巧用圆的一般方程解题

圆的一般方程C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（D2＋E2-4F〉0）.当点P（x0,y0）在圆外时,x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F〉0,那么x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F的几何意义是什么呢？经过探索,我们发现：结论1已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0（D2＋E2-4F〉0）,当点P（x0,y0）在圆外时,过点P作圆的切线PA,     

巧用椭圆的切点弦方程解题

命题从椭圆x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）外一点p（x0,y0）作椭圆的两条切线,切点分别为A,B,则切点弦AB的方程为x0x/a2＋y0y/b2=1．     

六招破解一道世锦赛数学试题

题目（2011年世界数学锦标赛青年组个人赛第二轮第1题）已知实数x,y,z满足x2＋2y2＋5z2＋2xy＋4yz-2x＋2y＋2z＋11=0,求x＋2y＋3z的取值范围.本题考查的是多元函数在约束条件下的最值或值域问题,这类问题是近年来高考和各类数学竞赛的热点、重点,也是难点.它所体现的数学思想是消元与代换,常用的解题方法有均值不等式法、向量法、换元法、构造法等.     

函数问题的通法通解

题目 已知函数f（x）=ax^2＋bx＋c（a〉0,x∈R）的零点为x1、x2（x1〈x2）,函数f（x）的最小值为y0,且y0∈[x1,x2）,则函数y=f[f（x）]的零点个数是（ ）.     

从已有知识经验出发寻找解题思路

江苏于志洪先生在文[1]中,利用三角换元法解答了6道高考多元条件求最值问题,笔者阅读该文的同时,思考了怎样从学生的已有知识、经验出发,寻求自然的、简明的解题途径.本文以文[1]中的问题为例,探究这些代数最值问题的直接解答途径,愿对读者开展解题分析,探究解题思路,形成解题过程有所启迪.例1（2013年宁镇扬三市二模试题）若不等式x（1/2）＋y（1/2）≤k 2x＋y（1/2）,对任意正实数x,y成立,求k的最小值.     

一类Kolmogorov捕食系统的极限环

本文研究kolmogorov捕食系统{（dx/dt）=x（ψ（x）-φ（y） （dx/dt）=y（bx^m-d） 得到了极限环存在唯一的条件，从而推广了前人相关的结果．其中：ψ（x）=a0＋a1x＋a2x^2＋…＋a（a-1）x^（n-1） -anx^n;n≥m≥1（n,m∈N）,φ（0）=0,φ（y）〉ε〉0（y〉0）.     

从一道自主招生考试试题看能力考查

华中师范大学2010年自主招生考试数学试题的压轴题是：已知当a〉1时,函数y=x^a（a〉0）的图像如图1所示． （i）设a〉1,试用y=x^a（a〉0）的图像说明,当x1〉0,x2〉0时,不等式 （x1＋x2/x）^a≤x1^a＋x2^a/2①成立．     

一道赛题的另一种证明

2008年全国高中数学联赛山东赛区预赛第17题： 若x〉0,y〉0,z〉0,且xyz=1,求证： 1〈1/（1＋x）＋1/（1＋y）＋1/（1＋z）〈2. 原证 （命题组给出的证明）任取a〉0.令b=ax,c=by,由xyz=1,得x=b/a,y=c/b,z=a/c,     

二次曲线弦的中点问题与代点相减法

直线与二次曲线相交所得弦的中点的有关问题，是解析几何中的重要内容，也是历年高考命题的热点之一，其解法丰富多采，千姿百态．本文仅不常用的代点相减法作一些探讨．1关于代点相减法及其解题模式所谓代点相减法，就是将二次曲线弦的端点坐标代入二次曲线方程，然后借助代数运算实现解题目标．其一般模式是：（1）令弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），将其坐标代入二次曲线的方程f（x,y）=0，得f（x1，y1）=0，f（x2，y2）＝0．（2）将（1）中所得的两式相减，并通过因式分解将其整理为只含有x1＋x2，y1＋y2，x1-x2和y1-y2的式子．…     

