积分上限函数在运用微分中值定理证题中的应用

一、在运用洛尔定理证题中的应用分析将结论改写为，由于给出的条件：f（x）在［0，1］上连例3设y＝f（x）是闭区间［0，1」上的任一非负连续函数。（1）试证存在x。E（O，1），使得在区间「0，x＊上以f（x。）为高的矩形面积等于在区间［x。，l］上以y一八x）为曲边的梯形面积；（2）设入。）在（0，1）内可导，且／（x）＞－——，证明（1）中的lr。唯一。分析（1）矩形面积一T／（x。），曲边梯形面积一I人x）d。，即欲证明的结论为。。八x。）一if。）dx．If（）dx－x。f（。）一O（一）（）’。x＝。。一Ifx）dx－。。八万。）一0，…     

对求一类函数值域常见错误的评析

在求y=的值域时，有一种特殊情形很易造成解答错误，这就是当有解时的情形，变即点P（m，n）在单位圆上时．错解1田原函数得很值域：y∈R．错解2由方能2式8锗解3接解2中Q一4（、了y—1）’＞0，＆yER（y4Jx）．综合（l）、（2）得原圄数的值图为：yER巨y一、了．利用数形结合可将问题转化为来革应圆＿－。＿＿＿＿＿．IJM、、。＿＿＿＿上的初点与定点P（一步，斗上）连线科率的＿＿＿＿＿＿．IJ3、＿＿＿＿，＿取值范围．因P（一会，并广）在革应圆上，故＿。。＿＿、＿＿＿．IJi、＿＿＿＿＿＿函数值除过点P（一台，并广）的圆的…     

高阶等差数列

在给出定积分的定义时,常举如下的例子: “计算曲线y=x~2(或y=x~3)、直线x=0、x=1及x轴围成的曲边梯形面积,如图1”。在计算过程中将     

奇摄动非线性系统Robin边值问题

本文研究了非线性系统奇摄动问题：ε2y"－（x，y，y）＝0，0＜x＜1，0＜ε≤1，y（0）－py'（0）＝A，p＞0，y（1）＝B，其中y，f，A，B为n维向量．在相应的假设下，利用代数型边界层函数，证明了该问题存在一个解y（x，ε），并利用微分不等式方法得到了其解的渐近估计．     

三类最小值问题的又一种统一解法

文[1]给出了三类函数最小值的统一解法及一般结果，所给一般结果整齐统一，三类函数分别为y=x＋p/x；y=x^2＋p/x；y=x＋p/x^2（x＞0，P＞0）文[1]所给统一解法均为四个步骤：①先拆项并人工配凑一个待定系数；②由二元或三元均值不等式缩小一次函数式；     

高中数学“短平快”同步练(6)

[高一代数]指、对数函数选择题1．（a＋5）‘的值为（）．（A）0（B）1（C）无意义（D）不确定2．已知n－Z＞n－Z，则n的取值范围是（）．（A）0Mn＜1（B）n＞1（C）n＞0（D）n＜13．对于指数函数y—a”，以下命题中是假命题的是（）．（A）a‘士1（B）函数的定义域与值域相同（C）函数为非奇非偶函数（D）a＞1，x＞0时，y＞l4．对于指数函数y—a”，有a“’一1．4，则a的取值范围是（）．（川a＞1（以0＜a＜1（oa＜亚（ma＞05．函数y一IOgJS（a／十3ax十a十2）的定义域为R，则a的整数值是（）．（A）1（B）0（C）1或0（D）其他6…     

级数sum from n= 1to ∞的求和问题

级数是一个函数项级数。我们连同级数一并考虑。首先这两个级数在（－，＋）内都是绝对收敛、并且是一致收敛的。事实上，取优级数为＞：去，它是收敛的，而：由外尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法可知：都是一致收敛并且绝对收敛。记：下面考虑这两个级数的求和问题。为此在X学0处将函数：展开为余弦级数。f（x，t）的余弦级数为：在X＝0处，（4）式也成立。再将f（x，t）进行t的偶开拓，再周期开拓后，得到的函数广（X，t）在一co＜t＜＋co处处连续。因此（4）式在0＜t＜。上成立。现用t—O及t—知分别代入（4）式，有：将两个级数分别…     

