有限秩的可解群的正则自同构

设G是有限秩的剩余有限可解群或是有限秩的剩余有限可解群的有限扩张,α是G的一个索数p阶正则自同构且φ:G→G(g→[g,α])是满射,则G是幂零类不超过h(p)的幂零群,其中h(p)是只与p有关的函数.     

剩余有限minimax 可解群的几乎正则自同构

设G 是一个剩余有限的minimax 可解群, α 是G 的几乎正则自同构, 则G/[G, α] 是有限群, 并且(1) 当α^p = 1 时, G 有一个指数有限的幂零群其幂零类不超过h(p), 其中h(p) 是只与素数p 有关的函数.(2) 当α² = 1 时, G 有一个指数有限的Abel 特征子群且[G, α]′ 是有限群.关键词剩余有限minimax 可解群几乎正则自同构     

剩余有限minimax可解群的自同构

设G是剩余有限minimax可解群,α是G的自同构且φ:G→G(g→[g,α])是满射,则有以下结果:(1)当α~p=1时,G是幂零类不超过h(p)的幂零群的有限扩张,其中h(p)是只与p有关的函数;(2)当α~4=1时,G存在一个指数有限的特征子群H,使得H″≤Z(H)和C_H(α~2)是Abel群.并且C_G(α~2)和G/[G,α~2]都是Abel群的有限扩张.     

有限秩的幂零群的自同构(Ⅰ)

研究了有限秩的幂零群的自同构,证明了定理设幂零群G=KP,其中P是有限秩的幂零p-群,K是G的有限秩的p′-自由的正规子群,p不属于K的谱S_p(K).设α和β是G的两个p-自同构,记I:= <(αβ(g))·(βα(g))~(-1)|g∈G>,则(i)当I是有限循环群时,α和β生成一个有限p-群;在下列2种情形下,α和β生成一个可解的剩余有限p-群,它是有限生成的无挠幂零群被有限p-群的扩张.(ii)当I=Z_p∞时;(iii)当I=Z_pm⊕Z_p∞时;在下列4种情形下,α和β也生成一个可解的剩余有限p-群,它的幂零长度至多是3.(iv)当I是无挠的局部循环群时;(v)当I有子群列1相似文献   

有限秩的幂零p-群的p-自同构

设G是一个有限秩的幂零p-群,α和β是G的两个p-自同构,记I= ((αβ(g))(βα(g))-1)|g∈G),则(i)当I是有限循环群时,α和β生成一个有限P-群; (ii)当I是拟循环p-群时,α和β生成一个可解的剩余有限P-群,它是有限生成的无挠幂零群被有限p-群的扩张．     

有限秩的幂零群的自同构(Ⅱ)

设幂零群G=KP=PK,其中P是有限秩的幂零p-群,K是G的有限秩的p-自由的正规子群,p不属于K的谱Sp(K).设1=ζ0Gζ1G···ζcG=G是G的上中心列,α和β是G的两个p-自同构,把α,β在每个ζiG/ζi-1G上的诱导自同构分别记为αi和βi,又记Ii:=Im(αiβi-βiαi),则(i)如果每个Ii都是有限循环群,并且I:=(αβ(g))(βα(g))-1|g∈G是G的有限子群,那么α和β生成一个有限p-群;(ii)如果Ii或为有限循环群,或为拟循环p-群,或为Zpn⊕Zp∞对某自然数n,那么α和β生成一个可解的剩余有限p-群,它是有限生成的无挠幂零群被有限p-群的扩张;(iii)如果Ii或为有限循环群,或为拟循环p-群,或为Zpn⊕Zp∞,或为无挠的局部幂零群,或Ii有正规列1JiIi,其商因子分别为有限循环群、无挠的局部幂零群,或Ii=Zp∞⊕Ji,Ji为无挠的局部幂零群,或Ii有正规列1KiJiIi,其商因子分别为有限循环群、拟循环p-群、无挠的局部循环群,那么α和β生成一个可解的剩余有限p-群,它的幂零长度至多是3.特别地,当K是一个FC-群时,在情形(iii),α和β生成的群也是有限生成的无挠幂零群被有限p-群的扩张.此外,如果G=KP里,K是一个FC-群,对G的下中心列考虑了类似的问题,得到了"对偶"的结果.     

