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有如下一道立体几何判断题 :底面是正三角形 ,相邻两侧面所成二面角都相等的三棱锥是正三棱锥吗 ?甲同学给出了否定的回答 ,并构造了如下“反例” :图 1 甲同学所举反例示意图如图 1 ,Ｐ -ＢＣＥ为正三棱锥 ,在ＰＥ上取一点Ａ ,使ＡＢ =ＢＥ ,连ＡＢ ,ＡＣ .推知ＡＢ =ＢＣ =ＣＡ ,即△ＡＢＣ为正三角形 ,从而三棱锥Ｐ -ＡＢＣ的底面为正三角形 ,相邻两侧面所成的二面角都相等 ,而非正三棱锥 .图 2 乙同学证明用图但 ,乙同学不同意甲的判断 ,并给出了如下“证明” :如图 2 ,设三棱锥Ｐ -ＡＢＣ满足所设条件 .作ＡＨ⊥面ＰＢＣ ,垂足为Ｈ ,… 相似文献
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众所周知 ,任何一个平面多边形都可以分割成若干个三角形 ,任何一个多面体均可分割成若干个三棱锥 .三棱台ＡＢＣ Ａ1Ｂ1Ｃ1可分割成如图 1所示的三个三棱锥Ａ Ａ1Ｂ1Ｃ1,Ｃ ＡＢ1Ｃ1,Ｂ1 ＡＢＣ ,设三棱台的上、下底面积分别为Ｓ1,Ｓ2 ,高为ｈ ,体积为Ｖ ,则其体积为Ｖ =13(Ｓ1+Ｓ2 +Ｓ1Ｓ2 )ｈ =13ｈＳ1+ 13ｈＳ2+ 13ｈＳ1Ｓ2 .因为ＶＡ Ａ1Ｂ1Ｃ1=13ｈＳ1,ＶＢ1 ＡＢＣ=13ｈＳ2 ,所以ＶＣ ＡＢ1Ｃ1=13ｈＳ1Ｓ2 .图 1 三棱台的分割图设ＶＡ Ａ1Ｂ1Ｃ1=Ｖ1,ＶＣ ＡＢ1Ｃ1=Ｖ2 ,ＶＢ1 ＡＢＣ=Ｖ3 ,设 ＡＢＡ1Ｂ1=ｋ ,则 Ｖ2Ｖ1=Ｖ3 Ｖ2=Ｓ2… 相似文献
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对于异面直线所成角 ,若能构造向量 ,将异面直线所成角转化为两向量的夹角 ,利用向量的数量积公式 ,则可在不作出异面直线所成角的情况下 ,巧妙而简捷地求出异面直线所成角 .例 1 (2 0 0 2年春季高考理科题 )在三棱锥Ｓ ＡＢＣ中 ,∠ＳＡＢ =∠ＳＡＣ =∠ＡＣＢ =90° ,ＡＣ =2 ,ＢＣ= 13,ＳＢ =2 9.图 1 例 1图1)证明ＳＣ⊥ＢＣ ;2 )求异面直线ＳＣ与ＡＢ所成角的大小 .解 如图 1,1)∵ＳＡ⊥ＡＢ ,ＳＡ⊥ＡＣ ,∴ＳＡ⊥面ＳＡＢ ,∴ＳＡ⊥ＢＣ .∴ＳＣ·ＢＣ =ＳＡ +ＡＣ·ＢＣ =ＳＡ·ＢＣ +ＡＣ·ＢＣ =0 + 0 =0 ,故ＳＣ⊥ＢＣ .2 )… 相似文献
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立体几何是研究空间图形的性质的一门学科,在处理线线、线面、面面的位置关系时,常要用到三角的有关知识来解决.1 三角函数性质的应用例1 (北京市高一数学竞赛,1993)在三棱锥ＡＢＣＤ中,∠ＤＡＢ ∠ＢＡＣ ∠ＤＡＣ=90°,∠ＡＤＢ=∠ＢＤＣ=∠ＡＤＣ=90°,若ｃｏｓ70°=0.3420.试证:二面角ＡＢＣＤ的度数大于70°.证 如图,设ＤＢ=ａ,ＤＣ=ｂ,ＤＡ=ｘ.图1 例1图 图2 例1展开图剪开ＤＡ,ＤＢ,ＤＣ展开在平面上,则∠Ｄ1ＡＤ2=90°,Ｄ1Ａ=Ｄ2Ａ=ｘ,延长Ｄ1Ｂ,Ｄ2Ｃ交于Ｋ,则ＡＤ1ＫＤ2为正方形.ＢＫ=ｘ-ａ,ＣＫ=ｘ-ｂ,ＢＣ=ａ2 ｂ2,由… 相似文献
