一类函数题的“是”与“非”初探

题 已知f（cosx）=sin3x，求f（sinx）（该题可见诸于多种资料） 解 f（sinx）=f[cos（π/2-x）]=sin3（π/3-x）=-cos3x．     

三角中容易忽视的几个问题浅析

本文就学生在三角学习中的常见错误分析如下:一、忽视定义域例1:函数f(x)=sinx(1 tanxtan2x)的最小正周期为A.πB.2πC.2πD.32π误解:f(x)=sinx1 2sin2xcos2xcosx·sin2xcos2x=sinx1 1c-ocsoxsx=tanx,∴T=π,选A.剖析:错误原因是没有注意定义域:x|x≠kπ 2π,且x≠2kπ π,k∈Z.因为f(0)=0≠f(0 π)(无意义),所以选A错误.正确应选B.二、忽视变形过程是否等价例2:已知2sinx=1 cosx,求cot2x误解:∵2sinx=1 cosx,∴1 sincoxsx=21,∴tan2x=21cot2x=2.剖析:错误原因是变形不等价.只有在1 cosx≠0时,才可以从2sinx=1 cosx推到sinx1 cosx=21.…     

一类函数题的“是”与“非”初探

题已知f(cosx)=sin3x,求f(sinx)(该题可见诸于多种资料)解f(sinx)=f[cos(π2-x)]=sin3(2π-x)=-cos3x.[1]又解f(sinx)=f[cos(x-2π)]=sin3(x-2π)=cos3x.上述两种解答方法实际上一样,但结果明显不同,问题出在哪里呢?下面看题目给出的条件:f(cosx)=sin3x,不妨令x=6π,得f(23)=1;再令x=-6π,得f(23)=-1,即对于f(23),有±1两个值与之对应,从对应方式来看,存在一对多的情况.按照高中教材对函数的定义,这种对应不能称为函数.进一步分析发现:f(cosx)=sin3x=3sinx-4sin3x=sinx(4cos2x-1),其中的sinx不能用含cosx的式子唯一地表示(sinx=±1-cos2x).…     

一道填空题(2018全国卷Ⅰ)的多种解法

<正>题目(2018全国卷Ⅰ理16)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是___.解法一(导数法):由sinx的周期为2π,sin2x的周期为π,而2π和π的最小公倍数是2π,∴函数f(x)的最小周期为2π,在[0,2π]上考虑其最小值.f′(x)=2cosx+2cos2x=2(2cosx-1)(cosx+1),令f′(x)=0,得cosx=-1或cosx=1/2,     

一道三角函数题参考答案的探究

<正>近日做到这样一道题目:已知f(sinθ)=cos2θ+cosθ.(1)求y=f(cosx)解析式;(2)求(1)中函数在x∈[0,π/2]上的最大值和最小值.参考答案是:解(1)∵cosx=sin(π/2-x),∴y=f(cosx)=f[sin(π/2-x)]=cos[2(π/2-x)]+cos(π/2-x)=cos (π-2x)+sinx=-cos2+sinx=     

函数y=|sinx|的周期问题

对于函数 y =| sinx|的周期 (最小正周期 )问题 ,我们常用图像法来分析 .这里介绍用解析法分析它的周期问题 .由于y =| sinx| =sin2 x =1 - cos2 x2 ,函数值的重复取得 ,等价于 cos2 x值的重复取得 ,故函数的周期为π.例 1　求函数 f( x) =| sinx cosx| ,　 ( x∈ R)的周期 .解　由 f( x) =| sinx cosx|　 =| 2 sin( x π4 ) | =2 sin2 ( x π4 )　 = 1 - cos( 2 x π2 ) ,函数 f ( x)值的重复等价于 cos( 2 x π2 )的值的重复 ,而 cos( 2 x π2 )的周期为π,所以函数 f ( x)的周期为π.例 2　求函数f( x) =1 - cos2 x 1 …     

又是忽视定义域惹的“祸”

一、问题提出 函数f（x）=2√2｜sinx·cosx｜·sin（x-π/4）/sinx-cosx是 （A）周期为π/2的偶函数． （B）周期为π的非奇非偶函数．     

从局部跃向整体

本文介绍求函数最值的一种策略:从局部跃向整体。它借助于下述结论: 若在定义域中存在实数x,使y_1=f(x)取得最大(小)值为m,y_2=g(x)取得最大(小)值为n,则函数y=f(x) g(x)的最大(小)值为m n。例1 函数y=sinx·cosx sinx cosx 的最大值是___。(90年高考数学文理科试题) 解本题等价于:是否存在实数x(注:由于填充题不需要解题过程,故只需要求出一个特殊的x值即可),使函数y_1= sinx·     

例谈平方法求函数最值

<正>在求函数最值时,有时可以先将等式两边平方,通过求y²=f2=f²(x)的最值来求y=f(x)的最值,这种方法常能独辟蹊径,化难为易.下面结合具体例题进行研究.例1设x∈(0,π),求函数y=(1+cosx)·sinx/2的最大值.解因为y2(x)的最值来求y=f(x)的最值,这种方法常能独辟蹊径,化难为易.下面结合具体例题进行研究.例1设x∈(0,π),求函数y=(1+cosx)·sinx/2的最大值.解因为y²=(1+cosx)2=(1+cosx)²·sin2·sin²x/2     

