz-Spannungstensor einer der unendlich vielen Tensoren zweiter Ordnung ist, die Angaben über die Spannungen liefern, die auf die Oberfläche eines von der Flüssigkeit umgebenen Leiters wirken.

     

Rheological simulation of synovial fluid by a synthetic macromolecular solution

Summary The flow characteristics of a series of potential synthetic synovial fluids have been examined. These were mainly solutions of polyvinyl pyrrolidone in water. The techniques leading to the production of a fluid with flow properties very similar to normal synovial are described.The apparent shear elasticity and relaxation time data of the synthetic fluid as compared to normal fluid are discussed in terms of the relative importance of intermolecular entanglement and intermolecular complexing in the 2 fluids.

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Zusammenfassung Die Synovialflüssigkeit von normalen menschlichen Gelenken zeigt ein charakteristisches Theologisches Verhalten, das stark verändert ist, wenn das Gelenk von rheumatischer Arthritis befallen ist. Um die Möglichkeit der Substitution mit einer synthetischen Gelenkflüssigkeit im krankhaften Gelenk zu bewerten, mit dem Ziel die Symptome zu erleichtern und den Prozeß der Gelenkzerstörung zu verzögern, wurde besonders Wert darauf gelegt, eine Polymerlösung zu finden mit ähnlichen Theologischen Eigenschaften wie eine normale Synovialflüssigkeit. Es wird angenommen, daß das besondere rheologische Verhalten einer normalen Synovialflüssigkeit (hohe Viskosität und Elastizität, ausgeprägtes nicht-Newtonsches Verhalten und Thixotropie) von Bedeutung für das Schmieren von Gelenken ist, obwohl ihre genaue Bedeutung im Bezug auf Reibung noch nicht gesichert ist und augenblicklich diskutiert wird.Fließexperimente wurden mit einemWeissenberg-Rheogoniometer usgeführt und mit einem UV-Schreiber registriert, um genaue Fließ-Spannungswerte zu erhalten.In dieser Abhandlung werden Ergebnisse über das Fließverhalten verschiedener möglicher synthetischer Flüssigkeiten veröffentlicht einschließlich der, die schließlich gewählt wurde: eine Lösung von umgewandeltem PVP (Polyvinylpyrrolidon). Dies ist ein wasserlöslicher hochmolekularer Stoff, der sich als physiologisch verträglich und nicht-toxisch gezeigt hat. Wäßrige 10%ige Lösungen mit hochmolekularem PVP ha ben ein Viskositätsverhalten, das bei niedrigerer Schubbel astung der normalen Synovialflüssigkeit ähnlich ist, aber nichtthixotropes und nur leicht nicht-Newtonsches und elastisches Verhalten zeigt. Im Labor hergestelltes hochgereinigtes PVP ergab ein Polymerisat, das in Lösung ein ähnliches Verhalten zeigte wie Handelsmaterial. Bestrahlung jedoch mit einer kritischen Dosis von 1,5 mrad in einem UCR 100 Reaktor erzeugte ein Polymerisat, das in 10%iger wäßriger Lösung ein Fließverhalten zeigte, das der normalen Synovialflüssigkeit sehr ähnlich war.Diese Ergebnisse werden im Detail dargelegt: besonders die Eigenschaften unter Höchstbelastung, die bei Beginn einer Schubbelastung in tangentialer als auch in normaler Richtung auftreten. Die Wirkung von anderen Bestrahlungsdosen auf das Theologische Verhalten wird auch beschrieben. Die Scher-Resistenz der synthetischen Flüssigkeit wurde mit einem Rheogoniometer und einem Gelenk-Simulator getestet und die Schmiereigenschaften mit der normalen Synovialflüssigkeit verglichen.Die Bedeutung der Theologischen Ergebnisse wird im Licht der neuen Theorien für Lösungen von Polymeren, die einem Scherfließen unterworfen sind, diskutiert, und mögliche Anwendungen auf andere biologische Flüssigkeitssysteme werden vorgeschlagen.

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Paper presented to the British Society of Rheology Conference on Rheology in Medicine and Pharmacy, London, April 14–15, 1970.     

