关于連續函数的概念及其性貭

連續函数是数学分析的研究对象,它是数学分析中的一个基本概念,一般的教科书上都有系統的闡述。这里着重对連續概念方面,談談个人粗浅的理解,希望对初学者能有所帮助。至于具体推导方面,可以去看教科书。 連續与間断客覌事物或現象是在不断运动、发展、变化着的。函数关系可以說是对事物运动的一种数量上描写。高等数学主要是研究各种不同类型的函数关系。如考察室內溫度的变化,由于每一时刻都有一个确定的溫度,所以溫度可以看作是时間的函数。又如貭点运动过程     

三角形等心的寶藏

一§1. 誰也知道,三角形有一個內心和三個傍心,這是就它們的位置不同而分別定名的。但是,它們除位置有所不同外,在某種觀點上來看,它們所具的幾何特性,可說是完全一致的,也可說是相匹的;因此,我們實在應以同等的地位來看待它們。現在為統一起見,也為方便起見,我們把它們統稱為等心,這是取它們各至三角形的三邊都有等距離的意思,以後我們凡說等心,概係泛指的,認為它是內心或任何一個傍心都可以;倘若只是單指那一個,我們一定特別聲明它是內心或者那一個傍心。     

再談数学归納法

在“谈談数学归納法”(本通报1963年第二期28-34頁)一文里,作者曾提到数学归納法可以用一些更簡单的原則来代替,但未詳細介紹內容。本文便想在这方面作一些簡要的介紹。在文末还对前一文中沒有注意到的事項作一些补充。什么是“更簡单”的原則呢?这是很难說的,因为簡单与否必須相对于整个公理系統而言。对这个公理系統說来某原則是簡单的,对另一公理系統說来它却不是簡单的了。在本文中我們不想詳細討論各公理系統(除略为介紹递归算术以外),因此我們最好不說“用更簡单的原則来代替”,而說“可用別的原則来代替”。这里我們只介紹四个原則。这四个原則都有它的直觉根据,都已被数学家所經常使用,它們是:(1)最小数     

排隊论簡介

1.在我們日常經济生活中,經常会出現这样的事情:有一个“服务站”,有許多“顾客”到来須要受到服务,被服务完毕之后即行离去。假若“顾客”到达时,“服务站”是空閑的,則该“顾客”立刻受到接待;但若到达时服务站正在为别的“顾客”服务,則該“顾客”或者离去,或者停下来等待。比如对車站售票来說,“服务站”是售票窗口,而“顾客”是买票者;对工厂机器維护来說,“服务站”是检修队,“顾客”是发生障碍的机器;对电話通訊来說,“服务站”是电話綫路,而“顾客”則是由打电話的人所发生的呼喚。前面两个例子就是“顾客”可以等待的情况(或称“等待系統”);后一个例子就是“顾客”需要离去的情况(或称“消失系統”)。在所說的这些事件中,常会发生这样情形:或者是服务站机构     

多台电軸系統的稳定性及非线性振盪問题

<正> §1.引言 交流电軸早巳得到应用,但以两台电軸为常見,如閘門、吊桥及机床等設备.因电軸系統有它的特殊优点,簡单可靠,維护方便,可以代替机械軸,所以随着工业的发展,很多重要的多电动机拖动系統也逐漸采用电軸,电軸在这些多电机拖动系統的采用要求我們深入研究多台电軸系統的稳定性及振盪問題.这里遇到多自由度非綫性二次联立方程,     

时滞系統的絕对稳定性

<正> 1.总說。調节系統的絕对稳定性,首先为魯里耶和波斯特尼可夫提出并研究.魯里耶、列托夫作了系統的总結与发展,雅庫波維奇討論了魯里耶方法的数学基础.这一方法的本质是具体运用李雅普諾夫直接方法. 后来,波波夫运用拉普拉斯变換的方法討論了同一問題,得到了新的判据,包括了魯里耶等人的結果.这一方法在非綫性脉冲系統中的应用最近又为崔普金所研究     

