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数学是思维的体操 ,它在培养人的思维能力方面起着至关重要的作用 .思维角度转换在思维能力中显得尤为重要 ,下面举例谈谈数学解题中如何进行思维角度的转换 .例 1 对于满足 0≤ p≤ 4的一切实数 ,不等式x2 + px >4x + p - 3恒成立 ,试求x的取值范围 .分析 本题中含有x ,p两个变量 ,一方面 ,可以从不同角度看这两个变量 ;另一方面 ,可以借助于函数来解决不等式问题 .解 [方法 1]原不等式即为x2 + (p - 4 )x + 3- p >0 (1)∴方程x2 + (p - 4 )x + 3- p =0的根为x1=1,x2 =3- p (0≤ p≤ 4 ) .∵ 0≤p≤ 4 ,∴ - 1≤… 相似文献
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《中学数学教学参考》2002年第8期P27上有这样两个不等式: 已知a,b∈R~+,a+b=1,则 4/3≤1/a+1+1/b+1<3/2, 3/2相似文献
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一个代数不等式的再推广 总被引:3,自引:0,他引:3
文 [1 ]中给出了一个代数不等式并由此推出了一系列的结果 ,文 [2 ]中对这一不等式作了推广 .本文将其再推广 ,给出更具一般性的形式 .定理 设x =x(t) ,y =y(t) ,t∈D R ,x >0 ,y >0 ,x ,y是D上单调函数 (可不严格 ) ,A =x(t1)·[y(t1) - y(t2 ) ]+x(t2 )[y(t2 ) - y(t3) ]+… +x(tn -1) [y(tn -1) -y(tn) ]+x(tn) [y(tn) - y(t1) ],n >1 ,n∈N .则1 )若x ,y增减性相同 ,得A≥ 0 ,且当且仅当x(t1) =… =x(tn)或 y(t1) =… =y(tn)时 ,A =0 ;2 )若x ,y增减性相反 ,得A≤ 0… 相似文献
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不等式的证明是高中数学的重要内容之一。由于不等式的证明灵活多样,技巧性强,因此有必要掌握几种特殊的证明方法或技巧,以提高证题能力. 相似文献
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文 [1 ]有一个优美的不等式猜想 :若ak∈R (k =1 ,2 ,… ,n) ,则 nk=1ak nk=11ak ≥n2 2n 1≤i<j≤n(2n ajai-2n aiaj) 2 (1 )本文证明这个猜想 .记Fn=xn 1xn (x∈R ,n∈ Z-) ,则Fn≥ 2 .容易验证有如下引理 1 若m1,m2 ∈Z ,m1≥m2 ,则Fm1 m2 =Fm1Fm2 -Fm1-m2 .引理 2 当n≥ 2时 ,Fn≥ 2nF1- 2 (2n- 1 ) (2 )证明 当n =2 ,3时 ,文 [1 ]已证 (2 )式成立 ,即有F2 ≥ 4F1- 6 ,F3≥ 6F1- 1 0 .假设n <k时 ,(2 )式成立 .则当n =k (k≥ 4)时 ,1 )若k为奇数 ,… 相似文献
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一个不等式的再证与推广 总被引:3,自引:2,他引:1
已知a>13,b>13,ab=29,求证a b<1 ,文 [1 ]采取构造二次方程来证明此不等式 ,文 [2 ]又给出了一个更为简捷的证法 ,的确是三言两语便说明了问题 .但要说证法最优 ,倒很难判定 :什么叫“最”优证法 ?有独一无二的“最”优证法吗 ?现将上面的题目稍加推广 :已知 a1 >14,a2 >14,a3>14;a1 a2 a3=24 3.求证 a1 a2 a3<1 .要用文 [1 ]、[2 ]的证法给予证明便行不通了 ,可见 ,这两种证法都有局限性 ,适用范围不广 .另外 ,文 [1 ]在构造二次方程x2 -tx 29=0中 ,还可由判别式Δ=t2 - 89≥ 0 ,得到不等式 t=a b≥2 23.当然… 相似文献
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含绝对值不等式的证明,方法灵活多样,难度较大.既要重视综合法、分析法、放缩法、反证法、数学归纳法等基本数学方法的应用,还要善于运用配凑、拆项、换元、构造、特殊化、等分区间、分类讨论等一些常用的解题技巧与策略.此外,绝对值不等式还有如下两个重要性质: 相似文献
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人教版教材高中数学第二册 (上 ) (必修 )第30页有这样一道习题 :已知a >b>c ,求证 :1a -b 1b -c 1c -a>0 .这样一道看似普通的不等式习题 ,却蕴涵着丰富的教学功能 .笔者在教学中从这道习题出发 ,引导学生开展了一次数学探究活动 .探究 1 变题题 1 已知a>b >c,求证 1a -b 相似文献
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在数学解题中,经常会遇到三个正数的不等式的证明问题,对这类问题,不少同学感到思维难度较大,解题过程复杂,本文介绍一个简单又平凡的不等式,并给出它的应用. 相似文献
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Whc 168:一堆书放入n个抽屉(允许有空抽屉),为了使任意两个抽屉里书的数目之差不同,问至少要有多少本书? 相似文献
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文[1]给出了如下定理及其证明:
定理 设a1,a2,…,an∈R^+,且a1+a2+…+an=s,k∈N,k≥2,则有 相似文献
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笔者在翻阅文[1]时,看到如下问题问题1已知x12 x22 … x2100=300,求证:x1 x2 … x100≤200.文[1]指出,可以构造多项式x2-2x 1=(x-1)2≥0进行证明.读完文[1],笔者就想,既然可以构造(x-1)2≥0和(x-3)2≥0来进行证明,那么用其他形如(x-a)2≥0的表达式进行证明行吗?经过试验可知,取a=12时达不到目的,只能得出i1∑=001xi≤325;而当取a=2时,得到了不等式∑100i=1xi≤7400<200,这不仅证明了问题1,而且还把所要证明的不等式∑100i=1xi≤200进一步加强为∑100i=1xi≤7400.因此,我们有理由猜想,在所有不等式1∑00i=1xi≤Bt中,只要选择适当的a,利用(x-… 相似文献
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本刊 2 0 0 1年第 9期《综合题选编》中给出了一个参数a的最大值问题 ,刊出后陕西柳锋祥 ,浙江华漫天 ,湖北魏烈斌 ,江苏方小连 ,云南张国坤 ,安徽万家练均来稿给出了正确结果 ,本刊按来稿的先后顺序选登浙江陶文强的文章 相似文献
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对一个不等式问题的完善 总被引:1,自引:1,他引:0
设a ,b ,c为正数 ,且满足abc=1 ,试证 :1a3(b c) 1b3(a c) 1c3(a b) ≥ 32 .该题是第 3 6届IMO试题 .自《数学通报》1 996年第 5期作为征解问题的第 1 0 1 3题以来 ,仅《数学通报》就有近 2 0篇文章 (见参考文献 ) ,作为例题或习题加以引用 ,用不同的方法进行了证明 ,也有一些文章对该题结论进行了推广 ,如文 [2 ]推广为设a ,b ,c为正数 ,且满足abc=1 ,试证 :1am(b c) 1bm(a c) 1cm(a b) ≥32 (m ∈N) .但其证明有错误 .文 [7]推广为m ≥ 2的实数 .本人首先指出对该题或该题的推广的证明中… 相似文献