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(一 ) 2 0 0 0年第 9期数学问题的第 1 2 67题是 :试确定ａ0 的取值范围 ,使由递推式ａｎ 1 =- 3ａｎ 2 ｎ(ｎ=0 ,1 ,2 ,… )给出的数列是严格增数列 .该题提供者给出的解答有误 ,原解答是ａ0 >16 .为说明ａ0 >16 不正确 ,只要举个反例即可 ,例如当ａ0 =1时 ,数列 {ａｎ}是 1 ,- 2 ,… ,足见不是增数列 .如何求ａ0 的范围 ?可先解出ａｎ,一种解法是 :ａｎ 1 =- 3ａｎ 2 ｎ ａｎ 1 - 2 ｎ 15 =(- 3) (ａｎ- 2 ｎ5)∴ａｎ- 2 ｎ5 =(ａ0 - 15) · (- 3) ｎ,ａｎ =2 ｎ (- 1 ) ｎ 1 3ｎ5 (- 1 ) ｎ· 3ｎ·ａ0考查△ｎ =ａｎ-ａｎ - 1… 相似文献
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近观这几年的高考数学试题 ,均有一定的高等数学背景 .2 0 0 2年高考数学 (理 )压轴题正是如此 .这个题目是 :设数列 {ａｎ}满足ａｎ + 1 =ａ2 ｎ-ｎａｎ+ 1,ｎ =1,2 ,3 ,…(1)当ａ1 =2时 ,求ａ2 ,ａ3,ａ4 ,并由此猜出ａｎ 的一个通项公式 ;(2 )当ａ1 ≥ 3时 ,证明对所有的ｎ≥ 1,有①ａｎ≥ｎ + 2 ;② 11+ａ1 + 11+ａ2 +… + 11+ａｎ≤ 12 .解析 这是以数列和不等式的知识为载体 ,考查猜想、归纳、迭代、递推、放缩、推理以及分析问题和解决问题能力的一道好题 .这道题的入口较宽 ,问题 (1)及 (2 )中①都不难解决 ,(2 )中②却难倒了不少考… 相似文献
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对于由递推式所确定的数列通项公式问题 ,通常可通过对递推式的变换转化成等差数列或等比数列问题 ,也可通过联想构造或猜想证明把问题转化 .1 ａｎ + 1=ａｎ+ｆ(ｎ)型例 1 在数列 {ａｎ}中 ,已知ａｎ + 1=2 ｎ + 1·ａｎａｎ+2 ｎ + 1,ａ1=2 ,求通项公式ａｎ.解 已知递推式化为1ａｎ + 1=1ａｎ+12 ｎ + 1,即 1ａｎ + 1- 1ａｎ=12 ｎ + 1,∴ 1ａ2- 1ａ1=12 2 ,1ａ3- 1ａ2=12 3 ,1ａ4- 1ａ3=12 4,… ,1ａｎ- 1ａｎ -1=12 ｎ.将以上 (ｎ - 1 )个式子相加得1ａｎ- 1ａ1=12 2 +12 3 +12 4+… +12 ｎ,1ａｎ=12 +12 2 +12 3 +… +12 ｎ=12 1 … 相似文献
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题 1 已知 {ａｎ}是等差数列 ,其公差为ｄ ;{ｂｎ}是等比数列 ,其公比为 ｑ >1 .若ａ2 =ｂ2 =2 ,ａ4=ｂ4.1 )比较ａ1与ｂ1,ａ3与ｂ3的大小 ;2 )猜想并证明ａｎ 与ｂｎ 的大小关系 (ｎ≥ 5 ) .这是成都市 2 0 0 0届高三第一次诊断考试理科数学第 2 3题 ,试题遵循了“能力立意、强调综合、注重数学思想和方法考查”的高考命题原则 ,载体平凡 (等差数列和等比数列 ) ,综合度高 (基础知识和基本数学思想方法两方面都有体现 ) ,总体难度较大 ,可谓整套试卷的把关题之一 ,下面就解题思路的获得和解题方法的优化等谈谈我们的看法 ,供读者参考 .1 … 相似文献
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数列是中学数学的重要内容之一 ,有关数列的习题形式多样 ,解法灵活 ,除要求学生有较高的能力之外 ,还必须具有清晰的概念和比较坚实的基础知识 ,否则常因概念不清而导致解题出错 ,现举例如下 .1 判别数列的类型不确切例 1 已知数列 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ=ａｎ- 1,试判断此数列是何种特殊数列 ?错解 :ａ1=Ｓ1=ａ - 1,ａ2 =Ｓ2 -Ｓ1=(ａ2 - 1) -(ａ - 1) =ａ(ａ - 1) ,ａ3 =Ｓ3 -Ｓ2 =(ａ3 - 1) - (ａ2 -1) =ａ2 (ａ - 1) ,… ,ａｎ =Ｓｎ-Ｓｎ -1=(ａｎ- 1) -(ａｎ-1- 1) =ａｎ -1(ａ - 1) .容易验证每一项与前一项之比都等于同一常数ａ ,… 相似文献