談高三的复习工作

中學里所設置的数学課,科目既多,内容也广泛,平常在教学中,如果能把每一門課使学生系統地掌握,已經是不易的事;到了高三毕业后,虽然利用短短一个多月的时間,进行数学課全面复习,使学生既能巩固已学过的知識,而且还系統地了解各个教材内容间的内在联系,这更是一件比較細致、复杂而且困难的工作了,但是这种复习工作,对于学生来說,在他們毕业之后,无論是参加工作,或者是继续升学,都是有好处的,所以这个工作是非常必要的。数学复习的內容,应当以教科书为准,但是因为复习的时間較短,对于复习的要求,可以依照高等学校数学考試大綱所规定的內容,进行复习。现在介紹我們怎样准备进行本年度的高三数学复习工作。     

最佳控制的数学問題(Ⅱ)

本文第一部分已經引用动态規划方法討論离散和連續最佳控制的数学問題。这一部分的目的在于,闡明解决連續最佳控制数学問題的另一重要方法,即包特約金等人建立的最佳过渡过程理論,現时称为“最大原則”。这个原則給出广泛的一类最佳控制应該滿足的必要条件,此条件是以若干微分方程和一函数取极值的形式表示的。已經証明,对于綫性系统它是这类最佳控制的充分条件。最大原則在討論离散的最佳控制方面,至今只获得初步結果,在此不作說明。 (五)一类最佳控制問題的变換 我們考虑一个二阶系統,其运动方程是其中x_0,x_1是系統的状态参量;(?)_0≡dx_0/dt,(?)_1≡dx_1/dt(不同于以前的定义x_1≡dx/dt);v是控制参量,其限制条件是φ(v)≤0。系統的控制准則是     

投影平面及其拓扑結构

在代数学里,方程式的研究使得数的概念逐漸扩充起来。这种扩充就是把新的元素(新数)添加到原来的数集中去,对于这些新数說来,正演算(加法,乘法,乘方)的一切基本性貭都成立。添加新数的目的,是为了在扩充了的系統中得以施行逆演算。几何学里我們也有类似的东西。这里的基本运算是:通过两个不同的点引直綫,以及通过一条直綫和不在它上面的点引平面;这些运算在几何学里总是可以施行的。然而求(同一平面上的)两条直綫的交点,求直綫和平面的交点,以及求两张平面的交綫,却并不是常常可以施行的。这种情况的出現,使得在陈述关于点,直綫和平面的相互位置的几何定理时,引出許許多多的例外。对于所考虑的問題說来,这种破坏結論普遍性的最重要的典型例子就是透視对应。     

概率論在自然科学中的用途

数学虽然是一门极为抽象的科学,但是它是从現实中来的,并且在其他科学中,在技术中,在全都生活实践中都有广泛的应用。一切“精确科学”例如力学、天文学、物理学等通常在研究它們的对象时不只要总結成描述性的規律,而且更进一步用一些公式来表达自己的规律,并且在发展它們自己的理論的时候,也广泛地运用数学工具。化学大体也是这样的。生物現象是比较复杂的,因而数学方法对生物学所起的作用在本质上不同于它在物理学中所起的作用。在历史上有很多例子足以說明数学方法在天文物理等学科中起着很大的作用,我們只举出一个例子来看看: 上一世紀法国物理学家弗列湼尔詳尽地論証了光的波动說,他說光是能媒的振盪,并不象牛顿和牛顿的继承者們所說的那样是粒子流。另一个著名的学者普阿松对弗列湼尔的理論进行了数学加工,他导出了表示光波传播定律的公式,并且宣称如果弗列湼尔的理     

命題演算的公理系統

<正> §1. 問題的提出 對於傳統的二值邏輯系統(以後叫做系統M)所作的公理系統,優點最多的可說是Hilbert-Bernays[1]Ⅰ册66頁上所载的(一名Munster派公理,以後即用此名).這個公理系統共有兩個模式(又名原則)及五组公理,模式即代入原則     