An automatic on-line viscometer for the measurement of non-Newtonian viscosity for process control applications

Summary A coaxial cylinder viscometer, which is available commercially, has been converted into an automatic instrument by replacing the manually-operated speed-selection switch with a cam timer and solenoid-operated switch. This enables the viscometer to operate using a pre-selected sequence of rotational speeds. The torque due to the fluid at each speed is measured by a built-in potentiometer and the electrical signal from this is recorded on punched tape using a data-logger.The conversion of the torque-speed data into shear stress/shear rate relations is carried out with the aid of a digital computer using the explicit formulae that exist in the literature. The computer programme incorporates routines for data smoothing and curve fitting, in which the latter allows for the differentiation of the torque-speed data demanded by the use of the explicit formulae.Although this instrument may be used as a laboratory viscometer to facilitate viscosity determination, it has been developed primarily as an on-line viscometer and will be used for gathering information on the non-Newtonian properties of a process fluid in order to determine how these are affected by different material variables. This appears to be the necessary first step in developing control instrumentation for processes in which the flow properties of the fluid are important.

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Zusammenfassung Ein koaxiales Zylinderviskosimeter, das im Handel erhältlich ist, wurde in ein automatisches Gerät umgebaut, indem der von Hand zu bedienende Schalter für die Geschwindigkeitswahl durch eine Nockensteuerung zur Zeitvorgabe und einen mit einem Solenoid betriebenen Schalter ersetzt wurde. Dadurch kann das Viskosimeter mit einer vorgewählten Folge von Rotationsgeschwindigkeiten betrieben werden. Das durch die Flüssigkeit bei der jeweiligen Geschwindigkeit hervorgerufene Drehmoment wird durch ein eingebautes Potentiometer gemessen. Das von dort kommende elektrische Signal wird auf Lochstreifen unter Benutzung eines Datenerfassungssystems aufgenommen.Die Umwandlung der Drehmoment-Geschwindigkeitswerte in Scherspannungs-Schergeschwindigkeitsbeziehungen geschieht mit Hilfe eines Digitalrechners unter Benutzung von in der Literatur existierenden expliziten Gleichungen. Das Rechenprogramm enthält Schritte zur Größenglättung und Kurvenanpassung. Dieser letzte Schritt berücksichtigt die Differentiation der Drehmoment-Geschwindigkeitswerte, wie es bei der Anwendung der expliziten Formeln verlangt wird.Obwohl dieses Gerät zur Vereinfachung der Viskositätsbestimmung als Laborviskosimeter benutzt werden kann, ist es eigentlich als ein mit einer Datenverarbeitungsanlage gekoppeltes Viskosimeter entwickelt worden. Es wird zur Sammlung von Informationen über nicht-newtonische Eigenschaften einer Prozeßflüssigkeit benutzt, um festzustellen, wie diese durch die verschiedenen Stoffveränderlichen beeinflußt werden. Es scheint dies notwendig als erster Schritt in der Entwicklung von Kontrollgeräten für Prozesse, in denen die Fließeigenschaften der Flüssigkeit von Bedeutung sind.

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Paper presented at the Conference on Experimental Rheology, University of Bradford, April 17–19, 1968.     

Flow of a viscoelastic fluid between eccentric cylinders

Summary An incompressible non-Newtonian fluid flows in the annular region between two eccentric circular cylinders under a uniform constant longitudinal pressure gradient. The flow is assumed to be sufficiently slow, so that the second-order Rivlin-Ericksen constitutive equation is applicable. The resultant forces exerted by the fluid on the cylinders are calculated.

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Zusammenfassung Eine inkompressible nicht-newtonsche Flüssigkeit fließt unter der Einwirkung eines gleichförmigen konstanten longitudinalen Druckgradienten durch einen von zwei exzentrischen Kreiszylindern begrenzten Ringspalt. Die Strömung wird als so langsam angenommen, daß das Stoffgesetz einer Rivlin-Ericksen-Flüssigkeit zweiter Ordnung angewandt werden kann. Die von der Flüssigkeit auf die beiden Zylinder ausgeübten resultierenden Kräfte werden berechnet.

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With 12 figures and 3 tables     

An analytically derived lumped-impedance model for the dynamic behaviour of a watertower

Summary An analytical model is derived for the dynamic behaviour of a liquidcontaining structure such as a watertower. The watertower is composed of a liquidcontaining tank supported by a slender column.In the frequencyband of interest continuous models for the liquid and the support are analytically simplified to lumped-impedance systems using convergence and frequency considerations. Coupling both subsystems, taking into account the tankparameters, leads to a ninth order model describing the translational as well as rotational harmonic response of the tower. Measurements on a scale model confirm the theoretical model.