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关于公式学习的变式探究 总被引：1，自引：0，他引：1
公式学习是数学学习的中心环节 .掌握公式就意味着明确公式的结构特征 (条件和结论 ) ,弄清公式的来龙去脉、推证方法和适用范围 ,并能运用公式解题 .为此 ,要十分注重公式的变式探究 .例如 ,等比数列求和公式 ,课本采用“ｑ倍减法”推导该公式 (记为方法 1) ,若着眼于 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ 与ａｎ 之间的联系以及等比数列的定义 ,可得如下推导方法 .方法 2 :(方程法 )设 {ａｎ}是公比为ｑ的等比数列 ,则ａ2ａ1=ａ3 ａ2=… =ａｎａｎ -1=ｑ (ｎ≥ 2 ) ,∴ａ2 =ａ1ｑ ,ａ3 =ａ2 ｑ,… ,ａｎ=ａｎ -1ｑ ,相加得Ｓｎ-ａ1=ｑＳｎ -1(ｎ≥ 2 ) ,… 相似文献
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20 0 2年高考数学 (理 )的压轴题是 :设数列 {ａｎ}满足ａｎ + 1=ａ2 ｎ-ｎａｎ+ 1 ,ｎ =1 ,2 ,3,… .1 )当ａ1=2时 ,求ａ2 ,ａ3 ,ａ4,并由此猜出ａｎ 的一个通项公式 ;2 )当ａ1≥ 3时 ,证明对所有的ｎ≥ 1 ,有①ａｎ≥ｎ + 2 ;② 11 +ａ1+ 11 +ａ2 +… + 11 +ａｎ≤12 .这是以数列和不等式知识为载体 ,考查猜想、归纳、迭代、递推、放缩、推理以及分析问题和解决问题能力的一道题 .1 )及 2 )之①不难解决 ,2 )之②难倒了不少考生 ,拉开了档次 .从试题制作的背景看 ,该题出自于高校老师之手 .从级数的观点看 ,2 )之②意指正项级数∑∞ｉ=111… 相似文献
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题目 :{ａｎ}是等比数列 ,且Ｓ =ａ1 +ａ2 +…ａｎ,Ｔ =1ａ1 +1ａ2 +… +1ａｎ,求 {ａｎ}的前ｎ项之积 .苏州大学出版的 2 0 0 1版《高三数学教学与测试》(教师用书 )中给出的解答如下 :解 设ｑ为公比 Ｓ =ａ1 -ａｎｑ1 -ｑ ,Ｔ =1ａｎ- 1ａ1ｑ1 -ｑ =ａ1 -ａｎｑａ1 ａｎ(1 -ｑ) ＳＴ =ａ1 ａｎ,又ａ1 ａｎ=ａ2 ａｎ- 1 =… ａ1 ａ2 ａ3…ａｎ =(ａ1 ａｎ) ｎ2 ,即所求之积为 ＳＴｎ2 .笔者在探究其解法的过程中 ,发现上面的解答是错误的 .无独有偶 ,中国青年出版社 1 998年 8月出版的《中学生同步学习参考书》(高二数学)Ｐ98页也有此… 相似文献
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习题 在数列 {ａｎ}中 ,ａ1=1,ａｎ 1=3Ｓｎ(ｎ≥1) ,求证 :ａ2 ,ａ3 ,… ,ａｎ 是等比数列 .这是高中数学 (试验修订本·必修 )第一册 (上 )Ｐ142第 5题 ,“通过一道题 ,就好象通过一道门户 ,把学生引入到一个完整的理论领域”(波利亚语 ) .我们先从它的解题思路上引入到一个发散思维的领域 .思路 1 从等比数列的定义入手 ,同时利用等式Ｓｎ=Ｓｎ -1 ａｎ.当ｎ≥ 2时 ,ａｎ 1ａｎ=3Ｓｎ3Ｓｎ -1=ＳｎＳｎ -1=Ｓｎ -1 ａｎＳｎ -1=Ｓｎ -1 3Ｓｎ -1Ｓｎ -1=4.故ａ2 ,ａ3 ,… ,ａｎ 是等比数列 .思路 2 先把和式转化为通项 ,这时利用… 相似文献