一类p′-自由的幂零群的p-自同构(Ⅱ)

设G=KP,其中K是有限生成的p′-自由的幂零群,P是有限秩的幂零p-群,并且[K,P]=1,即G是K和P的中心积,α和β是G的两个p-自同构,记I:=〈(αβ(g))·(βα(g))~(-1)|g∈G〉,则(i)当I=Z_(p~n)(?)Z_(p~∞)时,α和β生成一个可解的剩余有限p-群,它是有限生成的无挠幂零群被有限p-群的扩张;在下列3种情形下,α和β生成一个可解的剩余有限p-群,其幂零长度不超过3.(ii)当I=Z(?)Z_(p~∞)时;(iii)当I有正规列1相似文献   

有限秩的可解群的一个幂零条件

设G是个有限秩的可解群,如果对无限多个素数p,G是个剩余有限p-群,那么G是个有限秩的无挠幂零群.     

有限秩的幂零群的自同构

设幂零群G=KP=PK,其中P是有限秩的幂零π-群,K是G的有限秩的π′-自由的正规子群.π不属于K的谱Sp(K),设1=ζ0Gζ1G…ζcG=G是G的上中心列,α和β是G的两个自同构,把α和β在每个商因子ζiG/ζ(i—1)G上的诱导自同构分别记为αi和βi,记Ii:=Im(αiβi—βiαi),则(i)当每个Ii都是有限循环群,并且I:=〈(αβ(g))(βα(g))(-1)|g∈G〉是G的有限子群时,α和β生成一个可解的几乎Abel群.(ii)当每个Ii或者是有限循环群,或者是秩1的可除群,或者是C⊕D,其中C是循环群,D是秩1的可除群,或者是无挠的局部循环群,或者Ii有正规子群列1JiIi,其商因子分别为有限循环群,无挠的局部循环群,或者Ii=D⊕Ji,其中D是秩1的可除群,Ji为无挠的局部循环群,或者Ii有正规列1KiJiIi,其商因子分别为有限循环群,秩1的可除群,无挠的局部循环群时,β和β生成一个可解的NAF-群.特别地,如果α和β是A的两个π′-自同构,那么(iii)当每个Ii都是有限循环群,并且I:=〈(αβ(g))(βα(g))(-1)|g∈G〉是有限群时,α和β生成的群是有限幂零π-群被有限Abelπ′-群的扩张.(iv)当每个Ii或者是有限循环群,或者是秩1的可除群,或者是C⊕D,其中C是循环群,D是秩1的可除群时,α和β生成一个可解的剩余有限π∪π′-群,它是有限生成的无挠幂零群被有限可解π∪π′-群的扩张.(v)当每个Ii或者是有限循环群,或者是秩1的可除群,或者是C⊕D,其中C是循环群,D是秩1的可除群,或者是无挠的局部循环群,或者Ii有正规子群列1JiIi,其商因子分别为有限循环群,无挠的局部循环群,或者Ii=D⊕Ji,其中D是秩1的可除群,Ji为无挠的局部循环群,或者Ii有正规列1KiJiIi,其商因子分别为有限循环群,秩1的可除群,无挠的局部循环群时,α和β生成一个可解的剩余有限π∪π′-群,它的幂零长度至多是4.当K是FC-群时,在情形(v)中,α和β生成的群是有限生成的无挠幂零群被有限可解π∪π′-群的扩张.此外,如果G=KP,K是一个FC-群,对G的下中心列考虑了类似的问题,得到了对偶的结果.     