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Ein analytisch abgeleitetes lumped-impedance-Modell für das dynamische Verhalten eines Wasserturms

übersicht Ein analytisches Modell für das dynamische Verhalten einer mit Flüssigkeit gefüllten Konstruktion, wie zum Beispiel eines Wasserturms, wird abgeleitet. Der Turm besteht aus einem mit Flüssigkeit gefüllten Tank, der von einer schlanken Säule unterstützt wird.Im interessierten Frequenzband werden stetige Modelle für die Flüssigkeit und die Unterstützung mit Hilfe von Konvergenz- und Frequenzbetrachtungen analytisch zu lumped-impedance-Systemen vereinfacht. Rücksicht nehmend auf die Tankparameter, führt die Kopplung beider Subsysteme zu einem Modell neunter Ordnung, das die harmonische Bewegung des Turms sowohl im Hinblick auf Translation wie Rotation beschreibt. Messungen an einem verkleinerten Modell bestätigen die theoretischen Ergebnisse.

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This paper was prepared for presentation at the 16th International Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Lyngby, August 19–25, 1984     

Dynamic stability of discrete spherical structural systems in fluid media

Summary The dynamic response of a two degree of freedom spherical structural system immersed in viscous fluid media is studied with the fluid reactions obtained byBasset included in the differential equations of motion. Closed form solutions for the response of such systems are presented and a dynamic stability criterion based on the form of the solutions is developed. The solutions and the stability criterion are applicable to the limiting case when the system is surrounded by a vacuum. The various regions of stability and instability are delineated, and it is shown that the type of instability is significantly influenced by the physical properties of the surrounding fluid medium.

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Übersicht Es wird das Verhalten eines mechanischen Systems von zwei Freiheitsgraden untersucht, das aus zwei miteinander verbundenen, kugelförmigen Massen in einer zähen Flüssigkeit besteht. Dabei werden die Zusatzmassen der mitbewegten Flüssigkeit nachBasset in den Bewegungsgleichungen berücksichtigt. Es werden geschlossene Lösungen für die Bewegungen angegeben und daraus die Stabilitätsbedingungen ermittelt. Lösungen und Stabilitätsbedingungen können auch noch auf den Grenzfall eines im Vakuum befindlichen Systems angewendet werden. Die Parameterbereiche für Stabilität und Instabilität werden beschrieben, und es wird gezeigt, daß die Art der Instabilität wesentlich durch die physikalischen Eigenschaften der umgebenden Flüssigkeit bestimmt wird.

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The research upon which this paper is based was supported by the National Science Foundation Grant Nos. GK-479 and GP-2094 to Northwestern University.     

Über die Kraft,die ein einfaches Fluid bei axialer Schichtenströmung auf die Wand ausübt

Zusammenfassung Die Bewegung eines einfachen Fluids durch ein gerades zylindrisches Rohr erfolgt unter Umständen in Form einer axialen Schichtenströmung; die dynamischen Bedingungen liefern allerdings gewisse Einschränkungen. Es wird die bei axialer Schichtenströmung vom hydrostatischen Druck und von den Reibungsspannungen in der Flüssigkeit hervorgerufene resultierende Kraft auf eine angrenzende Wand untersucht. Unter den Bedingungen, unter welchen die beschriebene Strömungsform unabhängig von der speziellen Gestalt der zylindrischen Wand dynamisch überhaupt nur möglich ist, wird ein allgemeines Ergebnis hergeleitet, das die Kraft mit den räumlichen Geschwindigkeitsableitungen an der Wand verknüpft. In einigen konkreten Situationen kann das Geschwindigkeitsfeld des Fluids leicht ermittelt und damit die Kraft auf die Wand explizit berechnet werden.Die Ergebnisse lassen sich durch wenige zusätzliche Überlegungen auch auf Probleme mit einer freien Flüssigkeitsoberfläche übertragen. Man denke etwa an die durch die Schwerkraft verursachte Bewegung in einem offenen Kanal, dessen Achse gegen die Horizontale geneigt ist. Bei viskoelastischen Fluiden kann dabei die freie Flüssigkeitsoberfläche nicht eben sein. Die Theorie liefert, gleichsam als Abfallprodukt, eine Differentialgleichung für die Gestalt der freien Oberfläche bei axialer Schichtenströmung, in die das Geschwindigkeitsfeld an der Oberfläche eingeht. Es handelt sich dabei um die Verallgemeinerung eines Ergebnisses. das für speziellere Situationen schon verschiedentlich mitgeteilt wurde. Für geometrisch besonders einfache Anordnungen kann die Differentialgleichung analytisch gelöst werden.

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Summary It is well known that the laminar flow of a Newtonian fluid through a cylindrical tube has the properties of an uniaxial shear flow. In the case of a visco-elastic fluid rectilinear flow is also possible in cylindrical tubes when certain conditions are fulfilled. For such a flow situation the resulting force on the wall produced by the pressure field and the extra stresses is considered. A general result is found, which connects the force with the field of the velocity gradient. In some special cases the flow field and therefore the force on the wall can be calculated analytically.The same method can be employed to analyse the flow down a tilted trough, when the fluid has a free surface. In the case of a viscoelastic fluid, the free surface cannot be plane as in the rest state. The theory leads to a differential equation for a functionh(y), which describes the shape of the free surface. Since the velocity field of the fluid enters the equation, the latter can be solved only when a certain elliptical boundary value problem for the flow field has been solved previously. In some special situations this can be done without a computer.