构造方程 出奇制胜

在解析几何中，有一类问题若采用构造方程法求解，规律明显，方法巧妙，事半功倍．一般地，此类题有下面两个特征：题目的图形特征：两点失第三点；1．描述第三点的量为系数；构造的方程特征2.描述两点的两个量为根．例1过圆（x-a）2＋（y—b）2=r2（r＞0）外一点P（x0，y0）作圆的切线PA、PB，A、B为切点，求切点弦AB所在的直线方程．解题目的图形特征：两点人B夹第三点P．如图1所示．设A（X1，y1），B（Bx2，y2），则过A点的切线PA的方程为：（x1-a）（x-a） （y1-b）（y—b）=r2，即（x—a）x1 （y-b）y1=a（x—a）＋b（y—b）＋…     

一数学竞赛题变式推广的简证

命题 如果m〉0,x,y∈[m,＋∞）,或x,y∈（-∞,m],且（x＋√x^2＋m^2）（y＋√y^2＋m^2）=m^2,那么x=y．     

例谈构造法解题

利用构造法解题,要改变常规的思维方式,独避蹊径,不断的挖掘数学的深层次的客观规律,这对提高解题效率,激发学习兴趣,培养创新精神都是大有裨益的.本文将从七个实例说明如何巧用构造法解题.例1(2010重庆)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是().     

综合题新编选登

题194 已知函数y=kx＋1与y=1/x（x〉0）的图象相关于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1〈x2），l1，l2分别是y=1/x（x〉0）的图象在A，B两点的切线，M是l1与x轴的交点，N是l2与y轴的交点，P是l1与l2的交点．     

赛题的简证、巧证及推广

（2008年全国高中联赛山东赛区预赛第17题）若x〉0,y〉0,z〉0,且xyz＝1,求证：1〈1/1＋x ＋ 1/1＋y ＋ 1/1＋z〈2     

一道赛题的又一简证

2008年全国高中数学联赛山东赛区预赛第（17）． 题目若x〉0,y〉0,z〉0,且xyz=1,求证．1〈1/1＋x ＋ 1/1＋y ＋ 1/1＋z 〈2．     

西班牙数学竞赛一题推广的另证

第31届西班牙数学奥林匹克第2题为 命题1如果（x＋√x^2＋1）（y＋√y^2＋1）=1,则x＋y=0．文[1]给出下面推广： 命题2如果m〉0,x,y∈[m,＋∞）或x,y∈（-∞,＋m]且（x＋√x^2-m^2）（y＋√y^2-m^2）=m^2,那么x=Y． 文[1]采用换元法证明了命题2,仔细研读后笔者给出命题2的另一种简洁证法。     

主元法解一道北大自主招生试题

题目设x,y,z∈R＋且x2（1/2）＋y2＋z=1,求xy＋2xz的最大值.这是2010年北京大学自主招生试题,是一道含有三变元的条件最值问题,本题难度较大,很难找到解题入口,本文用主元法给出两种解法与大家分享.解法1依题意,设x=rcosθ,y=rsinθ,θ∈（0,π2）,r∈（0,1）,则x2（1/2）＋y2＋z=1为r＋z=1,所以z=1-r.设w=xy＋2xz,则w=r2sinθcosθ＋2r（1-r）cosθ,     

三个共轴等离心率椭圆的有趣性质

我们知道,椭圆x2/a2＋y2/b2=λ1（λ1〉0）与椭圆x2/a2＋y2/b2=λ2（λ2〉0,λ2≠λ1）有相同的对称轴（x轴和y轴）和相等的离心率e=（（2a-b2）/a）~（1/2）,下面我们给出关联三个共轴等离心率椭圆的两个有趣性质.定理1给定两个共轴等离心率椭圆C1：     

椭圆切线方程的两种巧妙求法

问题求椭圆C：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）上一点P（x0,y0）处的切线方程.求椭圆上某点处的切线方程,通常是设出过切点的直线y-y0=k（x-x0）,联立直线与椭圆方程,由判别式Δ=0求解,往往计算量较大,容易望而却步;不少资料书上虽然给出了结论x0x/a2＋y0y/b2=1,但鲜有推导结论的方法,很多同学一知半解.授人以鱼,不如授人以渔,数学中不少结论和公式的推导过程本身蕴含着丰富的思想和方法,     

一类函数极值模型的构建与应用

函数模型 函数y=x2＋a2-λx（0〈λ〈1,a〉0,x〉0,a,λ是常数）,当x=λa/1-λ2时,有极小值ymin=1-λ2·a.