一类p''''-自由的幂零群的p-自同构(Ⅱ)

设G=KP,其中K是有限生成的p'-自由的幂零群,P是有限秩的幂零p-群,并且[K,P]=1,即G是K和P的中心积,α和β是G的两个p-自同构,记I=〈(αβ(g))·(βα(g))-1|g∈G〉,则(i)当I=Zpn (○+) Zp∞时,α和β生成一个可解的剩余有限p-群,它是有限生成的无挠幂零群被有限p-群的扩张;在下列3种情形下,α和β生成一个可解的剩余有限p-群,其幂零长度不超过3.(ii)当I=Z (○+) Zp∞时;(iii)当I有正规列1＜J＜I,其商因子分别为无限循环群和有限循环群时;(iv)当I有正规列1＜L＜J＜I,其3个商因子分别为无限循环群、有限循环群和拟循环p-群时.特别地,当上述群K是一个FC-群时,α和β生成的群是有限生成的无挠幂零群被有限p-群的扩张.     

剩余有限Minimax可解群的4阶正则自同构

设G是剩余有限minimax可解群,α是G的4阶正则自同构,则下面结果成立:(1)如果映射φ:G→G (g→[g,α])是满射,那么G是中心子群被亚Abel群的扩张.(2)C_G(α~2)和[G,n-1α~2]/[G,nα~2](n∈Z~+)都是Abel群的有限扩张.     

超可解群的概况

有限群方面的问题较多,个人了解的很少,本文仅就个人所知道的超可解群发展的近况作一个梗概的介绍. 除幂零群外,经常碰到的有限群大别为两类(单群与可解群,当然幂零群也是可解的).已知凡阶为p~aq~b形的群以及奇阶群都是可解的,所以说有限阶可解群几乎普遍地存在,因之提出这样一个问题,即在幂零群与可解群之间研究较幂零群范围广而较可解群范围窄的一类的群是有必要且有意义的.这类群现在叫超可解群.所谓G是超可解群,指的是G有一个正规群列G=G_0>G_1>G_2>…>G_(r-1)>G_r=1(即每G_i为G之正规子群,记作G_i G),使得每商群G_i/G_(i+1)为循环群.于是超可解群必具有限多个生成元,     

无限循环群的整群环上的两个矩阵群

构造群例是群论研究的重要方面,本文研究了两个具体群例的剩余有限性.设p是任意素数,C=是无限循环群,R=ZC是C上的整群环,UU(n,R)是R上的单位上三角矩阵群,其中n≥2,它是幂零类为n-1的无限秩的幂零群.本文首先证明了U(n,R)是剩余有限p-群.其次,记G=<α>■ U(3,R),其中α=diag(c,1,c)是3阶对角矩阵.本文给出了G的结构,G是3元生成的导长为3的可解群,特别地,证明了G是剩余有限p-群.进一步地,本文构造了G的两个商群,它们均不是剩余有限的,这两个商群似乎比Hall发现的经典群例要初等具体.     

一类多重循环群的同构刻画

设A是秩为n(n≥2)的自由Abel群,α是利用A直和分量上的循环置换与数乘构造的一个A的自同构.作A与α的半直积G=A×〈α〉,本文给出了这类多重循环群G的同构分类,以及它构成超可解群和幂零群的充要条件.     

有限秩的幂零群的自同构(I)