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已知数列的递推式求其通项公式的方法一般有三种 :“归纳、猜想、证明”、“错位相消 (约 )法”以及构造法 .本文将针对六种最典型的递推式 ,谈谈构造新数列求数列的通项公式的方法 .类型 1 ａｎ +1=ｑａｎ+Ｐｋｎｋ+Ｐｋ - 1ｎｋ- 1+… +Ｐ1ｎ +Ｐ0 (ｑ≠ 0 ,1,ｋ∈Ｎ) .例 1 数列 {ａｎ}中 ,ａ1=1,ａｎ +1=2ａｎ+ 3,求ａｎ.解 令ａｎ +1+ｘ =2 (ａｎ+ｘ) ,可得ｘ =3,故ａｎ+1+ 3=2 (ａｎ+ 3) .又ａ1+ 3=4 ,可见 ,数列 {ａｎ+ 3}是首项为 4 ,以 2为公比的等比数列 ,从而 ,ａｎ+ 3=4·2 ｎ - 1,得ａｎ=2 ｎ +1- 3.例 2 数列 {ａｎ}中 ,… 相似文献
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3月 1 9日 星期一今天 ,在“递推数列”的学习中 ,有一个例题 ,通过大家共同讨论 ,得到三种解法 .例题 已知数列 {ａｎ}满足 :ａ1=1,ａｎ 1=2ａｎ 1,求该数列的通项ａｎ.解法 1 由已知可得 ａ1=1,ａ2 =3,ａ3=7,ａ4=15 ,由此猜测ａｎ=2 ｎ- 1.用数学归纳法证明 :①当ｎ =1时 ,猜想显然成立 . ②假设ｎ =ｋ时猜想成立 ,即ａｋ=2 ｋ- 1.当ｎ =ｋ 1时 ,ａｋ 1=2ａｋ 1=2 (2 ｋ- 1) 1=2 ｋ 1- 1.可见当ｎ =ｋ 1时命题也成立 .综合① ,②知 ,对于一切自然数ｎ命题均成立 .解法 2 由已知有ａｎ=2ａｎ - 1 1,ａｎ- 1=2ａｎ - 2 1,… ,ａ… 相似文献
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数列通项问题是数列部分的一个重要且典型的问题 ,是中学数学教学的一个难点 ,现结合教学 ,对有关数列通项的常见基本题型及其求解思维策略作一探索归纳 ,供参考 .1 给定数列前几项求其一个通项公式思路 观察分析 ,归纳猜想 .例 1 求下列数列的一个通项公式 .1) 1,3,6 ,10 ,… ;2 ) 74× 6 ,- 95× 7,116× 8,- 137× 9,… .分析 :1)观察项之间的关系有 :ａ2 -ａ1=2 ,ａ3-ａ2 =3,ａ4 -ａ3 =4,…猜想ａｎ-ａｎ -1=ｎ .将以上各式两端分别相加可得ａｎ-ａ1=2 3 4 … ｎ ,∴ａｎ=1 2 3 … ｎ =ｎ(ｎ 1)2 .经验证此为所求的一个通项公… 相似文献
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.定理 若ｘ0 是方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ =0的根 ,则ｘ0 也一定是方程ｘｎ-ａｎ 1ｘ -ａｎｃ =0的根 (其中ａｎ,ａｎ 1是数列 {ａｎ}中的第ｎ项和第ｎ 1项 ,数列 {ａｎ}满足递推关系ａｎ 1=ｂａｎ ｃａｎ -1,ａ1=0 ,ａ2 =1 ,ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 2 ) .证 1 )当ｎ =2时 ,由题意知ａ1=0 ,ａ2=1 ,ａ3 =ｂａ2 ｃａ1=ｂ .从而方程ｘｎ-ａｎ 1ｘ-ａｎｃ =0即为ｘ2 -ｂｘ -ｃ=0 .显然方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ=0的根ｘ0 也是ｘｎ-ａｎ 1ｘ -ａｎｃ =0的根 .所以 ,当ｎ =2时命题成立 .2 )假设当ｎ =ｋ (ｋ∈Ｎ ,ｋ≥ 2 )时命题成立 .即方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ =0的… 相似文献