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Mit 6 Abbildungen     

The influence of vibration on Poiseuille flow of a non-Newtonian fluid. II

Summary An incompressible, isotropic, non-Newtonian fluid undergoes plane Poiseuille flow between two parallel plates, or through a pipe of circular cross-section, as a result of a uniform time-independent pressure gradient. The effect is studied of superposed vibrations of the boundaries, which are not necessarily purely sinusoidal, on the mean rate of discharge of the fluid. The calculations are carried out in detail for a particular constitutive equation of the Rivlin-Ericksen type, with the assumption that the fluid is slightly non-Newtonian. It is seen that in addition to a change in the mean rate of discharge which arises as an interaction of the vibration with the pressure gradient, there may also occur a change in the mean rate of discharge which arises from the interaction of the harmonic components of the vibration and may be independent of the pressure gradient.

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Zusammenfassung Gegenstand der Untersuchung ist eine inkompressible, isotrope, nicht-newtonsche Flüssigkeit entweder in einer ebenen Poiseuille-Strömung zwischen zwei parallelen Platten oder einer solchen durch ein kreiszylindrisches Rohr unter dem Einfluß eines zeitunabhängigen Druckgradienten. Es wird der Einfluß von überlagerten Vibrationen der Wände, die nicht rein sinusförmig zu sein brauchen, auf den mittleren Flüssigkeitsdurchsatz untersucht. Die Rechnungen werden im einzelnen für eine spezielle Stoffgleichung vom Rivlin-Ericksen-Typ durchgeführt, wobei die Flüssigkeit als nur schwach nicht-newtonisch angenommen wird. Man findet, daß außer der Änderung des mittleren Durchsatzes als Folge der Wechselwirkung von Vibration und Druckgradient eine solche Änderung auch als Folge der Wechselwirkung der harmonischen Komponenten der Vibration auftreten kann, die u. U. vom Druckgradienten unabhängig ist.

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With 1 figure     

Die Orientierung hantelförmiger Teilchen in Scherströmungen viskoelastischer Flüssigkeiten

Zusammenfassung Die Untersuchung behandelt die Orientierung von länglichen Teilchen in Scherströmungen viskoelastischer Flüssigkeiten. Als Modell hierfür werden starre Hanteln ohne rotatorischen Freiheitsgrad der Hantelkugeln benutzt. Bei Beschränkung auf schleichende Strömungen werden für eine Flüssigkeit zweiter Ordnung zunächst die Kraft- und Drehmomentbeiträge berechnet, die von der Flüssigkeit auf eine ruhende Kugel ausgeübt werden, sowie die für die spätere Berücksichtigung der Wechselwirkung der Hantelkugeln benötigten Anteile des Druck- und Geschwindigkeitsfeldes zweiter Ordnung.Mit Hilfe dieser Ergebnisse werden anschließend die stabilen und labilen Gleichgewichtslagen einer an die Scherebene gebundenen Hantel ohne und mit Berücksichtigung der Wechselwirkung der Hantelkugeln bestimmt. Weiter wird diskutiert, welche Aussagen man aus Beobachtungen an Kugeln oder Hanteln in der Scherströmung einer viskoelastischen Flüssigkeit über deren Stoffverhalten gewinnen kann.In einem abschließenden experimentellen Teil werden dann die theoretischen Ergebnisse an einer 0,1%-igen wäßrigen Polyacrylamid-Lösung durch Versuche an Kugeln und Hanteln überprüft. Obgleich diese Flüssigkeit im untersuchten Schergeschwindigkeitsbereich nicht mehr durch das Modell einer Flüssigkeit zweiter Ordnung beschrieben werden kann, findet man eine qualitative Bestätigung der vorausgesagten Orientierungseffekte. Außerdem werden einige weitere Verhaltensweisen ausgeprägt viskoelastischer Flüssigkeiten beobachtet.