研究了有限秩的幂零群的自同构, 证明了 \qquad {\heiti定理}\quad设幂零群~$G=KP$, 其中~$P$是有限秩的幂零~$p$-\!群, ~$K$ 是~$G$\,的有限秩的~$p^\prime$-\!自由的正规子群, ~$p$\, 不属于~$K$\,的谱~$S_p(K)$. 设~$\alpha$ 和~$\beta$ 是~$G$ 的两个~$p$-\!自同构,记~$I:=\langle\left(\alpha\beta(g)\right)\cdot\left(\beta\alpha(g)\right)^{-1}\, |\, g\in G \rangle, $ 则 \qquad (i) 当~$I$\, 是有限循环群时, $\alpha$ 和~$\beta$生成一个有限~$p$-\!群; \qquad 在下列2种情形下, ~$\alpha$ 和~$\beta$生成一个可解的剩余有限~$p$-\!群,它是有限生成的无挠幂零群被有限~$p$-\!群的扩张. \qquad (ii) 当~$I=Z_{p^{\infty}}$ 时; \qquad (iii) 当~$I=Z_{p^{m}}\oplus Z_{p^{\infty}}$ 时; \qquad 在下列4种情形下, $\alpha$ 和~$\beta$也生成一个可解的剩余有限~$p$-\!群, 它的幂零长度至多是~$3$. \qquad (iv) 当~$I$\, 是无挠的局部循环群时; \qquad (v) 当~$I$ 有子群列~$1< J< I, $其商因子分别为有限循环群、无挠的局部循环群时; \qquad (vi) 当~$I=Z_{p^{\infty}}\times J, $ 其中~$J$\,为无挠的局部循环群时; \qquad (vii) 当~$I$ 有正规列~$1< I_1研究了有限秩的幂零群的自同构, 证明了 \qquad {\heiti定理}\quad设幂零群~$G=KP$, 其中~$P$是有限秩的幂零~$p$-\!群, ~$K$ 是~$G$\,的有限秩的~$p^\prime$-\!自由的正规子群, ~$p$\, 不属于~$K$\,的谱~$S_p(K)$. 设~$\alpha$ 和~$\beta$ 是~$G$ 的两个~$p$-\!自同构,记~$I:=\langle\left(\alpha\beta(g)\right)\cdot\left(\beta\alpha(g)\right)^{-1}\, |\, g\in G \rangle, $ 则 \qquad (i) 当~$I$\, 是有限循环群时, $\alpha$ 和~$\beta$生成一个有限~$p$-\!群; \qquad 在下列2种情形下, ~$\alpha$ 和~$\beta$生成一个可解的剩余有限~$p$-\!群,它是有限生成的无挠幂零群被有限~$p$-\!群的扩张. \qquad (ii) 当~$I=Z_{p^{\infty}}$ 时; \qquad (iii) 当~$I=Z_{p^{m}}\oplus Z_{p^{\infty}}$ 时; \qquad 在下列4种情形下, $\alpha$ 和~$\beta$也生成一个可解的剩余有限~$p$-\!群, 它的幂零长度至多是~$3$. \qquad (iv) 当~$I$\, 是无挠的局部循环群时; \qquad (v) 当~$I$ 有子群列~$1< J< I, $其商因子分别为有限循环群、无挠的局部循环群时; \qquad (vi) 当~$I=Z_{p^{\infty}}\times J, $ 其中~$J$\,为无挠的局部循环群时; \qquad (vii) 当~$I$ 有正规列~$1< I_1研究了有限秩的幂零群的自同构, 证明了 \qquad {\heiti定理}\quad设幂零群~$G=KP$, 其中~$P$是有限秩的幂零~$p$-\!群, ~$K$ 是~$G$\,的有限秩的~$p^\prime$-\!自由的正规子群, ~$p$\, 不属于~$K$\,的谱~$S_p(K)$. 设~$\alpha$ 和~$\beta$ 是~$G$ 的两个~$p$-\!自同构,记~$I:=\langle\left(\alpha\beta(g)\right)\cdot\left(\beta\alpha(g)\right)^{-1}\, |\, g\in G \rangle, $ 则 \qquad (i) 当~$I$\, 是有限循环群时, $\alpha$ 和~$\beta$生成一个有限~$p$-\!群; \qquad 在下列2种情形下, ~$\alpha$ 和~$\beta$生成一个可解的剩余有限~$p$-\!群,它是有限生成的无挠幂零群被有限~$p$-\!群的扩张. \qquad (ii) 当~$I=Z_{p^{\infty}}$ 时; \qquad (iii) 当~$I=Z_{p^{m}}\oplus Z_{p^{\infty}}$ 时; \qquad 在下列4种情形下, $\alpha$ 和~$\beta$也生成一个可解的剩余有限~$p$-\!群, 它的幂零长度至多是~$3$. \qquad (iv) 当~$I$\, 是无挠的局部循环群时; \qquad (v) 当~$I$ 有子群列~$1< J< I, $其商因子分别为有限循环群、无挠的局部循环群时; \qquad (vi) 当~$I=Z_{p^{\infty}}\times J, $ 其中~$J$\,为无挠的局部循环群时; \qquad (vii) 当~$I$ 有正规列~$1< I_1其商因子分别为有限循环群、拟循环~$p$-\!群、无挠的局部循环群时. \qquad 特别地, 当群~$K$ 是一个~$FC$-\!群时, 在上述后4种情形下,~$\alpha$ 和~$\beta$生成的群也是有限生成的无挠幂零群被有限~$p$-\!群的扩张. \qquad 运用发展出来的方法, 还证明了几类有限秩的幂零群的自同构群的有限生成子群是剩余有限的.     