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在研究多面体与外接球问题时,经常要确定球心的位置.从集合角度看,球面是与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合(轨迹).因此,只要找到与多面体各顶点距离相等的点即为外接球球心.图1 例1图例1 已知正三棱锥ＰＡＢＣ底面边长ａ,Ｐ到底面ＡＢＣ的距离为ｈ,试确定其外接球球心的位置及球半径的长.分析:如图1,设球心为Ｏ,则ＯＡ=ＯＢ=ＯＣ,∴Ｏ在底面ＡＢＣ上的射影Ｈ是△ＡＢＣ的外心,由△ＡＢＣ为正三角形知Ｈ也为中心,∴ＰＨ⊥底面ＡＢＣ,∴Ｐ,Ｏ,Ｈ共线.由△ＡＨＯ是Ｒｔ△得ＡＯ2=ＡＨ2 ＯＨ2.∴Ｒ2=33ａ2 (ｈ-Ｒ)2,∴Ｒ=ａ26… 相似文献
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命题 1 求证 :等腰三角形底边上任一点到两腰的距离的和等于一腰上的高 (义教初中几何第二册 197页Ｂ组第 2题的 (1) ) .证明 如图 1,设Ｐ为底边ＢＣ上任意一点 ,Ｐ到两腰的距离分别为ｒ1 ,ｒ2 ,腰ＡＢ =ＡＣ =ａ ,腰上的高为ｈ ,连结ＡＰ ,图 1则 Ｓ△ＡＢＰ+Ｓ△ＡＣＰ=Ｓ△ＡＢＣ ,即 12 ａｒ1 + 12 ａｒ2 =12 ａｈ .∴ ｒ1 +ｒ2 =ｈ .如果把“等腰三角形”改成“等边三角形” ,那么Ｐ点的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点” ,即有如下命题 :命题 2 已知等边△ＡＢＣ内任意一点Ｐ到各边的距离分别为ｒ1 、ｒ… 相似文献
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我们知道 ,要断定一个命题是真命题 ,必须要进行严格的论证 ,即证明对满足题设的所有情况结论都正确 .但要否定一个命题却只要举出一个反例即可 .因此 ,当我们难以肯定一个命题是真命题时 ,就应考虑是否能够找到一个满足题设却不是题中结论的例子 (即反例 ) ,若能找到 ,便可以判定该命题是假命题 .现就立体几何中的几个假命题举反例如下 ,供大家参考 .命题 1 侧面是全等的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 .图 1 命题 1的反例示意图反例 如图 1,令三棱锥Ｖ ＡＢＣ中的棱ＶＡ=ＶＢ =ＢＣ =ＡＣ ,ＡＢ =ＶＣ ,ＶＡ≠ＡＢ ,则三棱锥Ｖ ＡＢＣ是… 相似文献
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立体几何练习时曾碰到这样一道题 :已知三棱锥三条侧棱的长分别为ａ ,ｂ,ｃ,其中每两条侧棱的夹角均为 60°,求它的体积 .这使我想到 ,如果将其一般化 ,设每两条侧棱的夹角分别是α、β、γ ,那就应该可以推得出三棱锥的又一个体积公式 .一做 ,果然得到了公式 .特录下与同学们共赏 .已知三棱锥Ｄ -ＡＢＣ中 ,ＤＡ =ａ ,ＤＢ =ｂ ,ＤＣ =ｃ .∠ＡＤＢ =γ ,∠ＢＤＣ =β,∠ＣＤＡ =α ,求这个三棱锥的体积Ｖ .图 1 结论题图解 如图 ,在平面ＢＤＣ中取Ｄ为原点 ,ＤＣ为ｘ轴建立直角坐标系 ,那么Ｄ、Ｃ、Ｂ的坐标分别为 ( 0 ,0 ) ,(ｃ ,0 ) ,… 相似文献