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Summary Orientation effects of slender particles are investigated in shear flow of viscoelastic fluids. As a model for such particles rigid dumbbells are used without freedom of rotation of the dumbbell spheres. For slow flow at first the force and torque contributions are calculated, which are exerted from a second-order fluid on a rigid sphere at rest. In addition the required second-order parts of the pressure and velocity field are evaluated to consider later the interaction between the dumbbell spheres.From these results the stable and unstable orientation angles of a dumbbell in the shear plane are determined. This is done with and without taking into account the interaction effects. Furthermore it is discussed, which information about the material behaviour is available from observations of spheres or dumbbells in shear flow of a viscoelastic liquid.In conclusion the theoretical predictions are tested by experiments with spheres and dumbbells in a 0.1% aqueous solution of polyacrylamide. Even though this liquid cannot be described by the model of a second-order fluid in the range of shear rate applied, the predicted orientation effects are qualitatively confirmed. Moreover some other properties of highly viscoelastic fluids are observed.

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Von der Abteilung Chemietechnik genehmigte Dissertation; auszugsweise vorgetragen auf dem Euromech-Kolloquium No. 49 in Jabonna (Polen) vom 2.–5. April 1974 und der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Berlin vom 28.–30. April 1975.

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Mit 9 Abbildungen und 1 Tabelle     

Dynamic response of a two degree of freedom spherical system in a fluid

Summary The steady state and transient response of a two degree of freedom spherical system immersed in a viscous fluid medium, initially at rest, is investigated with the inclusion of the fluid reaction derived by Basset in the differential equations of motion. In the steady state study, phase angle and amplitude ratio curves are presented from which the mode shapes of the system, for wide ranges of density ratio, frequency ratio and Stokes number, can be obtained. In the investigation of transient response, the system is subjected to impulsive base displacements and the equations of motion are solved numerically. The response curves obtained illustrate the effect of each dimensionless parameter on the dynamic behavior of the system.

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Übersicht Es wird das stationäre Verhalten und das Einschwingen eines kugelförmigen Systems von zwei Freiheitsgraden untersucht, das sich in einer viskosen Flüssigkeit befindet und anfänglich in Ruhe ist. In den Bewegungsgleichungen werden die von Basset abgeleiteten Reaktionskräfte der Flüssigkeit berücksichtigt. Für das stationäre Verhalten werden Amplituden- und Phasen-Kurven angegeben, aus denen die Schwingungsformen für einen weiten Bereich von Dichteverhältnis, Frequenzverhältnis und Stokes'scher Zahl erhalten werden können. Das Einschwingverhalten wird numerisch errechnet, wobei das System als durch Stöße an der Basis erregt angenommen wird. Die erhaltenen Einschwingkurven zeigen den Einfluß der dimensionslos gemachten Parameter auf das dynamische Verhalten des Systems.

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The research on which this paper is based was supported in part by The National Science Foundation under Grant Nos. GK 479 and GP 2094 to Northwestern University. Acknowledgment is also given to the Northwestern University Computing Center and the National Science Foundation whose funds aided in the establishment of the Center.     

Der Torsionsschwingungsdämpfer in einer Flüssigkeit zweiter Ordnung

Übersicht Es wird gezeigt, daß die optimale Dämpfung eines Dämpfers, dessen Dämpferflüssigkeit eine Flüssigkeit zweiter Ordnung ist, erheblich abweichen kann von der Dämpfung, die man unter Zugrundelegung einer Newtonschen Flüssigkeit berechnet. Es wird weiter gezeigt, daß durch geeignete Wahl konstruktiver Parameter eine frequenzunabhängige Abstimmung erzielt werden kann, die für alle Frequenzen die bestmögliche Dämpfung ergibt.

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Summary It is shown, that the optimal damping of a torsional damper using a second order fluid as damper liquid may differ substantially from the optimal damping computed on the basis of a Newtonian fluid. In addition one may achieve a frequency-independent tuning by proper selection of design parameters which gives the maximum damping for all frequencies.

     

On bubble motion in a Hele-Shaw cell,a possibility to study two-phase flows under reduced gravity

Summary In order zu simulate the motion of gas bubbles in a surrounding fluid under conditions of residual gravity in an earthbound workshop, a Hele-Shaw cell, i.e., a narrow rectangular channel filled with viscous liquid, can be utilized. Starting from the equations of creeping motion, the flow past a circular cylindrical bubble (as seen from above), located between the plates of the Hele-Shaw apparatus and surrounded by a viscous, incompressible and homogeneous fluid, has been investigated. A formula for the translational velocity of the bubble, relative to the liquid, has been derived. By employing the methods of conformal mapping noncircular (elliptical) bubble contours are taken into consideration also. The influence of surface tension at the liquid-gas interface has been dealt with approximately. Theoretical and experimental results show good agreement. The problem under study is related to the space processing of materials, especially degassing of molten matter.