再谈广义奇(偶)函数及其周期性

文［1］对奇（偶）函数的概念作了推广，并对其性质和周期性问题进行了探讨．笔者读后，获益匪浅．现试图将原文论及的问题再作推广．一几个概念定义至对于函数f（x），若存在常数a、b、m、n（m＞0，n＞0），对于其定义域内的任意x：（1）当都有f（a＋mx）=f（b－nx）成立时，则称函数f（x）为广义偶函数．特别地，如果a=b=0，m=n，则f（x）就是偶函数．（2）当都有f（a＋mx）=－f（b－nx）成立时，则称函数f（x）为广义奇函数．特别地，如果a=b=0，m=n，则f（x）就是奇函数．定义2对于一个图形的两部分，从第一部分上的各点作定直线l的垂线…     

1998年全国初中数学竞赛试题及参考答案

一、选择题（每小题6分，满分30分）1已知a，b，c都是实数，并且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是（B）（A）ah＞ie（B）a＋b＞b＋c（C）a－b＞b－c（D）H＞上co解根据不等式性质，选旧）2如果方程x2＋pH＋1＝0（户＞0）的两根之差为1，那么户等于（D）（A）2（B）4（C）月（D）后解由6一p’－4＞0及p＞2，设xl，。2为方程的两根，那么有一l＋12一一p，x112＝1又由3在OABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD上CE，BD＝4，CE—6，那么］ABC的面积等于（C）解如图，连ED，4已知de产0，并且在上上一旦u＝7厂一P，那么直线…     

构造二次函数处理有关不等问题

函数思想是中学数学的重要思想方法之一有些数学问题，若能根据有关题设条件和结论中的信息，构造出适当的函数，常可使问题顺利获解．这里略举几例，谈谈构造二发函数处理有关不等问题．例1。、尸、y为8意三角形的三个内角，对于任意实数工、y、y，来证：Z‘十／十Z’＞Zxycos。＋Zyzcosg＋Zzxcosy．另析将待证式整理为关于X的二双函＞Zxycosa＋Zyzcosg＋Zzxcosy．氛热，这是根据二次国数f（）一ax’＋bx十c（a＞0），茬O＜O，则／（x）＞0；反之，老人工）＞0，则已＜0．这就晏门适二发函数解有关不等问题的常用方法．例2已知实数a、…     

用对弧长的曲线积分求一些柱面面积

我们知道，柱面的面积可以用二重积分计算，实事上它也可以通过对弧长的曲线积分计算。因为当j（x，y）70时，在几何上If（x，y）ds表示以xoy平面上曲线L为准线，母线平行于Z轴的，高为Z一f（，y）时的柱面面积，如图1。例1用曲线积分计算柱面x’＋y’一ax含在球域x’＋y’＋z‘＜a’内那部分的表面积（aIn0）。解由对弧长的曲线积分的几何意义及对称性知，所求面积S一到SdS（图2），＿＿。＿＿＿＿。＿．．、＿，。、，、卜十y－ax．、。＿。。＿＿其中L：y一tw～．其高是球面与柱面的交线，（。“。＿。由此得出z’二a’－ax，即一卜…     

一类正项级数收敛的充要条件

我们知道，要判定一个数项级数是否收敛有许多种方法，但这些方法大都只给出了级数收敛或发散的充分条件，这里我们对一类较特殊的常数项级数给出级数收敛的一个充要条件。定理设f（x）在某个［0，δ］内二阶可导，f（x）≥0，则级数收敛的充要条件是f（0）＝0，f’（0）＝0。证明必要性设级数收敛，则，若f'（0）=α0，充分性设，由Lagrange中值定理知存在，使例1讨论级数的敛散性。若，即，不妨设f'（0）＞0，因而存在δ＞0，当0≤x＜δ时，有f'（X）＞0，所以f（x）＞0，由定理级数发散。若f'（0）＜0，同理可提级数发散。。。“”9。。…     