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问题 已知直三棱柱ＡＢＣＡ1Ｂ1Ｃ1,用一个平面去截它 ,得截面△Ａ2 Ｂ2 Ｃ2 ,且ＡＡ2 =ｈ1,ＢＢ2 =ｈ2 ,ＣＣ2 =ｈ3 .若底面面积为Ｓ .求 :介于截面与下底面之间的几何体的体积Ｖ(如图 1) .本刊文 [1]给出了该问题的七种不同的“割补”解法 ,读后受益匪浅 .这里笔者再给出其一种解法 ,并由此对所求体积作一番实质性探讨 ,希望以此开阔同学们的眼界 .图 1 题目图 图 2 解答用图解 如图 2 ,延长ＣＣ2 ,并在其上截取Ｃ2 Ｄ =ｈ2 ,ＤＥ =ｈ1.连ＢＣ2 ,Ｂ2 Ｄ ,ＡＤ ,Ａ2 Ｅ ,ＡＢ2 ,ＡＣ2 ,Ａ2 Ｄ ,Ｂ2 Ｅ .则ＶＣ2 ＡＢＣ=13Ｓｈ3 ;… 相似文献
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文 [1]给出了如下结论 :如图 1,在矩形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =2ａ ,ＡＤ =2ｂ ,Ｐ是上半平面上一点 ,ＰＤ ,ＰＣ与线段ＡＢ分别交于Ｄ1,Ｃ1,若ＡＤ1,Ｄ1Ｃ1,Ｃ1Ｂ图 1成等比数列 ,则Ｐ点的轨迹为椭圆 (上半部分 ) .本文将考虑该问题的逆问题 ,并将该结论进行推广 .结论 1 如图 2 ,Ｐ(ｘ ,ｙ)是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ)上一点 ,ｙ >0 ,以长轴ＡＢ为边作矩形ＡＢＣＤ ,ＡＤ =2ｂ ,ＰＤ ,ＰＣ分别交ＡＢ于Ｄ1,Ｃ1,则ＡＤ1,Ｄ1Ｃ1,Ｃ1Ｂ成等比数列 .图 2 结论 1图证 过Ｐ作ＥＦ∥ＡＢ交ＤＡ的延长线于Ｅ ,交ＣＢ的延长线于Ｆ ,则ＰＥ =ａ… 相似文献
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文 [1 ]研究了表面展开图为四边形的四面体 ,已经得到下面定理 :定理 1 四面体表面展开图为四边形的充要条件是任意两顶点上的三面角之和均为1 80°(即文 [1 ]中的定理 1 ) .定理 2 任意四边形ＡＢＣＤ ,若ＡＢ =ＡＤ ,且ＡＢ <ＡＣ ,∠ＢＤＣ与∠ＤＢＣ均小于90° ,则四边形一定可以翻折成四面体 (即文[1 ]中的定理 4) .本文将讨论三棱锥的侧面向底面展开图为特殊四边形的情形 ,并给出其充要条件及由特殊四边形折成三棱锥的方法 .1 筝形图 1 定理 3图定理 3 三棱锥侧面向底面展开图为筝形的充要条件是底边三角形有且只有两顶点上的三… 相似文献
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面对中考试题中求不规则图形面积问题 ,很多同学感到束手无策 .如果学会运用剪切、组合、替换等方法 ,那么解决这类问题就会得心应手 .图 1例 1 如图 1,已知矩形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =1ｃｍ ,ＢＣ =2ｃｍ ,以Ｂ为圆心 ,ＢＣ为半径作 14 圆弧交ＡＤ于Ｆ、交ＢＡ延长线于Ｅ ,求扇形ＢＣＥ被矩形所截剩余部分的面积 . (甘肃 )分析 剪切梯形ＢＣＤＦ ,得到扇形ＢＦＥ .在扇形ＢＦＥ中 ,剪切 (减去 )三角形ＢＦＡ ,所剩图形为所求 .即Ｓ阴影 =Ｓ扇形ＢＦＥ-Ｓ△ＢＦＡ.注 通过剪切 ,问题转化为求规则图形的面积 .图 2例 2 如图 2 ,阴影部分为一… 相似文献