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Übersicht Zur Simulation der Bewegung von Gasblasen in einer Flüssigkeit unter reduzierter Schwere kann in einem erdgebundenen Laboratorium ein Hele-Shaw Kanal verwandt werden. Die Apparatur besteht im wesentlichen aus zwei eng benachbarten rechteckigen Platten, deren Zwischenraum mit einer zähen Flüssigkeit gefüllt ist. Ausgehend von den Bewegungsgleichungen einer schleichenden Strömung wird die Umströmung einer kreiszylinderförmigen (von oben gesehen) Gasblase untersucht. Die Gasblase berühre, abgesehen von einem sehr dünnen Flüssigkeitsfilm, beide Plattenwände und sei von einer reibungsbehafteten, dichtebeständigen und homogenen Flüssigkeit umgeben. Für die Translationsbewegung der Blase relativ zur Flüssigkeit wird ein expliziter Ausdruck angegeben. Mittels konformer Abbildung lassen sich auch nicht-kreiszylinderförmige (elliptische) Blasen behandeln. Dem Einfluß der Oberflächenspannung an der Trennfläche FlüssigkeitGas wird näherungsweise Rechnung getragen. Theoretische und experimentelle Resultate zeigen gute Übereinstimmung. Das vorliegende Problem tritt auf im Zusammenhang mit verfahrenstechnischen Prozessen der Materialherstellung unter Weltraumbedingungen, insbesondere bei der Entgasung von Flüssigkeiten unter Schwerelosigkeit.

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Presented at the XXth COSPAR Meeting and Associated Symposia (Working Group 8 on Materials Sciences in Space), Tel Aviv, Israel, 7–18 June, 1977 (Paper VIII. 3.6).     

Testing of a constitutive equation with free volume dependent relaxation spectrum

Summary A model of non-linear viscoelasticity with relaxation times dependent upon free volume is here proposed. The free volume is related to the isotropic part of the stress tensor by means of a simple differential equation.The model predictions are compared with a large amount of experimental results taken on polymeric melts or concentrated solutions and reported in the literature. The single parameter of the model is determined, within each set of data, by fitting of the viscosity curve. A satisfactory agreement is obtained with data taken under both elongation and shear for which also the relaxation behavior after single and double strain steps is considered.

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Zusammenfassung Es wird das Modell einer nicht-linear viskoelastischen Flüssigkeit vorgeschlagen, bei dem die Relaxationszeiten vom freien Volumen abhängen. Das freie Volumen wird dabei durch eine einfache Differentialgleichung mit dem isotropen Teil des Spannungstensors verknüpft.Die Voraussagen des Modells werden mit einer großen Anzahl von experimentellen Ergebnissen an Polymerschmelzen und konzentrierten Lösungen verglichen, die in der Literatur mitgeteilt sind. Der einzige Parameter des Modells wird für jeden Datensatz durch Anpassung der Viskositätskurve bestimmt. Man erhält eine befriedigende Übereinstimmung für die Meßwerte sowohl von Dehn- als auch von Scherversuchen, wobei ebenfalls das Relaxationsverhalten nach dem Aufprägen einfacher und doppelter Dehnungsstufen betrachtet wird.

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With 16 figures and 1 table     

Die rheologische Zustandsgleichung

Zusammenfassung In der Einleitung wird die rheologische Zustandsgleichung — d. h. die stoff-spezifische Beziehung zwischen den nicht-starren Bewegungen eines Körpers und den damit in kausalem Zusammenhang stehenden Kräften — als der zentrale Gegenstand der Rheologie bestimmt und anschließend die Rheologie in zwei Hauptgebiete — phänomenologische und statistische Rheologie — aufgegliedert.Der erste Teil behandelt die phänomenologische Theorie (Makro-Rheologie) und umreißt nach einer kurzen kritischen Behandlung der linearen Theorien die allgemeine nicht-lineare Theorie der rheologischen Körper. Nacheinander werden die Konsequenzen des Grundpostulats der Dimensionsanalysis, der Forderung der Invarianz der kinematischen Größen gegen starre Bewegungen und der Isotropiebedingung analysiert und die Ergebnisse am Beispiel der Theorie des isotropen elastischen Körpers, der Theorie der strukturviskosen Flüssigkeit und insbesondere der quasi-stationären Theorie der allgemeinen Flüssigkeit erläutert. Dabei werden zum Schluß auch einige Kriterien für verschiedene viskosimetrische Quereffekte abgeleitet.Im zweiten Teil wird der Abriß einer allgemeinen statistischen Theorie (Mikro-Rheologie) verdünnter Lösungen, Suspensionen und Emulsiopen gegeben. Die hierin enthaltenen hydrodynamischen und statischen Probleme werden analysiert und es wird ein Störungsverfahren zur Lösung des letzteren angegeben, welches zugleich eine Relaxationstheorie enthält. Diese Theorie wird anschließend am Beispiel einer Suspension elastischer Hanteln im einzelnen durchgeführt, wobei die drei Spezialfälle: starre, hart-elastische und weichelastische Hanteln sowohl bezüglich ihres quasi-stationären als auch ihres Relaxationsverhaltens eingehend diskutiert werden. Es ergeben sich dabei bemerkenswerte Unterschiede, welche über das spezielle Modell hinaus für eine zumindest qualitative Kennzeichnung der Suspensionen von Teilchen mit nur permanenter, nur induzierter und schließlich mit sowohl permanenter als auch induzierter Formanisotropie von Bedeutung sind.Vorgetragen auf der gemeinsamen Tagung der Deutschen Rheologischen Gesellschaft e. V. und der Deutschen Rheologen-Vereinigung e. V. in Berlin am 24. 10. 1956.     