运用sinx=a,cosx=b a~2 b~2=1进行代换解三角题

代数在三角和几何上的应用非常广泛,某些三角问题,如证三角恒等式、解三角方程、解三角不等式等,如能转化为代数问题来解,往往较之纯用三角知识来解会更顺利和简捷。如令sinx=a,cosx=b,则由 sin~2x cos~2x=1,得a~2 b~2=1。于是可得代换公式{sinx=a,cosx=b a~2 b~2=1}。本文拟用{sinx=a,cosx=b a~2 b~2=1} 进行代换,探索三角问题转化成代数问题的解法。现举例供参考。例1解方程1/(sinx) 1/(cosx)=2。解设sinx=a,cosx=b,则原方程化为方程组     

西安建筑科技大学·高等数学期末试题(2005.1.3)

一、填空与单项选择题(每小题3分,共30分)1.已知当x→0时,无穷小1-cosx与asin2x2等价,则a=2.limx∞x-sinxx+sinx=3.12∫-12cosxln1+x1-xdx4.设f(x)的一个原函数是sinx,则xf∫′(x)dx=5.曲线y=e-x+2x上与直线x-y+2=0平行的切线方程是6.函数y=∫x0t(t-1)dt的极小值是()(A)0(B)-16(C)16(D)567.若连续曲线y=1f(x)与y=f2(x)在[a,b]上关于x轴对称,则b∫af1(x)dx+b∫af2(x)dx的值为()(A)2∫baf1(x)dx(B)2∫ba2f(x)dx(C)0(D)2∫ba[f(x)-f2(x)]dx8.设y=exsinx,则dy=()dex(A)sinx-cosx(B)sinx+cosx(C)ex(sinx-cos(x)D)ex(sinx+cosx)9.下列函数中(…     

How to use a definite integral to find area(2)

Another example,the sine and cosine curves intersect fromx=π/4to x=5π/4.However,we want to find the area of the region bounded by the sine and cosine curves fromx=0to x=2π.Analysis:Let f(x)=sinx,and g(x)=cosx.Let f(x)=g(x),and find xin sinx=cosxas x∈[0,2π]x=π/4 or x=5π/4.     

对一道数学题的分析与反思

题目已知二次函数f（x）对任意x∈R都有f（1-x）=f（1＋z）成立．设向量a=（sin x,2）,b=（2sinx,2^-1）,c=（cos2x,1）,d=（1,2）．当x∈[0,π]时,求不等式f（a·b）〉f（a·d）的解集．     

考点41 导数及其应用

1.(湖南卷,6)设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2005(x)=().(A)sinx(B)-sinx(C)cosx(D)-cosx2.(广东卷,6)函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为().(A)(2,+∞)(B)(-∞,2)(C)(-∞,0)(D)(0,2)第4题图3.(江西卷,7)已知函数y=xf′(x)的图像如右图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数).下面四个图像中y=f(x)的图像大致是().4.(湖北卷,9)若03sinx(B)2x<3sinx(C)2x=3sinx(D)与x的取值有关5.(北京卷,12)过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为,切线的斜率为.6.(重庆卷,…     

y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数吗

题目:判断函数y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)的奇偶性。解:y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)=(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)cos(x/2))/(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)-cos(x/2))=2sin(x/2)(sin(x/2)+cos(x/2))/2cos(x/2)(cos(x/2)+sin(x/2))=tg(x/2)。∵ y=tg(x/2)是奇函数。∴ y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数。表面看来,以上解法无懈可击。但如果注意到当     

两个三角函数最值问题初探

本文着重探讨三角函数y=sinx(1+cosx)与y=sinx(1-sinx)的最值问题。并利用它来求一大批三角函数的最值和证明一大批三角形中的不等式。理定1 设三角函数y=sinx(1+cosx),则对任何x∈R,有     

抽象函数错题分析二例

问题1定义在R上的函数f（x）是偶函数,且f（x＋π/2）=-f（x）,当x∈[0,π/2]时,f（x）=sinx,求f（5π/3）的值． 《中学生数学》2007年1月（上）《一道错题的发现》指出问题1是一道错题．     

对一道课本习题的深入探究

普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修4习题3.2 B组第5题是:设f(α)=sinxα+cosxα.利用三角变换,估计f(α)在x=2,4,6时的取值情况,进而对x取一般     

从一道用洛必达法则求极限的题目谈起

同济大学应用数学系编《高等数学习题集》 (高等教育出版社 ,1 998年第 3版 ) 3 .2 .2 3题 ,求A =limx→ 0sin2 x -x2 cosxx2 sin2 x (1 )　　 (1 )为 00 型不定式 ,连续 4次使用洛必达法则得A =limx→ 0sin2 x -2 xcosx x2 sinx2 xsin2 x x2 sin2 x =(2 )limx→ 02 cos2 x -2 cosx 4xsinx x2 cosx2 sin2 x 4xsin2 x 2 x2 cos2 x =(3 )limx→ 0-4 sin2 x 6sinx 6xcosx -x2 sinx6sin2 x 1 2 xcos2 x -4 x2 sin2 x =(4)limx→ 0-8cos2 x 1 2 cosx -8xsinx -x2 cosx2 4cos2 x -3 2 xsin2 x -8x2 cos2 x =16其计算繁杂且易…     

课外练习

高一年级1.设f(x)满足f(π/2)=0,f(x1) f(x2)=2f((x1 x2)/2)f((x1-x2)/2),x∈R.求证:f(x)是周期函数. (上海市桂林西街14弄23号1708室(200233)郭纪标)2.已知lgtanx 21gcosx=2-4lg5,求sinx cosx的值. (山东滨州市第六中学(256651)李新民)