L'équation de Poisson et les noyaux de Green associés à un opérateur différentiel singulier sur R+

We consider a class ℳ of singular differential operators on the half line and ⋆ the convolution on ℝ₊. associated with L ε ℳ. If μ(≠ ɛ₀) is a probability measure on ℝ₊, we study the asymptotic behaviour of the solution of both Poisson equations Lu = −ƒ and (μ. − ɛ₀) ⋆ u = −ƒ where ƒ ε C_k(ℝ₊) is given. The results follow from a more general study on the precise asymptotic behaviour of the Green kernel of the convolution semigroups associated with L.     

D-modules et ɛ-modules associés à un opérateur différentiel à caractéristiques simples

We know by the works of J. Leray that the advanced elementary solution of a differential operator P, which is supposed to be hyperbolic with simple caracteristics over an open subset U of ℝ, satisfies to a regular holonomic system of differential equations. The task of this Note is to build such a system. Moreover, the equations of this system are satisfied by any elementary solution of P, modulo holomorphic functions over a complex neighborhood of U x U, if P is supposed to be elliptic with simple characteristics.     

Matrice de connexion d'un système aux q-différences confluant vers un système différentiel et matrices de monodromie

We built in [6] a version with elliptic coefficients of the Birkhoff connection matrix and showed its role in the classification of regular singular q-difference systems. We give here a geometrical interpretation: when q tends to 1, P tends to a locally constant matrix P such that the (finitely many) values (a)⁻¹ (b) are the monodromy matrices of the limiting differential system (assumed to be non-resonant at 0 and ∞) at the singularities on C^*.     

Sur un théorème de P. Lelong pour les fonctions solutions d'une équation aux dérivées partielles elliptique

L'objet principal de ce travail est de généraliser un résultat de P. Lelong d'après lequel certaines fonctions analytiques de deux groupes variables réelles sont analytiques pour l'ensemble des variables. On se restreindra aux fonctions solutions d'une équation aux dérivées partielles elliptique à coefficients constants. Pour cela on introduit une fonction extrémale, associée à ces fonctions, qui paraît posséder certaines similitudes avec la fonction extrémale plurisousharmonique classique.     

Sur un type de problème bilocal pour les équations aux dérivées partielles

Résumé L'auteur détermine pour l'équation (1), dans la bande 0≦t≦δ, avec l'hypothèse (2) concernant le second membre, la solution prenant sur les droites t=0, t=δ, des valeurs données. Cette solution est nnique. Elle vérifie la même condition (2) que le second membre de (1). à Giovanni Sansone pour son 70^me anniversaire     

Spectre discret des opérateurs périodiques perturbés par un opérateur différentiel à coefficients décroissants

We study the discrete spectrum arising in the spectral gaps of an elliptic periodic differential operator, P, perturbed by a differential operator, Q, with decaying coefficient. In the semi-classical regime (Q = Q(h), h0) (resp. the large-coupling constant: Q = λQ, λ → + ∞,), we obtain an asymptotic expansion in powers of h (resp. λ) of trƒ(P + Q(h)) (resp. trƒ(P + λQ)) and we give explicitly the leading term. Here ƒ ε C₀^∞(I) where I is an interval disjoint from the spectrum of P. We apply these results to study the asymptotic distribution of eigenvalues.     

Sur un théorème de Choquet

Résumé Le but de ce travail est de caractériser les éspaces topologiques qui possèdent la propriété suivant: pour toute famille(f _t ) _{t I} de fonctions numériques définies dansX il existe une partie dénombrableI ₀ de l'ensemble d'indicesI telle que les fonctions inf _tI f _i et inf _tI0 f _i ont la meme régularisation inférieurement semi-continue.On démontre que l'espace topologiqueX possède cette propriété si et seulement si pour tout sous-ensembleA deX il existe une sous-ensemble dénombrableA ₀,A ₀ A tel queA ₀.On généralise un résultat topologique de G. Choquet.

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Un théorème sur les séries de Dirichlet

We considerk Dirichlet series a _j (n)n ^–s (1jk),k2. We suppose that for eachj the series a _j (n)n ^–s converges fors=s _j =j+it _j , and that Max j<1/(k–1). We prove that the (Dirichlet) product of these series converges uniformly on every bounded segment of the line es = (₁+...+ _k )/k+1–1/k and we estimate the rate of convergence. The number 1–1/k cannot be replaced by a smaller one.     

Remarques sur un théorème de M. Fréchet

Sans résumé     

Une remarque sur un théorème de M. Kaczmarz

Sans résumé     

Un théorème de Liouville pour l'opérateur de Schrödinger avec dérive

Let $(M,g)$ be a complete Riemannian manifold without boundary of dimension n and V be a $C^2$ vector field on M such that $r(x)|V(x)|$ is bounded. Suppose that ${\mathrm{Ric}}_g(x)??\min \{\lambda (r(x))?{\mu }_{\mathrm{?}V}(x),\beta (r(x))\}$ outside a compact set of M, where ${\mu }_{\mathrm{?}V}$ denotes the upper eigenvalue of ?V and $\lambda ,\beta$ are non-negative decreasing functions such that ${\lim }_{t\to +\infty }{t}^2\lambda (t)=0$. There exists positive numbers $b_n$ and $c_n$ which depend only on n and $6V{6}_{\infty }$ such that if h is a $C^2$ function defined on M with $\mathrm{\Delta }h??c_n{a}^2$ and ${\mathrm{lim?sup}}_{R\to \infty }{R}^{\mathrm{?2}}{\min }_{x\in B_p(3R)?B_p(R)}h(x)??b_n{a}^2$, where $0?a<{\mathrm{lim?inf}}_{j\to \infty }h(z_j)$, where $(z_j)$ is a sequence of M such that $r(z_j)\to \infty$, then the equation $\mathrm{\Delta }u(x)+V(x)?\mathrm{?}u(x)+h(x)u(x)=0$ has no positive $C^2$ solution on M. To cite this article: S. Asserda, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).