Die Elastizität von Flüssigkeiten

Zusammenfassung Ausgehend von einer Suspension elastischer Hanteln bzw. kettenförmiger Teilchenaggregate als dem einfachen Modell einer viskoelastischen Flüssigkeit werden auf induktivem Wege rheologische Stoffgleichungen abgeleitet, in denen das Konzept des elastischen Dehnungsanteils (recoverable strain) eingearbeitet ist und die als nicht-lineare Erweiterung des sog. verallgemeinertenMaxwell-Modells aufgefaßt werden können. In ihnen wird die Flüssigkeit durch eine Folge ineinander verschachtelter Kontinuas gekennzeichnet, denen je ein Elastizitätsgesetz zugeordnet ist. Die Berücksichtigung der Richtungsabhängigkeit der Beweglichkeit der Strukturelemente bedingt, daß das Verhalten der so dargestellten Flüssigkeiten im allgemeinen von dem einerWeissenberg-Flüssigkeit abweicht.Habilitationsvortrag, gehalten am 5. Februar 1965 vor der Fakultät für Mathematik und Physik der Technischen Hochschule Darmstadt.     

The viscosity of a polar fluid with suspensions

Summary The apparent viscosity of a polar fluid with suspensions of rigid spherical particles undergoing a prescribed bulk motion is calculated. It is shown that the increased rate of dissipation in a polar fluid with suspensions is greater than that of a Newtonian fluid. It is found that the relationship between the viscosity and the concentration has a same form with that of a Newtonian fluid suspension of which ambient fluid has a shear viscosity multiplied by a factor which is greater than unity.

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Zusammenfassung Die scheinbare Viskosität einer polaren Flüssigkeit mit suspendierten steifen, kugelförmigen Teilchen, die eine vorgeschriebene Bewegung ausführen, wird berechnet. Es wird gezeigt, daß die anwachsende Dissipationsgeschwindigkeit in einer polaren Flüssigkeit mit suspendierten Teilchen größer ist als die einerNewtonschen Flüssigkeit. Es zeigt sich, daß die Beziehung zwischen der Viskosität und der Konzentration die gleiche Form hat wie die einerNewtonschen Flüssigkeitssuspension, bei der die umgebende Flüssigkeit eine Scherviskosität besitzt, multipliziert mit einem Faktor größer als 1.

     

Slow flow of a viscoelastic fluid through a contraction

Summary The creeping flow of a viscoelastic fluid through a tapered contraction is analysed by using a perturbation method. Finite element method has been applied to solve the vorticity transport and stream function equations.For a contraction ratio of 2:1 results for the stream function, the velocity distribution and the stress components along the tube axis are presented and discussed. The results indicate that for a viscoelastic fluid there is a tendency of circular motion in the contraction zone.

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Zusammenfassung Mit Hilfe einer Störungsrechnung wird die schleichende Strömung einer viskoelastischen Flüssigkeit durch eine Rohrverengung berechnet. Die dabei auftretenden Randwertaufgaben werden mit der Methode der finiten Elemente gelöst.Für ein Kontraktionsverhältnis von 2:1 werden Ergebnisse für die Stromfunktion, die Geschwindigkeitsverteilung und den Verlauf der Reibungsspannungen entlang der Rohrachse angegeben und diskutiert. Die Ergebnisse für das Geschwindigkeitsfeld zeigen, daß in der Kontraktionszone eine Sekundärströmung erzeugt wird, die aus zwei entgegengesetzt drehenden Ringwirbeln besteht. Da diese der Primärströmung zu überlagern ist, besteht bei einer viskoelastischen Flüssigkeit im Unterschied zu einer newtonschen in der Kontraktionszone die Tendenz zu einer Zirkulationsströmung.