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20 0 1年全国高考立体几何题如下 :高考题 如图 1,在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ -ＡＢＣＤ中 ,∠ＡＢＣ =90° ,ＳＡ⊥面ＡＢＣＤ ,ＳＡ =ＡＢ =ＢＣ =1,ＡＤ =12 .1)求四棱锥Ｓ -ＡＢＣＤ的体积 ;2 )求面ＳＣＤ与面ＳＢＡ所成的二面角的正切值 .笔者参加了安徽省 2 0 0 1年高考阅卷工作 ,发现不少学生在解答本题第二问时 ,采用了如下解法 .图 1 高考题图解法 1:先证△ＳＡＢ是△ＳＤＣ在面ＳＡＢ上的射影 ,再求出△ＳＡＢ ,△ＳＤＣ的面积 ,利用射影面积公式ｃｏｓθ =Ｓ△ＳＡＢＳ△ＳＤＣ,求得ｃｏｓθ ,最后求出正切值 .图 2 高考题解… 相似文献
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ｓｉｎ2 α +ｃｏｓ2 α =1除了广泛用在化简三角恒等式、解直角三角形外 ,还可以灵活应用于解其他题型 .现举几例说明 .一、活用于证明平面几何等式图 1在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,ＣＤ是边ＡＢ上的高 ,求证 :1ＣＤ2 =1ＡＣ2 +1ＢＣ2 .证明 如图 1所示 ,∵ ∠Ａ +∠Ｂ =90°,∴ ｓｉｎＢ =ｃｏｓＡ .∴ ｓｉｎ2 Ａ +ｃｏｓ2 Ａ =ＣＤ2ＡＣ2 +ＣＤ2ＢＣ2 =1 .∴ 1ＡＣ2 +1ＢＣ2 =1ＣＤ2 .已知Ｐ是矩形ＡＢＣＤ对角线ＡＣ上的一点 ,ＤＰ⊥ＡＣ ,ＰＭ⊥ＢＣ交ＢＣ于Ｍ ,ＰＮ⊥ＡＢ交ＡＢ于Ｎ .求证 :ＰＭ23 +ＰＮ23 =ＡＣ23 . ( 98加拿大中学生… 相似文献
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不少同学在面对立体几何问题时 ,常感觉到线面夹杂 ,难以理清思路 .笔者在教学实践过程中 ,总结出“三问”的思维方法 ,希望能对同学们寻找立体几何问题的求解思路提供帮助 .图 1 例 1题图例 1 如图 1 ,已知三棱锥Ｐ -ＡＢＣ的底面为正△ＡＢＣ ,且Ａ点在侧面ＰＢＣ上的射影Ｇ为△ＰＢＣ的重心 .已知二面角Ｐ -ＢＣ -Ａ的正切值为2 ,求证 :ＰＡ⊥平面ＡＢＣ .思维过程 图 2 例 1分析用图一问 :问题的实质 ?显然 ,本问题的实质是一个线面垂直的问题 .二问 :解决问题的关键 ?我们知道 ,证明线面垂直的关键是在面内找到两条相交直线与已知… 相似文献
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立几教材中推导台体体积公式的方法不是唯一的 ,因为用体积的割法可求出三棱台的体积 ,因此任意台体体积即可获解 .题 1 已知棱台Ａ′Ｂ′Ｃ′ ＡＢＣ中 ,设Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′=图 1 方法 1图Ｓ1 ,Ｓ△ＡＢＣ =Ｓ2 ,高为ｈ .试推导三棱台的体积公式 .解 [方法 1]如图 1,连结ＡＣ′ ,ＡＢ′ ,ＣＢ′ .Ｖ台 =ＶＡ Ａ′Ｂ′Ｃ′ ＶＢ′ ＡＢＣ ＶＡ Ｂ′Ｃ′Ｃ=13Ｓ1 ｈ 13Ｓ2 ｈ ＶＡ Ｂ′Ｃ′Ｃ.ＶＡ Ｂ′Ｃ′ＣＶＢ′ ＡＢＣ=ＶＡ Ｂ′Ｃ′ＣＶＡ ＢＢ′Ｃ′=Ｓ△Ｂ′Ｃ′ＣＳ△ＢＢ′Ｃ=Ｂ′Ｃ′ＢＣ ,ＶＡ Ｂ′Ｃ′ＣＶＡ Ａ′… 相似文献
