整函数及其微分多项式的唯一性

本文证明如下定理：设ｆ（ｚ）为非常数整函数，Ｐ（ｆ）－ｆ￣（ｎ）（ｚ）＋ａ＿１（ｚ）ｆ￣（ｎ－１）（ｚ）＋…ａ＿ｎ（ｚ）ｆ（ｚ），其中ａ＿１（ｚ）ａ＿２（ｚ），…ａ＿ｎ（ｚ）为ｆ（ｚ）的小整函数，若ｆ（ｚ）与Ｐ＿（ｆ）以两个互为判别的有穷复数ａ，ｂ为ＣＭ－分担值，且ａ＋ｂ≠０或者，则ｆ≡Ｐ（ｆ）     

整体思想在复数中的运用

整体思想在复数中的运用６２１１００四州省三台中学李志荣复数ａ＋ｂｉ与有序实数对（ａ，ｂ）、复数ｒ（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）（ｒ≥０，θ∈［０，２π）且规定：ｒ＝０时，θ＝０）与实数对（ｒ，θ）形成一一映射．从而，ａ、ｂ；ｒ、θ构成了复数的两组基本量．然...     

涉及微分多项式的亚纯函数的唯一性

设ｆ（ｚ）是非常数的整函数，ｎ是正整数，Ｆ（ｚ）＝ｆ￣（ｎ）（ｚ）＋ａ＿１（ｚ）ｆ￣（ｎ－１）（ｚ）＋…＋ａ＿ｎ（ｚ）ｆ（ｘ），其中ａ＿１（ｚ），ａ＿２（ｚ），…，ａ＿ｎ（ｚ）均是ｆ（ｚ）的小函数，本文证明了：若ｆ（ｚ）和Ｆ（ｚ）几乎ＣＭ分担两个不同的有穷复数ａ和ｂ，则ｆ（ｚ）≡Ｆ（ｚ）．     

改进的R.Nevanlinna第二基本定理

设ｆ（ｚ）是超越亚纯函数，ｎ为任一非负整数，ε为任意正数，ａ＾（ｉ）ｒ＝（ｖ＝１，２，…，ｑｉ，ｉ＝０，１，…，ｎ）均为有穷非零复数，满足ｍｉｎ／１≤ｖ１＜ｖ２≤ｑｉ｜ａ＾（ｉ）ｖ１－ａ＾（ｉ）ｖ２｜≥δ＞０，ｉ＝０，１，…，ｎ。若ｆ（０）≠０，∞，П＾ｎｉ＝１ｆ（ｉ）（０）≠０，则对０＜ｒ＜＋∞有ｍ（ｒ，ｆ）＋ｍ（ｒ，１／ｆ）＋Σ＾ｕｉ＝０Σ＾ｑｉｒ＝１ｍ（ｒ，ａ＾（ｉ）ｖ，ｆ＾（ｉ）≤（２＋ε     

用复数的三角式解三角题

用复数的三角式解三角题苏万春（吉林省永吉三中１３２２２７）由棣莫佛定理，设ｚ＝ｒ（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ），当ｒ＝１时，ｚｎ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ且由此二式，可得由上面的公式．将三角问题化为复数问题解决，对沟通学科分支之间的联系．拓宽解题思路是大有...     

化复数为三角式的一种模式

化复数为三角式的一种模式张云华，熊福州（四川泸县一中）《数学通讯》１９９４年第１０期《巧用三角诱导公式化复数为三角形式》一文（下称文［１］），给出了形如ｚ＝ｒ（±ｃｏｓα±ｉｓｉｎα）和ｚ＝ｒ（±ｓｉｎα±ｉｃｏｓα）（ｒ＞０）的复数，利用三角诱导公...     

巧用三角诱导公式化复数为三角形式

巧用三角诱导公式化复数为三角形式河北省廊坊市第二中学金建刚复数的三角形式，其关键是“形式”，复数的三角形式为ｚ＝ｒ（ｃｏｓθ十ｉｓｉｎθ），特征：第一，ｒ＞０；第二，前余弦，后正弦，角相同；第三，中间是“十”号．学生对实部和虚部都是三角函数表示的复数...     

