一族特殊的星像函數

<正> 設函數w=f(z)在單位圓|z|<1中是正則的.f(0)=0,f′(0)=1.假如f(z)是單葉的,那末w=f(z)映照|z|<1於w平面上的單葉的像D_f.記這種單葉函數的全體為S.若D_f以原點w=0為星形中心,就稱f(z)是|z|<1中的星     

圆錐曲线(續)

§4.直圆錐面的平截线现在我們研究在第二种定义下直圓錐面平截綫的各种形状。 設有以O为頂,OA为軸,a(0相似文献   

典型實照的奇函數

<正> 1.設函數f(z)在單位圓|z|<1是正則的,f(0)=0,f’(0)=1;且在此單位圓內,當(z)≠0時,記此種典型實照函數的全體為T_r. 戈魯淨證明T_r中的函數f(z)在單位圓|z|<1內,可以用司帝皆積分     

關於平均P葉函數

<正> §1.設函數f(z)=在單位圓|z|<1中是正則的;W表示w=f(z)將|z|>1照像到w平面上的黎曼面;以w(R)表示圓|w|≤R所掩蓋W的面積(重叠的黎曼面以重叠的次數計算)。若對任意的R>0,     

單葉函數的開始多項式

<正> §1 設k次對稱函數fk(z)=z+在單位圓|z|<1中正則單葉。記σ_n~((k))(z)=z+特別記σ_n~((1))(z)=σ_n(z). 舍苟證明一切σ_n(z)在圓|z|<1/4中單葉,且不能易以更大之數。列文     

指数函数的一个新定义

在中等数学及数学分析的內容中,我們知道,定义在整个数軸上的以e为底的指数函数e~x具有下面的两个特性: Ⅰ) 对任意的实数x_1,x_2有e~x1·e~x2=e~x1~(+x)2; Ⅱ) (?)en-1/x=1。 現在我們提出一个反面問題,即一个定义在整个数軸上,且又滿足性貭Ⅰ),Ⅱ)的函数是否就必为指数函数e~x呢?答案是肯定的,証明如下: 設E(x)是定义在整个数軸上,滿足关系Ⅰ)E(x_1)。E(x_2)=E(x_1+x_2)及Ⅱ) (?)E(x)-1/x=1的一个函数,則有定理1.E(x)在整个数軸上可导,且E′(x)=E(x)成立。 証.设x是数軸上任意給定的一点,由Ⅰ)有E(x     

关于圓内具有两个例外值B的全純函数

<正> 引言 1.对于在单位圓內的亚純函数f(z)熊庆来教授借助于密指标N(r,a)导入例外值B的定义,而于f不取0且容許1为例外值B的全純函数,他証明了一个界囿定理有类于著名的灼特基(Schottky)定理. 本文于值1的假設易f为f~((k))时,我們証明一个定理类似于密朗达一伐利隆(Miranda-     

借助于圓的二次方程的图解

1.假設已知化簡后的二次方程 x~2 px q=0配成完全平方: (x p/2)~2-(p~2/4-q)=0, -(x p/2)~2 (p~2/4-4)=0。用y~2表示方程的左端 y~2=(p~2/4-q)-(x p/2)~2,由此, (x p/2)~2 y~2=p~2/4-q,所得到的是一个圓的方程,其圓心为点(-p/2,0),半径为r=(p~2/4-q)~(1/p~2/4-q),此圓与Ox軸的交点的横坐标就是二次方程的根。例.图解方程 3x~2-8x-51=0,化簡后的方程是 x~2-2(2/3x)-17=0,或者 -(x-1(1/3))~2 18(7/9)=0。用y~2表示它的左端,得到一个圓的方程 (x-1(1/3)))~2 y~2=18(7/9)。圓心在点(1(1/3),0)半径等于当x=1(1/3)时的y的     

一族解析函數的模數

<正> §1.設函數f(ζ)在單位圓|ζ|<1中是正則的,f(0)=0,當|ζ_1|<1,|ζ_2|<1時f(ζ_1)·f(ζ_2)≠1.這種函數的全體記做C.首先研究這種函數的是比巴霸赫,其後有愛倫貝格.洛各淨司基證明:對於C中任一函數f(ζ),必從屬於C中某一單葉函數g(ζ).     