常数项级数的求和

如果常数项无穷级数的部分和数列从当n无限增大时有极限S，即tims．一S，则称级数（）收敛，且S叫级数（）的和。计算数项级数的和，是一个常见的重要问题，这里介绍三种主要方法。1．直接求和法对较简单的级数，可先求出S，再取极限即可。特别，若u。一八十；一y．，（n—1，2，…），且timy．—y＿，则＞：u。一人一八．2幂级数法对于级数（l），若能构造一适当的幂级数Za。。，使八一a。xz，且工。在幂级数的收敛域中，同时幂级数】a。x”的和函数可以求出来，则有】u．一S（x。）。特别地，可使用亚倍尔方法，即若级数】a。收敛，则…     

定积分应用中一个值得注意的问题

一些通用教材在介绍由参数方程表示的封闭曲线围成的区域面积计算时，依据的公式往往是只适用于广义曲边梯形，并且y=f(x)是x的单值函数的情形，从而容易出现错误，在用极坐标方程计算旋转体体积时也有类似的情形。     

综合题新编选登

题194 已知函数y=kx＋1与y=1/x（x〉0）的图象相关于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1〈x2），l1，l2分别是y=1/x（x〉0）的图象在A，B两点的切线，M是l1与x轴的交点，N是l2与y轴的交点，P是l1与l2的交点．     

二重三角级数和函数的范数研究

对形如 ∞n=0 ∞m=0amncosmxcosny等二重三角级数的和函数进行了研究 ,并证明了其范数‖f(x ,y)‖ p =∫π-π∫π-π｜f(x ,y) ｜p1dxp2 /p1dy1 /p2 <∞所满足的几个不等式 .     

各抒己见觅真支

师：这次考试中有道选择题，是1997年高考文科第（7）题（又见文[1]），大家的选择答案可谓”两边倒”现在请同学们就此题的选择，各抒已见、以理晓人，弄清楚孰对孰错，对在哪里．错在何处；8目设函数y＝f（x）定义在实数民上，则函数y一人x－1）写x一人l－J的图象关于（）（A）自经y＝0对你（B）围线。＝0对你（C）直线y＝l对称（D）直线。＝1对称甲：先作y＝j’x）的图象关于y铀的对那，得到y一人一x）的图象，再把x一八一x）的图象问在平移1个率应，即得y一八一x＋1）的图象，政选（B）．Z：甲同学在第二步作”平接受澳’的，万向用…     

两条直线重合条件的运用

在《平面解析几何》课本中、两条直线平行和垂直的条件运用得比较充分，而对两条直线重合的条件则运用得不够．这在教与学两个方面都应引起汪意．下面想从三个方面谈一谈两条直线重俣条件的运用．1求直线的方程例1设在同一个坐标平面上的两个动点p（x，y）、Q（X’，y’），它们的坐标满足：x’＝x＋2y＋1，y’=2x＋3y－1．当动点P在不垂直于坐标轴的直线ｌ上移动上，动点Q在与直线ｌ垂直且过点A（1，2）的直线ｌ’上移动，求直线ｌ的方程．用设亘线l的S程为：Ax十By＋C—0①则直线l’的方程为：B（x1）A（yZ）＝0＠把已知X’、／的表…     

一类数列不等式的几何背景溯源与拓展

<正>我们知道,当f(x)≥0时,定积分∫abf(x)dx的几何意义是:由:y=f(x),x=a,x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积(图1).利用定积分的几何意义,一些原本代数方法解答冗长复杂的函数或数列问题,可以迅速解决.下面,笔者从"对数平均不等式"的证明人手,讲解一类数列不等式几何背景的溯源与拓展.     

我为高考设计题目

题1已知函数y=kx与y=x^2＋2（x≥0）的图象相交于不同两点A（x1，Y1），B（x2，y2），l1，l2分别是y=x^2＋2（x≥0）的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l1，l2与x轴的交点，P为l1与l2的交点．