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对于任意数或式ａ ,ｂ ,都有ａ =ａ +ｂ2 + ａ -ｂ2ｂ =ａ +ｂ2 - ａ -ｂ2( )这是我们熟知的一个关系 .巧妙地运用这个关系解题 ,真是别有一番趣味 .下面举例说明 .例 1 写出下面数列的一个通项公式 :3,4 ,3,4 ,3,4 ,…简解 由 ( )知3=3+ 42 + 3- 42 ,4 =3+ 42 - 3- 42 ,即该数列实际上是3+ 42 + 3- 42 ,3+ 42 + 3- 42 交替出现的 ,故得其通项为ａｎ=3+ 42 + (- 1) ｎ +13- 42 =72 - 12 (- 1) ｎ +1.注 本题可推广为 :数列ａ ,ｂ ,ａ ,ｂ ,ａ ,ｂ ,…的通项为ａｎ =ａ +ｂ2 + (- 1) ｎ +1·ａ -ｂ2 .例 2 已知 π3<α + β <43π ,- 23… 相似文献
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《数学通讯》2002,(10)
学数学与学习任何一科知识一样 ,也要有创新精神 ,这对我们学好数学非常重要 .下面请看一道例题 .例 设等比数列 {ａｎ}的前ｎ项和为Ｓｎ,积为Ｐｎ,各项倒数的前ｎ项和为Ｔｎ.求证 :Ｐ2 ｎ=ＳｎＴｎｎ.这道题的常规解法是利用等比数列的求和公式及有关性质 ,将Ｐｎ,Ｓｎ,Ｔｎ 化为关于ａ1和ｎ的关系式 ,化简后证明相等 .这种解法步骤比较多 ,较繁 .下面我运用等比数列的性质通过合比定理证明它 .证明 Ｐ2 ｎ=(ａ1ａ2 ａ3 …ａｎ) 2 =(ａ1·ａｎ) ｎ;ＳｎＴｎｎ=ａ1+ａ2 +ａ3 +… +ａｎ1ａ1+ 1ａ2+ 1ａ3+… + 1ａｎｎ,∵ ａ11ａｎ=ａ21ａｎ… 相似文献
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一般地 ,一个与自然数有关的不等式总可以通过数学归纳法解决 .但其中有一些不等式却不能直接运用数学归纳法证明 .如下例 .例 1 已知数列 {ａｎ}满足ａ1=5,ａｎ=5·2 ｎ - 2 (ｎ≥ 2 ) ,求证1ａ1 1ａ2 1ａ3 … 1ａｎ<35.令ｆ(ｎ) =1ａ1 1ａ2 1ａ3 … 1ａｎ,显然ｆ(ｎ)是单调递增的 ,在用数学归纳法证明时 ,由ｆ(ｋ) <35不可能过渡到ｆ(ｋ 1) <35.对于这样的问题常用的办法是先证一个加强不等式ｆ(ｎ) <35-ｇ(ｎ)(ｇ(ｎ) >0 ) .问题是这个加强不等式中的ｇ(ｎ)应满足什么条件 .我们先看一般的情形 :求证ｆ(ｎ) <Ｍ(ｆ(ｎ)是单调递增的 ,… 相似文献
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题 (第 2 6届独联体数学奥林匹克竞赛试题 )证明 :对任意实数ａ >1,ｂ >1,有不等式 ａ2ｂ - 1 ｂ2ａ - 1≥ 8.文 [1]将其推广为 :设ａｉ>0 (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则(ａ1 1) 2ａ2 (ａ2 1) 2ａ3 … (ａｎ - 1 1) 2ａｎ (ａｎ 1) 2ａ1≥ 4ｎ (1)文 [2 ]将 (1)式进一步推广为 :设ａｉ(ｉ=1,2 ,… ,ｎ)∈Ｒ ,ｍ≥ 2 ,ｍ∈Ｎ ,则(ａ1 1) ｍａ2 (ａ2 1) ｍａ3 … (ａｎ - 1 1) ｍａｎ (ａｎ 1) ｍａ1≥ｎ·ｍｍ· 1(ｍ - 1) ｍ - 1(2 )李超同学在文 [2 ]中采用待定系数法证明了 (2 )式 .经探究发现 ,采用拆项法可以简洁地证明 (2 )… 相似文献
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在有关数列问题求解中 ,由于概念不清、性质不明、公式不分等原因 ,部分同学解题时经常出现错误 .本文拟举例说明 .例 1 已知数列 {ａｎ}的通项公式为ａｎ=3ｎ - 4 ,求证数列 {ａｎ}是等差数列 .错证 :∵ａｎ=3ｎ - 4 ,∴ａ1=3- 4 =- 1 ,ａ2 =2 ,ａ3=5,ａ4=8,则ａ2 -ａ1=ａ3-ａ2 =ａ4-ａ3=3,∴数列 {ａｎ}是等差数列 .评析 证明过程不能用特殊的几项来代替全部 ,而应紧扣定义 :从第二项起 ,是“每”一项与前一项的差为常数 .故可通过通项公式 ,判断 (ａｎ 1-ａｎ)是否为常数来证明 .正确证明 ∵ａｎ=3ｎ - 4 ,∴ａｎ 1=3ｎ - 1 ,则当ｎ… 相似文献