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在学习立体几何时 ,免不了要画截面 ,判断截面形状 ,或者判断所截几何体形状 ,但有的同学往往从主观愿望出发 ,马马虎虎看一遍题目 ,就自以为弄清已知条件了 ,然后匆忙写出结果或过程 ,从而导致“一看就会 ,一做就错”的现象 ,试看以下两例 .1 截面是什么例 1 已知正三棱柱ＡＢＣ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 的棱长都是3,求过边ＢＣ且与底面ＡＢＣ成 6 0°角的截面的面积 .图 1 例 1错解图错解 :设ＢＣ的中点为Ｅ ,连结ＡＥ .在棱ＡＡ1 上取一点Ｄ ,使∠ＡＥＤ =6 0° .则在Ｒｔ△ＤＡＥ中 ,ＤＥ= ＡＥｃｏｓ6 0°=33, ∴Ｓ△ＢＤＣ=932 .剖析 :在… 相似文献
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图形变换是一种重要的解题思想.在求解立体几何问题时,灵活地实施平移、对称、旋转、翻折、分割、补形、伸缩等图形变换,将不熟悉的(或不易计算的)图形变化为熟悉的(易于计算的)图形,将空间图形变为平面图形,从而创设生动的思维情境,优化解题途径.下面以一道1999年高考试题为例说明实施图形变换解题的若干技巧.例 如图,已知正四棱柱ＡＢＣＤ-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1,点Ｅ图1 例题图在棱Ｄ1Ｄ上,截面ＥＡＣ∥Ｄ1Ｂ,且面ＥＡＣ与底面ＡＢＣＤ所成的角为45°,ＡＢ=ａ.①求截面ＥＡＣ的面积;②求异面直线Ａ1Ｂ1与ＡＣ之间距离;③求三棱锥Ｂ1-ＥＡＣ的体… 相似文献
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变换在数学中起着重要作用 .下面介绍有关的几何命题 ,利用这些命题作为变换的依据 ,更好地解决问题 .1 变换位置1.1 变换点的位置命题 1 (课本例题 )如果直线ｌ∥平面α ,那么直线ｌ上各点到平面α的距离相等 .图 1 例 1图例 1 如图 1,正四棱锥Ｓ -ＡＢＣＤ的顶点Ｓ在底面上的射影为Ｏ ,ＳＤ的中点为Ｐ ,且ＳＯ =ＯＤ =ａ ,直线ＢＳ上有一点Ｇ ,求点Ｇ到面ＰＡＣ的距离 .解 连结ＢＤ ,ＡＣ ,ＢＤ与ＡＣ交于点Ｏ ,连ＰＯ .知ＰＯ∥ＢＳ ,ＢＳ∥面ＰＡＣ ,因此直线ＢＳ上的点Ｇ和点Ｓ到面ＰＡＣ的距离相等 .由ＳＯ =ＯＤ ,知ＯＰ⊥Ｓ… 相似文献
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文 [1 ]运用“斜截三棱柱”的体积公式给出了棱台体积公式的新推导 ,受其启发 ,本文再借助著名的斯坦纳定理给出三棱台体积公式的一种独特新颖的推导方法 .图 1 定理图斯坦纳定理 如图1 ,设四面体ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =ａ ,ＣＤ =ｂ ,对棱ＡＢ ,ＣＤ间的夹角为θ ,距离为ｄ ,则其体积为 : Ｖ =16 ａｂｄｓｉｎθ .(证明详见本刊 1 999年第 1 2期Ｐ11)问题 已知棱台ＡＢＣ ＤＥＦ中 ,Ｓ△ＡＢＣ=Ｓ1,Ｓ△ＤＥＦ=Ｓ2 ,高为ｈ ,试推导三棱台的体积公式 .图 2 解问题用图解 如图 2 ,设ＡＢ =ａ1,ＢＣ =ｂ1,ＤＥ =ａ2 ,ＥＦ=ｂ2 ,∠ＡＢＣ =θ… 相似文献