关于导群幂零的群和超可解群

有限超可解群必是导群为幂零的群。关于导群幂零的群,Huppert 和 Inagaki 指出,有限群 G 的导群为幂零的充要条件是 G 为可解群,且 G 的所有 Hall 子群的导群在 G 内皆为正规(见[1])。但是有例表明,仅所有 Sylow 子群的导群皆正觇的可解群不见得是导群为幂零的群。例如,G=<α,b,c,d>,定义关系是 α~7=b~7=c~3=d~2=[α,b]=1,c~-1 αc=α~2,c~-1 bc=b~4,d~(-1)αd=b,d~(-1)bd=α,d~(-1)cd=c~(-1),这是一个2·3·7~2阶的可解群,它的所有 Sy-     

有限群的弱正规子群与p-幂零性

研究了p2阶子群以及一般的pk阶子群为弱正规子群时有限群G的结构.给出了有限群为p-幂零群以及超可解群的一些条件.     

一类p′-自由的幂零群的p-自同构(II)

设~$G=KP$, 其中~$K$是有限生成的~$p’$-\!自由的幂零群, $P$ 是有限秩的幂零~$p$-\!群, 并且~$[K,P]=1$, 即~$G$ 是~$K$ 和~$P$ 的中心积, $\alpha$ 和~$\beta$是~$G$ 的两个~$p$-\!自同构, 记~$I:=\langle\left(\alpha\beta(g)\right)\cdot\left(\beta\alpha(g)\right)^{-1} \,|\, g\in G \rangle$, 则 {\rm(i)} 当~$I=Z_{p^n}\oplus Z_{p^{\infty}}$ 时, $\alpha$ 和~$\beta$生成一个可解的剩余有限~$p$-\!群, 它是有限生成的无挠幂零群被有限~$p$-\! 群的扩张; 在下列3种情形下, $\alpha$ 和~$\beta$生成一个可解的剩余有限~$p$-\!群, 其幂零长度不超过~$3$. {\rm(ii)} 当~$I=Z\oplus Z_{p^{\infty}}$ 时; {\rm(iii)} 当$I$ 有正规列~$1< J< I$, 其商因子分别为无限循环群和有限循环群时; {\rm(iv)} 当~$I$ 有正规列~$1< L< J< I$, 其3个商因子分别为无限循环群、有限循环群和拟循环~$p$-\!群时. 特别地, 当上述群~$K$ 是一个~$FC$-群时, $\alpha$ 和~$\beta$ 生成的群是有限生成的无挠幂零群被有限~$p$-\!群的扩张.     

有限秩的可解群的一个幂零条件

设 Ｇ是个有限秩的可解群,如果对无限多个素数ｐ, Ｇ是个剩余有限ｐ－群,那么 Ｇ是个有限秩的无挠幂零群．     

有限ATI-群的类保持Coleman自同构

设G是一个有限群,对G的任意阿贝尔子群A及任意g∈G,若A∩A~g=1或A,则称G为一个ATI-群.本文证明了,对任意p∈τ(G),如果ATI-群G的一个p-方幂阶类保持自同构在G的任意Sylow子群上的限制等于G的某个内自同构的限制,则它必定是一个内自同构.作为该结果的一个直接推论,我们也证明了有限ATI-群G有正规化性质.