極限與複數的教學總結

現用高中代數教科書是與教學大綱(草案)最不一致的一科,為提高教學質量而完成數學教師的任務,對教材的處理,是特別需要認真鑽研的,從上學年起我們互助組明確了這個問題,使我們對教材的掌握上,感到有些收穫,茲就代數課中的兩個進行教學比較困難的單元來談一談: 1、極限高二代數中的極限概念、是數學的基本概念之一,應用它來叙述關於循環小數,無限遞降等比數列,幾何課中圓周長和圓面積,以及圓柱、圓錐与球的表面積和體積等問題,在中學數學課中它是完全必要的一部份,但極限這一單元,在     

圓內整点問題

<正> 用R(t)表示圓x~2+y~2=t的內面及圓周上面的整点的数目,很容易証明当t→∞时R(t)～πt,实际上我們有 R(t)=πt+O(t~a),(1)这里a代表某个小于1的数,我們的問題就是去寻求使得(1)式成立的a的下界.到     

关于分圓问题

一.問题的提出和轉化1.問題的提出。用圓規和直尺来等分一个圓周(或者作一个正多边形)在初等几何学里是一个很平常的問題;可是为了完全地解决这个問題,却不是單憑初等几何学的知識所能做到的,这需要有比較高深的工具。我們在这篇文章里是想尽量地利用比較初等的工具来解     

关于“指数函数的新定义”一文

颜怀曾同志在“指数函数的一个新定义”一文中(数学通报,1963年7月号)証明了如下結論: 設E(x)是定义在整个数軸上的函数,且滿足下面的关系: 1)E(x+y)=E(x)E(y), 2)■則E(x)是指数函数,卽E(x)=e~x。本文中,我們将給出上面結論的一个新的証明,这个証法比颜怀曾同志的証法要来得簡     

組合算法中的一對互逆公式及其應用

在這裹我們來介紹一對異常簡單的互逆公式(或稱反轉公式),就其性質來講,甚至此初等數論中的(?)公式還要简單些。公式的證明亦只用到初等代數裏的一些组合算法的知識。 設f(k),g(k)都代表任意的函數,其中的變數k只取非負整數值:k=0,1,2,3,…。又以(n/k)表示二項展開式的係數,當k>n時,共值規定為零,我們所要介紹的互逆公式便是:     

关于三分角問題的近似作图法問題

目前为止,还有相当多的朋友,虽然已經承认了用圓規直尺去三等分任意一角是不可能的了(其理由詳見[1],[2]及[3]),但是,他們却在致力于三分角的近似作图法的研究。我們在本文中将要指出,用圆規直尺可以作近似的三等分角,其精确的程度为:誤差可达任意小。如此看来,一切制造一个步署來作三分角的近似作图法的研究,是沒有新的創造意义的。希望还在致力于近似作三分角的朋友們不要再因为在已經彻底終結了的这类古典几何作图題上浪費时間和精力。我們的結論是: 定理.对任意給定的角φ,則对于任意的一小角ε>0,一定可以用圓規和直尺作得一角品(?)*,可使滿足 |(?)*-φ/3|<ε,(*) 其中φ,(?)*,ε的讀数是弧度的数值。 証.显然可以不妨假設0<φ<π/2。用圓規和直尺作两条相交的直綫OA和OB,它們相交子O点的夹角∠AOB=φ,再以O为圓心,以半径为1=OA的长作圓交OA及OB于A及B点,A和B連成綫段AB,其长度記作L。由三角学的知識,得     