同是平移异在何处

有这样两道与复数平移有关的习题：１．设复数ｚ在复平面上对应的点为Ｐ,将点Ｐ绕坐标原点逆时针方向旋转π４后,沿实轴正向平移１个单位,再向上平移１个单位得到点Ｑ,若点Ｑ与点Ｐ重合,求复数ｚ．上题学生中有以下两种解法．解法１　由复数运算的几何意义得：ｚ（ｃｏｓπ４＋ｉｓｉｎπ４）＋（１＋ｉ）＝ｚ,∴　ｚ＝－（１＋ｉ）２２＋２２ｉ－１＝－２２＋２＋２２ｉ．解法２　向量平移后仍等于原向量,故不必考虑平移,∴　ｚ（ｃｏｓπ４＋ｉｓｉｎπ４）＝ｚ,∴　ｚ＝０．２．一个向量顺时针旋转π３后,向右平移３个单位,再…     

数形结合解答高考复数选择题

近年高考复数类选择题突出了对考生数学思想方法和能力的考查,体现了高考的选拔功能．运用数形结合思想分析解答此类问题往往事半功倍,能有效地提高解题效率,减少隐性失分．以下就近年有关高考复数选择题进行归纳分析,供教学时参考．１ 基本知识点 （１）复数的几何意义及复数运算的几何意义（略）． （２）复平面上两点 间距离公式ｄ＝｜ｚ１－ｚ２｜． （３）复平面上圆的方程 ｜ｚ—ｚ０｜＝ｒ（ｒ＞０）表示以Ｚ０为圆心,ｒ为半径的圆． ｜ｚ－ｚ０｜＜ｒ（ｒ＞０）,表示以Ｚ０为圆心,ｒ为半径的圆面（不包括圆周）． ｜ｚ－ｚ０…     

整系数多项式有理根检验范围的压缩

整系数多项式有理根检验范围的压缩李庆淮（徐州教育学院数学系２２１００６）１引言关于整系数多项式ｆ（ｘ）＝ａｎｘｎ＋ａｎ－１ｘｎ－１＋…＋ａ１ｘ＋ａ０（１）的有理根，早有众所周知的如下结果：“如果有理数ｒｓ（其中ｒ，ｓ∈Ｚ，且（ｒ，ｓ）＝１）是（１）的...     

一类无理函数值域问题的统一解法

不少文献研究了无理函数ｙ＝ｔｘ＋ｖ＋ｋａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａｋ≠０）（）的值域问题（设ｂ２－４ａｃ≠０）．本文利用三角变换结合直线斜率数形结合给出一种统一解法．原函数式配方,得ｙ＝ｔｘ＋ｖ＋ｋａ（ｘ＋ｂ２ａ）２＋４ａｃ－ｂ２４ａ．作替换ｚ＝ｘ＋ｂ２ａ,则ｙ＝ｔｚ＋（ｖ－ｂｔ２ａ）＋ｋａｚ２＋４ａｃ－ｂ２４ａ．若ａ＜０,则有ｙ＝ｔｚ＋（ｖ－ｂｔ２ａ）＋ｋ－ａ　·ｂ２－４ａｃ４ａ２－ｚ２．若ａ＞０,则有ｙ＝ｔｚ＋（ｖ－ｂｔ２ａ）＋ｋａ　·ｚ２＋４ａｃ－ｂ２４ａ２．因此,函数式的根号内可化为ｒ２－ｚ２…     

费尔马最后定理的证明

（ｉ）我们用（ｘ－ｂ）ｎ＋ｘｎ＝（ｘ＋ａ）来代替ｘｎ＋ｙｎ＝ｚｎ作为费尔马最后定理（ＦＬＴ）的普遍方程式．其中ａ及ｂ是两个任意自然数．应用二项展开式，（０．１）可以写成因为ａｒ－（－ｂ）ｒ始终包含ａ＋ｂ作为它的因数，（０．２）可写成其中фｒ＝［ａｒ－（－ｂ）ｒ］／（ａ＋ｂ）对于ｒ＝１，２，…，ｎ．都是个整数．（ｉｉ）令ｓ是ａ＋ｂ的一个因数，并令ａ＋ｂ＝ｓｃ．我们可用ｘ＝ｓｙ来变换（０．３）成为下列（０．４）（ｉｉｉ）将（０．４）除以Ｓ２，我们得（０．５）式的左边，是的整系数多项式，而右边ｃф／ｓ是个常数Ｃф／ｓ．若Ｃф／ｓ不是个整数，那末我们不能求得能适合（０．５）的整数ｙ，这样ＦＬＴ对这场合是对问．若Ｃфｎ／ｓ是个整数，我们可以改变ｓ和ｃ，使ｃф／ｓ≠整数。     

复数的模及其性质

复数的模及其性质于鸣（武汉中学）［基本概念］设复数ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ、ｂ∈Ｒ），则定义ｚ的模为，记为．复数的模的几何意义是，复数ｚ在复平面内对应的点Ｚ到原点的距离，即向量ＯＺ的长度．显然．当且仅当ｚ＝０时，特别地，当ｚ为实数时，设ｚ＝ａ，则，与实数绝对...     