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With 9 figures     

A variational solution of the Rayleigh problem for a power law non-Newtonian conducting fluid

Summary An investigation is made of the magnetic Rayleigh problem where a semi-infinite plate is given an impulsive motion and thereafter moves with constant velocity in a non-Newtonian power law fluid of infinite extent. The nonstationary flow of this electrically conducting fluid in a transverse magnetic field is then analyzed.The solution to this highly non-linear problem is obtained by means of a new variational principle developed by the authors. This new principle allows one to obtain the solution in a straightforward manner. Unlike other variational techniques in dissipative physics the authors' possesses a pure Hamiltonian structure and obeys all the laws of the classical variational calculus.It is shown that the influence of the magnetic field is greater on the coefficient of friction of dilatant fluids than pseudo-plastic fluids. In the absence of a magnetic field the thickness of the boundary layer increases with increasing powers of the fluid. Finally, the shape of the velocity profile is more strongly dependent on the magnetic field strength for pseudo-plastic fluids than for dilatant fluids.

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Übersicht Es wird das folgende Rayleigh-Problem untersucht: eine einseitig unendliche Platte wird stoßartig in Bewegung gesetzt und bewegt sich anschließend mit konstanter Geschwindigkeit in einer unendlich ausgedehnten Flüssigkeit, die einem nicht-Newtonschen Potenzgesetz gehorcht. Die instationäre Strömung dieser elektrisch leitenden Flüssigkeit in einem magnetischen Querfeld wird untersucht. Die Lösung des hochgradig nichtlinearen Problems geschieht durch ein von den Autoren entwickeltes neues Variationsprinzip, das die Lösung auf direktem Wege abzuleiten gestattet. Zum Unterschied von anderen Variationsverfahren, die in der Physik dissipativer Medien verwendet werden, hat das Verfahren der Verfasser eine rein Hamiltonsche Struktur und genügt allen Bedingungen der klassischen Variationsrechnung.Es wird gezeigt, daß der Einfluß des Magnetfeldes auf den Reibungskoeffizienten bei dilatanten Fluiden größer als bei pseudoplastischen Fluiden ist. Bei Abwesenheit eines Magnetfeldes wächst die Grenzschichtdicke mit dem Potenzexponenten der Fluid-Stoffgleichung. Schließlich hängt die Form des Geschwindigkeitsprofils für pseudo-plastische Fluide stärker vom Magnetfeld ab als dies bei dilatanten Fluiden der Fall ist.

     

The flow field of Newtonian fluids in cone and plate viscometers with small gap angles

Summary The flow of a Newtonian fluid in cone-plate viscometers is determined by solving the Navier-Stokes equations. It is shown in an order-of-magnitude analysis that the governing equations can be simplified and that the flow field can be split into two parts, if the angle between cone and plate is small. A closedform solution for the inner flow field is established through an iteration procedure. The zeroth-order solution in which the convective terms are neglected is inserted into the governing equations which then can be integrated again. The outer flow field is also described analytically. The solution satisfies the boundary condition of the vanishing radial velocity component at the free surface. The flow is described throughout the whole gap. Velocity components, pressure distributions, torque and normal force due to inertia are calculated. Pressure distributions and the maximum radial velocity are measured. The free surface boundary condition is experimentally examined.

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Zusammenfassung Es wird die Strömung einer newtonschen Flüssigkeit in Kegel-Platte-Rheometern beschrieben. In einer Größenordnungsabschätzung wird gezeigt, daß die beschreibenden Gleichungen vereinfacht werden können und daß das Strömungsfeld in zwei Teile aufgeteilt werden kann, wenn der Winkel zwischen Kegel und Platte klein ist. Eine geschlossene Lösung für den inneren Bereich wird durch eine Iteration erhalten. Die Lösung nullter Ordnung, in der die Konvektion vernachlässigt ist, wird in die beschreibenden Gleichungen eingesetzt, die dann nochmals integriert werden. Das äußere Strömungsfeld wird ebenfalls analytisch bestimmt. Die Lösung erfüllt die Randbedingung der verschwindenden Radialkomponente an der freien Flüssigkeitsoberfläche. Die Strömung wird im gesamten Scherspalt beschrieben. Geschwindigkeitskomponenten, Druckverteilung, Drehmoment und Normalkraft aufgrund von Trägheitskräften werden berechnet. Druckverteilungen und maximale Radialgeschwindigkeiten werden gemessen. Die Randbedingung an der freien Flüssigkeitsoberfläche wird experimentell untersucht.

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With 14 figures and 4 tables