双紐曲線的性質

双紐曲線係高次曲線的一种,它的性質已在解析幾何与數学分析中略述一二,本文的目的,在於用初等幾何的方法來研究它的性質,假使達到这个目的,那末我們就可以用同样的方法來研究其他高次曲線了。本文中利用反演法將直角双曲線反演成双紐曲線然後利用直角双曲線的性質來得出双紐曲線的性質。用直角双曲線的中心O为反演中心,以其輔助圓(即以实軸AA′为直徑之圓)为反演基圓而將直角双曲線反演,本文始終採用这种方法。 設S及占S′为直角双曲線之焦點,A,A′为其頂點,則OS=OS′=a2~(1/2),OA=OA′=a(因直角双曲線中e=2~(1/2)),取O为反演中心,a真为反演半徑求S,S’之反點,設这兩點之反點     

新編平面解析几何中几个天文問題簡介

高級中学課本平面解析几何(人民教育出版社出版,1963年第一版)中适当地介紹了解析几何在各方面的应用。本文仅就涉及到天文方面的某些問題,稍作說明,供正在鉆研这一課本的同志們参考。 1.地球是一个椭球体。課本在总复习題的第17題中提出地球的子午綫是一个椭圆,压縮率α=1/300。这个問題是这样的:我們設想把占地球表面3/4的海平面延伸和穿过大陆,就得到所謂“大地水准面”。这个大地水准面“第一次近似”于一个圓球面,在这个圓球面上通过南北两极的大圓称为子午綫。当月蝕現象发生时,就能看到地球在月亮上的影子始終为圓弧形,这就証明了只有地球近似于圓球形物体,其影子才能为圓弧形。基于这一了解,紀元前三世紀时,大地测量学者埃拉托斯芬在埃及亚历山大城,通过对子午綫弧的測量来算出地球子午綫周长約为40,000公里,地球半径約为12,700公里。由于测量仪器的精确度的限制,他所     

导数的一些应用

根据我們領导学生数学小組的經驗,利用导数来研究中学課程中一些已知的事实,引起了学生們很大的兴趣。让我們来举一些几何学方面的例子。在导出了整数指数冪的求导数公式以后,我們就可以对比下列已知公式: K=πR~2,c=2πR; V_(圆柱)=πR~2H,S_侧=2πRH; V_球=4/3πR~3,S_(球面)=4πR~2。学生們不难发現,在右边一列中半径R的函数,是从左边一列中相应的函数进行微分而得到的。下面,我們只須說明这些公式之間发生联系的原因。我們仅仅指出关于圓的公式K=πR~2与c=2πR之間发生这种联系的原因(对于圓柱体和球的討論是类似的)。     

三角形等心的寶藏(續)

五§10.三角形中有所謂類似中綫,這是我們所熟知的,類似中綫被三角形的外接圓所截的部分,我們特别稱它為類似弦。設作△ABC的類似弦AD,則ABDC稱為調和四邊形,因為用外接圓上任一點為反演中心而施行反演法,可以把這四邊形的頂點反演為調和點列的原故。這些知識,下面將要用及,希望讀者在前面所舉的書籍中參考一下。定理 I、I_1、I_2、I_3為△ABC的四等心,設將(?)倍增為(?)又各作(?)IBC、ICA、IAB的一類似弦IK_1、IK_2、IK_3,則A′、B′、C′、I_1、I_2、I_3、K_1、K_2、K_3九點共圓。餘類推。 (證) 因為I是△I_1I_2I_3的垂心,所以(?)     

三角教学联系生产实际一例

我們在生产劳动中碰到这样一个問题:在利用板車时究竟推省力呢?还是拉省力?我們感到这虽是物理题,但完全可以用初等函数来解决。所以我們建議把它作为高二三角教学的一个綜合題。 題目:使用板車时有推拉两种方法,試問在什么情况下,拉比推省力,又在什么情况下,推比拉省力? 設板車重量为P=mg,推力为F_1,F_1与地面成α角,摩擦力为f_1,摩擦系数为η;又拉力为F_2,F_2与地面成β角,摩擦力为f_2,摩擦系数也为η,則(物体勻速前进)。若物体加速度前进,設加速度为α,