幾何課怎樣培養學生辯證唯物主義世界觀

數學大綱中明確指出,我們的學校“在教學過程中教師應該通過數學教學使學生建立辯證唯物主義世界觀”。這種“世界觀是觀點和信念底完整體系,這些觀點和信念是我們對於自然界和社會的態度,我們對於行為的表示”(凱洛夫)。世界按其本質來說是物質的,同時自然界被辯證法統治着,恩格斯把它叫做事物的辯證法,而人們的辯證思維方法正是客觀存在的辯證法在人類頭腦裹反映的結果,恩格斯又把它叫做思想上的辯證法,幾何課所進行教學的一切內容當然也不例外的被辯證法統治着,因爲它本身就是反映客觀現實一定侧面的結果。     

空間幾何作圖的基礎

在平面幾何中,所有幾何作圖皆是實際的,也就是說,它們可以利用適當的工具,在平展的圖上得以實現,並且,這些工具本身包含了所對應的幾何圖形:直線(直尺)、圓(圓規)、垂直直線(帶直角的尺)等等作圖的可能性。利用適當工具的幾何作圖可能性的理論基礎,在各種情况下,是被關係於幾何圖形作圖的可作元素類的定義系統所规定。這樣,如果考慮到作為作圖工具的圓規和直尺,那么,這些作圖的形式被下述之定義系統所實观。如下元素是可作的:一 1)在作圖題中的所有已知元素;以及對於平面上的任意點(這些點對於作圖是必要的輔助元素)。 2)直線,如果它是由兩個可作點所確定的。 3)圓,如果它是由可作的半徑和中心所確定的。 4)兩個可作直線的交點。 (定義系統是引自(?)契特維茹痕((?))教授的論文《在中學立體幾何學中,幾     

克服代数教学中形式主义傾向的点滴体会

在代数教学中,經常听到学生这么說:“代数学是容易学,就是容易錯。”意思是說,代数作业容易照“套”,但又往往会套錯或运算錯。这就充分說明在代数教学中存在着比較严重的形式主义傾向。因而对形式主义的数学开展斗爭是刻不容緩的事情;也只有克服了这种傾向,代数教学貭量的提高才有可能。現在把我在这方面所得到的一些体会提出来,希同志們指正。一、对于定理、公式或法則,經常反复强調它們的条件。过去老师在讲解定理、法則或公式时,虽然也指出它們的前提,但由于以后应用它們时,缺乏应有的强調。因而学生只掌握其結論而忽视了前提,不理解在什么条件下才可以应用它們,这就大大增加了学生解題中的盲目性。因此在讲“实数系数方程根的性质”时就特别突出“实数系数”这个条件,不但在讲这个定理时加以强調,而且举了虛数系数方程的例子,加深学生的印象,并且布置有关的作业加以巩固。不但这样,在以后解“高次方程”的过程中,求以已知根求作方程时     

三角与振动

数学与物理的联系极为广泛和密切,本文想仅說明高中三角与高中物理中的振动特別是簡諧振动的联系。在§1中引用周期运动来說明周期函数,并在这里孕育了参数方程的概念。在§2中說明簡諧振动的数学定义与物理定义的一致性。使中学生能清晰地理解簡諧振动这一较难領会的物理內容,从而可以用数学方法去研究簡諧振动。§3提出求正弦函数极值与求簡諧振动的振幅的一致性,以及求正弦函数的周期与求簡諧振动的周期的一致性。在§4一开始就提出簡諧振动的几种数學型,使学生扩大对簡諧振动的认識,并又一次說明数学工具在物理学中的作用。在这里,就必然联系到数学中誘导公式、加法定理、和差化积与函数图象的加法,使得学生能利用这些数学知識去对振动的合成作解析研究。在§5中通过研究任意两个不同周期的正弦函数的合成,发現它們的和不再     

生存分析(Ⅰ)

<正> 1.引言生存分析(survival analysis),即生存数据的统计分析,是近年来产生且发展甚为迅速的一门应用统计的分支.这里的“生存”这个词含意很广,它可以指人或动物的存活(相对于死亡),也可以指一个患者的病情正处于缓解状态(相对于复发或再次恶化).对于一个系统或一件产品,生存又是指它能正常工作,也即能完成其规定的功能(相对于失效或故障).因此尽管生存分析中所讨论的模型以至所采用的术语大多来自医学和生物学,但它的应用并不局限于这两个领域.近年来的实践表明,它在工业技术甚至社会经济学科中也有其广泛的应用.     