复数概念题解的优化

关于复数ｚ＝ａ＋ｂｉ（ａ、ｂ∈Ｒ）的概念有如下两个命题：１．ｚ∈Ｒｚ－ｚ＝０；２．ｚ∈｛纯虚数｝ｚ＋ｚ＝０（ｚ≠０）．这两个命题的证明十分简单，在此从略．运用这两个命题并结合基本公式ｚｚ＝｜ｚ｜２＝｜ｚ｜２，可使有关概念题解的思路优化，计算简便，...     

向日葵方程的Hopf分支

本文以ａ为参数，讨论了向日葵方程ａ＋（ａ／４）ａ＋（ｂ／ｒ）ｓｉｎａ（ｔ－ｒ）＝０的Ｈｏｐｆ分支，给出了存在Ｈｏｐｆ分支的条件，分支方向，分支周期解的表达式及其稳定性等性质。     

三角形内角的余弦方程及应用

设△ＡＢＣ的三边为ａ、ｂ、ｃ,ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ）,内切圆、外接圆的半径分别为ｒ、Ｒ,则ｃｏｓＡ、ｃｏｓＢ、ｃｏｓＣ是方程,４Ｒ２ｘ３－４Ｒ（Ｒ＋ｒ）ｘ２＋（ｐ２＋ｒ２－４Ｒ２）ｘ＋（２Ｒ＋ｒ）２－ｐ２＝０（１）的三个根．证明在△ＡＢＣ中,由ｔｇＡ...     

涉及三角形傍切圆半径的一个不等式

定理设△ＡＢＣ的三边长为ａ,ｂ,ｃ,其傍切圆与外接圆、内切圆的半径分别为ｒａ,ｒｂ,ｒｃ与Ｒ,ｒ,则有（２－ｒＲ）２≤ｒｂｒｃａ２＋ｒｃｒａｂ２＋ｒａｒｂｃ２≤（Ｒｒ－ｒＲ）２①引理令ｓ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ）,则ｒｂｒｃａ２＋ｒｃｒａａ２＋ｒａｒｂａ２...     

用几何法探求｜x-c_1｜±｜x-c_2｜<=(>)2a型不等式的解

用几何法探求｜ｘ－ｃ１｜±｜ｘ－ｃ２｜（＞）２ａ型不等式的解黄桂君（江苏省高邮市中学２２５６００）众所周知，｜ｚ１－ｚ２｜的几何意义是两复数对应点之间的距离．因而两个焦点对应的复数分别为ｃ１，ｃ２，长轴长为２ａ（＞｜ｃ１－ｃ２｜）的椭圆的复数形式的...     

数学问题解答

１９９９年７月号问题解答（解答由问题提供人给出）１２０１．已知ｘ,ｙ,ｚ都是正实数,且满足ｘ·ｙ·ｚ＝１;求证ｘ２ｙ＋ｚ＋ｙ２ｚ＋ｘ＋ｚ２ｘ＋ｙ≥３２;证明：设ｓ＝ｘ＋ｙ＋ｚ,则ｘ２ｙ＋ｚ＋ｙ２ｚ＋ｘ＋ｚ２ｘ＋ｙ＝ｘ２ｓ－ｘ＋ｙ２ｓ－ｙ＋ｚ２ｓ－ｚ＝ｘ２ｓ－ｘ＋ｘ＋ｙ２ｓ－ｙ＋ｙ＋ｚ２ｓ－ｚ＋ｚ－ｓ＝ｓ·ｘｓ－ｘ＋ｙｓ－ｙ＋ｚｓ－ｚ－ｓ＝ｓ·ｘｓ－ｘ＋１＋ｙｓ－ｙ＋１＋ｚｓ－ｚ＋１－３－ｓ＝ｓ２·１ｓ－ｘ＋１ｓ－ｙ＋１ｓ－ｚ－４ｓ≥ｓ２·３２（ｓ－ｘ）＋（ｓ－ｙ）＋（ｓ－ｚ）－４ｓ＝９２ｓ－４ｓ…     

Fourier-Jacobi展开的Riesz平均

对ｆ∈Ｌｐ（Ｒ＋，Δ（ｔ）ｄｔ），Δ（ｔ）＝（２ｓｉｎｈｔ）２α＋１（２ｃｏｓｈｔ）２β＋１，１ｐ２，本文证明了当Ｒｅｚ＞（２／ｐ－１）（α＋１／２）时，ｆ的Ｆｏｕｒｉｅｒ－Ｊａｃｏｂｉ展开的ｚ－阶Ｒｉｅｓｚ平均几乎处处收敛于ｆ．该结果推广了Ｇｉｕｌｉｎｉ和Ｍａｕｃｅｒｉ在实秩为１的对称空间上的相应结果