在中学增設概率论与数理統計的可能性

为了使数学更好地为我国的社会主义与共产主义建设服务,目前的迫切問題是要求数学教材联系实际和現代化。数学中的現代內容,一般地說,与現代的社会实践联系較紧,因而具有較广泛的发展前途。只有抓住数学中新生的进步的东西,才能迅速攀登世界数学的高峯。人們在实际中,經常碰到的現象大致可分为两类:必然現象与偶然現象,亦卽在一定条件下,必然出現(或不出現)的現象与可能出现也可能不出現的現象。如果說,微分方程是研究必然現象的有力工具,那么,研究偶然現象的有力武器便是概率論与数理統計(以下簡称概率統計)。正是由于在实际中存在大量的偶然現象,所以必須在中学讲授它,使它为广大羣众所掌握,为我国的建设服务。也只有这样,才能使这門学科在我国迅速发展。这里一个基本问题是可能性問題,就是說,中学同学是否可能学好这門課程。現在我們从下列三方面,較仔細地考察一下。     

实系数多变数二次多項式的因式分解問題

一、引言多項式的因式分解,往往是根据不同情况采取不同的分解方法。在中学里所使用的一些方法,基本上是提取公因式法、利用乘法公式法和分組分解法等,很少有一般的分解方法。对中学生要求到这样程度也就可以了。但对中学教师来說,口掌握特殊方法还是不够的,应尽可能掌握一些一般的分解方法。一个变数的有理数系数任意次多項式的因式分解,在个別的高等代数里已經提到它在有理数体上的一般分解方法。这个方法是此較麻煩的,但它有一个好处,能分解或不能分解通过它我們都能知道,而且能分解时能把它分解出来。我这里所写的实系数多变数二次多項式的因式分解問題是来研究实系数多变数的二次多項式在实数体上的一般分解方法。作起来虽然也比較麻煩,但能分解或不能分解它都能給以肯定的解答。这篇文章是我个人的点滴体会,可能有缺点和錯誤,請讀者給以指正。     

非线性振动系统周期解的数值分析

用直接数值积分法求非线性振动系统的周期解,求解时对初始条件进行迭代,使它与终点条件相一致.积分时间区间(即周期)或运动方程中的某些参数,也可在迭代过程中随同变化,积分方法是变步长的. 用这种“打靶”法求周期解,所需计算工作量相对较少.其中误差主要来源于数值积分,故不难估计并控制它足够小.这种方法可处理各种类型的振动问题,如单自由度和多自由度系统的自由无阻尼振动、强迫振动、自激振动和参数振动等等;也能求得不稳定解和那些对参数变动十分敏感的解.解的稳定性根据相关的周期系数微分方程来研究.求共振曲线或其他振动特性曲线时,利用插值方法并自动调节步长来定出迭代始值. 为了阐明这种方法的通用性,计算了若干例子.非线性的描述可用解析函数或任何其他形式,例如分段线性函数.文中还就所得周期解指出了非线性振动的一些值得注意的性质.部分计算结果与已有的近似解或实验结果作了比较.     

論分析舆綜合及其在演解算術習題過程中的地位

分析與綜合是認識的基本方法。“…思維,——恩格斯說——不僅在於把同類的因素,綜合减為統一體,而且更在於以同樣的程度把意識的對象分解成它們的因素,沒有分析,不會有綜合。”在我們的訓練方法與實践中,分析與綜合不應被看作是各個隔離的,而是彼此成為辯証的統一體。事實上,不但在解複雜習題中,而且就是在解簡單的一次運算的習题中,學生往往同時採用分析與綜合,如果學生從習題的已知部分過渡到題中的問题,或是從習題中的問題開始,組織了解題計劃,並選擇了由問題所供給的解題所必需的資料(已知數)——在兩種情形中,他既要利用分析,又要利用綜合。